lunedì 30 luglio 2018

TRASFORMAZIONI DI LORENTZ e COMPOSIZIONE VELOCITA'

Consideriamo un sistema inerziale S' che si muove con velocità v rispetto ad un sistema inerziale S. Per comodità consideriamo un moto nella direzione dell'asse x che al tempo t=t'=0 coincidano.
Se v/c è piccolo per passare da un sistema all'altro si usano le trasformazioni Galileiane:
dove il tempo t è per ipotesi lo stesso in tutti i sistemi inerziali (tempo assoluto)
Da questo consegue la legge di composizione delle velocità. Se un corpo ha una velocità wx rispetto al sistema S la velocità misurata nel sistema S' è : w'x=wx-v
La luce non si comporta in questo modo. La velocità della luce è la stessa per S e per S'(II POSTULATO ). La differenza si nota quando la velocità relativa dei due sistemi si avvicina a c.

Le trasformazioni Galileiane sono da modificare perchè non più valide per sistemi che si muovono con velocità relative prossime a quella della luce.
Ricaviamo le trasformazioni:
Sicuramente è ancora y'=y perchè il moto è nella direzione dell'asse x
Posto:
x'=k(x-vt)
x=k(x'+vt') è l'inversa che si deve ottenere per simmetria sostituendo :
v con -v
x con x'
t con t'
per il principio di relatività il k è lo stesso per i due osservatori.
Un raggio di luce che esce dall'origine O al tempo t=t'=0s percorre uno spazio :
x=ct   calcolato da S
x'=ct'  calcolato da S'
infatti la velocità della luce è la stessa per S e per S'. Sostituendo si ha:
ct'=k(ct-vt)
ct=k(ct'+vt')
se le moltiplico insieme ottengo:
c²tt'=k²tt'(c-v)(c+v)
Semplificato tt' risulta :
detto FATTORE DI LORENTZ.
NB: k =1 per v molto più piccolo della velocità della luce e in questo caso si trasforma nelle trasformazioni Galileiane classiche.
Inoltre si nota che v deve essere sempre minore di 1. Esiste un limite al valore della velocità ed è c.
Determiniamo ora come varia il tempo:
devo ricavare t' in funzione di t. Partiamo dall'equazione : x=k(x'+vt')
x/k=k(x-vt)+vt'
e ricavando t' ottengo:


Quindi le TRASFORMAZIONI dette DI LORENTZ sono:
oppure in forma più compatta:

LEGGE DI COMPOSIZIONE DELLE VELOCITA':

Sia u la velocità di un corpo misurata in un sistema S. Per ora supponiamo che il corpo si muova nella direzione dell'asse x.
Se u' è la velocità misurata dal sistema S' in moto con velocità v rispetto ad S è data da:


Quindi:
è la legge di composizione delle velocità.
NB: se il corpo che si muove è la luce e u=c allora sostituendo si ottiene che :
e quindi le leggi di trasformazione della velocità sono in accordo con il postulato (la velocità della luce è la stessa per ogni sistema di riferimento e non dipende dalla velocità relativa)




Esempio:
Supponiamo un'astronave si avvicini alla Terra a metà della velocità della luce e spari un missile ad una velocità di 0,750 c. (a) A quale velocità un osservatore legato alla Terra vedrà il missile se viene sparato verso la Terra? (b) Se viene sparato in direzione contraria?

a) posto con S' il sistema del missile e con S il sistema Terra , v=0,5c è la velocità relativa allora se u'=0,75c
b)nel caso b il missile ha velocità u'=-0,75c e sostituendo si ottiene: u=0,4c

ATTENZIONE: per stabilire i segni delle velocità u e u' bisogna capire se vi è avvicinamento o allontanamento del corpo considerato dall'origine del sistema. Il verso della velocità non basta. Infatti vi può essere avvicinamento anche se entrambi procedono nello stesso verso e quello davanti è più lento. 

COME CALCOLARE UNA LUNGHEZZA :Per calcolare la lunghezza di un missile che si muove rispetto al sistema S devo determinare le coordinate x1 e x2 delle estremità prese nello stesso istante t1=t2 rispetto al sistema S. Quindi la lunghezza si ottiene con due eventi  (x1,t1) e (x2,t1) SIMULTANEI rispetto al sistema S.
Per misurare la lunghezza del missile rispetto ad un sistema di riferimento S' che si muove di moto relativo rispetto a S posso usare la contrazione delle lunghezze se anche rispetto a S' i due eventi sono simultanei altrimenti devo applicare le trasformazioni di Lorentz dei due eventi :
𝛥x'=|x2'-x1'|
Ricordiamo che due eventi simultanei rispetto ad un sistema S non lo sono rispetto a un sistema S'

COME CALCOLARE UN INTERVALLO DI TEMPO : Per calcolare la durata di un fenomeno rispetto ad un sistema S è importante che il fenomeno si verifichi nello STESSO PUNTO x1=x2 : allora
𝛥t=|t2-t1|
La durata del fenomeno rispetto ad un sistema S' che si muove di moto relativo è dato da 
𝛥t'=𝛄𝛥t 
se anchè rispetto a S' si svolge nello stesso punto (x1'=x2') altrimenti per trovare 𝛥t' bisogna trovare i trasformati dei due eventi con le trasformazioni di Lorentz.

domenica 29 luglio 2018

RELATIVITA': CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE

Consideriamo due sistemi inerziali S e S' con S' che si muove a velocità v rispetto a S. Per facilità pensiamo a S come una stazione ed S' come il treno.


Consideriamo due punti A e B in quiete rispetto al sistema S. Per capire più facilmente la situazione pensiamo a due paletti posti in corrispondenza ai due punti A e B. La distanza Lₒ=AB misurata da S è data da |xA-xB| ed è detta lunghezza propria. 
La LUNGHEZZA PROPRIA è per definizione la distanza misurata tra due punti  in quiete rispetto al sistema di riferimento.
Consideriamo un riferimento T nel sistema S'. Sia:
tA =istante misurato da S con T allineato da A
tB=istante misurato da S con T allineato da B
t'A=istante misurato da S' con T allineato da A
t'B=istante misurato da S' con T allineato da B
S misura il tempo che il punto T impiega a passare dalla posizione A a quella B: 𝛥𝙩=tA-tB
e risulta : Lₒ=v𝛥𝙩
S' misura il tempo che il tempo impiegato da T per passare dalla posizione A a quella B è: 𝛥𝙩'=t'A-t'B. Questo è un TEMPO PROPRIO perché è il tempo tra due eventi che si verificano nello stesso punto rispetto al sistema S'. Per S' la lunghezza è data da L'=v𝛥𝙩'
Ma per la dilatazione dei tempi il tempo misurato da s è dilatato: 𝛥𝙩=𝛾𝛥𝙩' e quindi quello proprio di s' è : 𝛥𝙩'=𝛥𝙩/𝛾.
Sostituendo si ottiene:
L'=v𝛥𝙩/𝛾=Lₒ/𝛾 cioè L'=Lₒ/𝛾
Quindi la lunghezza propria misurata rispetto al sistema in quiete è quella più grande mentre le altre sono contratte di 𝛾≥1.
La contrazione delle lunghezze si verifica solo nella direzione del moto.

ESEMPIO:
Consideriamo questo esempio : L'astronauta Albert parte per la stella Vega distante 25,3 anni luce lasciando il gemello Bart sulla Terra. 

Albert viaggia a una velocità v=0,9c. 
Per Bart che è sulla Terra il viaggio è durato 𝞓t= 25,3c/0,9c=28,1 anni che è un tempo dilatato (non proprio) perchè per lui la partenza e l'arrivo avvengono in luoghi diversi. L'astronave è come il sistema treno S' visto sopra e la Terra e Vega sono i due paletti A e B.   Però per Bart sulla Terra la distanza è propria Lₒ perchè Terra e Vega sono in quiete rispetto a lui. 
Per Albert che è nella navicella, la durata del viaggio è un tempo proprio. Infatti Albert misura la durata del tempo tra  due eventi che avvengono sempre nello stesso punto (sono sempre  in quiete con lui): la partenza e l'arrivo. Dunque per lui il viaggio dura:
𝞓tₒ=𝞓t/𝜸=28,1/2,29=12,3 anni.
Albert e Bart sono d'accordo solo sul valore della velocità relativa v (spazio/tempo). Quindi per Albert è v=L/𝞓tₒ mentre per Bart la distanza è v=L/𝞓t.
Quindi :
L/𝞓t=L/𝞓tₒ e risulta che L=Lₒ∙𝞓t/𝞓tₒ=Lₒ/𝜸  . 
L si dice lunghezza contratta perchè 𝜸 è maggiore di 1 e quindi L>L₀.



CON LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ:
Consideriamo una BARRA di lunghezza L₀ posta lungo la direzione dell'asse delle x e con una estremità in O, in quiete rispetto ad un sistema S' che si muove con velocità relativa v nella direzione dell'asse x rispetto ad un sistema S. 
Ogni osservatore misura la stessa velocità relativa v. 
Dunque per ipotesi le coordinate degli estremi della barra in S' sono:
x'1=0 e x'2=Lo
Quanto vale la lunghezza L misurata da un osservatore posto in S?
L è la distanza delle coordinate degli estremi della barra x1 e x2 prese al tempo t: L=x2-x1
usando le trasformazioni di Lorentz:
Quindi per un osservatore in moto rispetto alla barra la sua lunghezza risulta inferiore rispetto alla lunghezza propria misurata dall'osservatore in quiete rispetto alla barra:


https://www.vascak.cz/data/android/physicsatschool/template.php?s=str_kontrakce&l=it
applet: clicca qui






Paradosso del treno di Einstein




lezione app Zanichelli su contrazione della lunghezza


videolezione : contrazione lunghezze









POSTULATI DELLA RELATIVITA SPECIALE

Il fallimento dell'esperimento di Michelson Morley dimostra che:
1)L'etere non esiste
2)La misura della velocità della luce dà lo stesso risultato anche se eseguito in sistemi inerziali diversi. 
Quest'ultima conseguenza è in contrasto con le trasformazioni Galileiane e in particolare con il noto principio di composizione delle velocità.
Se ad esempio ci muoviamo con velocità v e misuriamo la velocità di un raggio di luce che ci viene incontro con velocità c, il risultato non è c+v ma sempre c. 
Cosa  è sbagliato della fisica classica? Il principio di relatività  non vale per le leggi dell'elettromagnetismo? Oppure è sbagliato il modo di passare da un sistema inerziale all'altro? 
Einstein capì per primo che l'errore stava nel concetto di tempo pensato come ASSOLUTO cioè  uguale per tutti gli osservatori inerziali. Passando dal tempo assoluto a quello relativo è necessario correggere le trasformazioni galileiane, la legge di composizione delle velocità e la dinamica.

I POSTULATI DELLA RELATIVITA': 1) Le leggi della dinamica e dell'elettromagnetismo sono le stesse in tutti i sistemi inerziali ( principio di relatività). 2) la velocità della luce ha lo stesso valore in tutti i sistemi inerziali e non dipende dalla velocità del sistema.


Il seguente video (Superquark) spiega i postulati e il passaggio dalla fisica classica alla fisica relativistica e le conseguenze dei postulati.

CONSEGUENZE:
1)DILATAZIONE DEL TEMPO
2)CONTRAZIONI DELLE LUNGHEZZE
3)RELATIVITA' DELLA SIMULTANEITA' DEGLI EVENTI 

Una prima conseguenza del postulato della velocità della luce è la DILATAZIONE DEL TEMPO. La misura del tempo di un orologio posto in un sistema inerziale in moto rispetto a noi a una velocità vicina a quella della luce appare scorrere lentamente.



Il seguente video spiega in modo semplice con animazioni il funzionamento dell'OROLOGIO A LUCE e la dilatazione del tempo. (ING)

mercoledì 18 luglio 2018

ENTROPIA

 
L'entropia di un sistema è una grandezza fisica che misura il  DISORDINE del sistema.

ESEMPIO1: un mazzo di carte nuovo ha bassa entropia perché ordinato mentre ha maggiore entropia quando viene mescolato.
 
ESEMPIO2: un mucchio di mattoni ha minore entropia rispetto agli stessi mattoni che formano un muro.
 
ESEMPIO3: il ghiaccio ha minore entropia rispetto all'acqua perché nel ghiaccio le molecole sono "ordinate".
ESEMPIO4: l'aria contenuta in un palloncino ha minore entropia rispetto alla stessa aria che si espande se il palloncino viene bucato.

Esistono due modi per definire l'Entropia:

1)Definizione macroscopica: descrive la variazione di entropia del sistema in termini di quantità di calore richiesta per innalzare la temperatura del sistema di un grado Kelvin.

In una macchina termica reversibile
(ciclo di Carnot) che lavora con due sorgenti di temperatura,  il rapporto tra il calore ceduto alla sorgente fredda e il calore assorbito dalla sorgente calda è uguale al rapporto tra le temperature assolute delle due sorgenti :

quindi risulta:
Il rapporto tra il calore scambiato e la temperatura della sorgente con la quale avviene lo scambio rimane costante.
Possiamo sfruttare questa proprietà per definire una nuova grandezza fisica che dipende dallo stato termodinamico. 
Fissata una determinata trasformazione termodinamica reversibile dallo stato A allo stato B che scambia calore Q con una sorgente T definiamo La VARIAZIONE di entropia: 𝜟S=Q/T .
 
Nel SI l'entropia si misura in joule su kelvin (J/K).
Osserviamo che la definizione è valida per una trasformazione reversibile con calore trasferito ad una temperatura T costante espressa in kelvin.
Se il calore è assorbito Q>0 la variazione di entropia è positiva e l'entropia aumenta. Se il calore è ceduto l'entropia diminuisce. 


Si può dimostrare che la variazione di entropia  dipende soltanto dallo stato iniziale e finale del sistema e non dalla trasformazione effettuata per passare da uno stato all'altro.
Ne consegue che l'entropia è una FUNZIONE DI STATO, esattamente come l'energia interna.

la video lezione dimostra che l'entropia è funzione di stato.Calcola anche la variazione di entropia di una trasformazione isoterma

In altre parole, l'entropia dipende solo dallo stato del sistema e non da come il sistema ha raggiunto quello stato. 

NB:Se una trasformazione è IRREVERSIBILE, per cui non vale la relazione Q/T, possiamo ugualmente calcolare la variazione di entropia  utilizzando una o più trasformazioni reversibili che collegano gli stessi stati iniziale e finale. 

TERZA LEGGE DELLA TERMODINAMICA: Una qualunque trasformazione irreversibile (quelle naturali) in un sistema isolato (e quindi nell'universo) aumenta l'entropia del sistema.

ESEMPIO : Consideriamo un cubetto di ghiaccio di  massa m che fonde a 0 °C. Per fondere deve assorbire un calore Q=Lm dove L è il calore latente di fusione (calore necessario per fondere 1kg di ghiaccio a 0°C)
Allora la variazione di entropia è data da Lm/T dove T=273K
ed è positiva . Allora l'entropia è aumentata.
 

Il calore non è tutto uguale. Calore ad alta temperatura è molto più pregiato del calore a bassa temperatura. Questo perché il calore fluisce spontaneamente dai corpi caldi ai corpi freddi producendo lavoro. Maggiore è il dislivello termico  maggiore è il lavoro prodotto dal calore. Con una analogia il calore è l'acqua di una cascata e la differenza di temperatura è il dislivello del salto .


2)DEFINIZIONE MICROSCOPICA probabilistica:
L'entropia viene definita come misura logaritmica della probabilità dello stato del sistema. 
S=k∙ln(C(n)) 
dove k è la costante di Boltzmann e C(n) è il numero di microstati favorevoli corrispondenti al macrostato considerato. (la probabilità p è proporzionale a C(n) perchè )
Ad esempio consideriamo  n=6 molecole poste di due contenitori comunicanti. Le molecole hanno la stessa probabilità di trovarsi nei due contenitori. Sia N1 il numero di molecole a destra e N2 il numero di molecole a sinistra.
p=n°casi favorevoli/n° casi possibili
Il n° di casi possibili è 2^6=64
Calcoliamo il numero di casi favorevoli ad ogni stato :
Ad esempio per calcolare quando N1=2 e N2=4 basta calcolare tutti i modi di scegliere 2 molecole su 6 da porre a destra con il coefficiente binomiale C(6,2)=15
Se il sistema parte da uno stato con minima probabilità corrispondente a quello con tutte le molecole dalla stessa parte  (N1=0, N2=6) allora evolve a stati con maggiore probabilità e maggiore entropia. Lo stato con massima probabilità e massimo entropia corrisponde a quello di una uniforme distribuzione delle molecole. Il questo caso lo stato iniziale si verifica in un solo modo mentre quello finale in 20 modi.
Se ora consideriamo N=100 abbiamo C(0)=1 mentre C(50)=C(100,50)=10^29. E' molto più probabile trovare le molecole uniformemente distribuite . Tenendo conto che le molecole in una stanza sono molte di più si capisce perchè non si verificano mai quei casi di molecole addensati da una sola parte.
 
L'aumento di entropia nei fenomeni naturali determina la freccia del tempo: