martedì 25 aprile 2017

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE

Nel 1927 Werner Heisenberg scompre che la natura ondulatoria della materia poneva un problema della determinazione della posizione. Come poter localizzare un'onda?
Heisenberg

Per poter localizzare una particella bisogna interagire con essa. Di solito si usa la luce che interagendo (ad esempio riflettendosi) mostra la posizione della particella con un'incertezza  data dalla sua lunghezza d'onda.  

Come visto nell'effetto Compton, nell'interazione con il fotone, la particella subisce una variazione della quantità di moto.
Se vogliamo migliorare la precisione della posizione dobbiamo diminuire la lunghezza d'onda e quindi aumentare la frequenza ma questo equivale ad aumentare l'energia e quindi la quantità di moto del fotone incidente ( p=hf/c ) con una conseguente variazione della quantità di moto della particella.  (MODELLO CORPUSCOLARE DELLA LUCE)
PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE : in una misura simultanea lungo l'asse x, le indeterminazione di posizione e di quantità di moto della particella sono legate dalla relazione: 
quindi se si diminuisce l'indeterminazione della posizione aumenta quella della quantità di moto e viceversa se diminuisce l'indeterminazione della quantità di moto aumenta quella della posizione.

NB: l'indeterminazione di Heisenberg NON E' UN ERRORE di misura e non è dovuta ai limiti tecnici dello strumento di misura, ma afferma UN PRINCIPIO DI NATURA: non possiamo mai conoscere sia quantità di moto sia la posizione di una particella nello stesso istante indipendentemente dalla precisione del nostro strumento.
SPIEGAZIONE CON IL MODELLO ONDULATORIO DELLA MATERIA:
Per localizzare una particella con quantità di moto py la facciamo passare per una fenditura con larghezza dx . La particella con lunghezza d'onda h/pha un comportamento ondulatorio e viene DIFFRATTO con angolo dato da:


angolo dovuto ad una variazione della quantità di moto nella direzione x

per angoli molto piccoli si ha: 


Per migliorare la precisione della posizione di una particella serve una luce con bassa lunghezza d'onda mentre per migliorare la precisione della sua velocità (quantità di moto) serve luce con bassa frequenza ( e quindi alta lunghezza d'onda) per non modificarla per effetto Compton.

martedì 18 aprile 2017

CAMPO GRAVITAZIONALE

La gravità è una forza che agisce a distanza (senza contatto) per la presenza del campo gravitazionale. Il campo gravitazionale dovuto ad una massa M in un punto P dello spazio ad una distanza r da M è un vettore. 
Per determinare il suo valore si pensa di porre una massa m "di prova" in P e si considera la forza gravitazionale che m subisce per la presenza di M:
il campo gravitazionale è definito come rapporto tra la forza e la massa di prova (è quindi la forza su unità di massa che agisce in quel punto) ed ha la direzione della forza . Quindi ad ogni punto dello spazio possiamo associare un vettore:
questi vettori campo descrivono il CAMPO GRAVITAZIONALE.
In particolare in prossimità della superficie della Terra il campo coincide con l'accelerazione di gravità: 
g=F/m=P/m=9,81m/s² 
e l'energia potenziale gravitazionale era data da U=mgh.
il video ricava l'espressione di U vicino alla superficie della Terra
 
Allontandosi dal centro della Terra il valore di g diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza.
Il campo gravitazionale è un CAMPO CONSERVATIVO è quindi il lavoro fatto dalle forze del campo per portare una massa da un punto A ad un punto B non dipende dal percorso ma solo dal punto iniziale A e da quello finale B.
Si può quindi definire una grandezza fisica associata al punto detta energia potenziale.
La variazione di energia potenziale gravitazionale tra un punto B e un punto A è definita  come il lavoro che compie la forza gravitazionale per portare la massa m dal punto A a B.

Fissata l'energia potenziale zero in un punto a distanza infinita dalla massa M che genera il campo gravitazionale possiamo definire l'energia potenziale in un punto P come il lavoro fatto dalle forze del campo per portare la massa dall'infinito fino al punto P.  

In prossimità della superficie la forza peso F è costante e il lavoro è semplicemente dato dal prodotto forza per spostamento L=mg(hA-hB) e U=mgh
Nel caso generale l'espressione di U non è facile da calcolare  perchè il valore di F varia con la distanza (serve il calcolo integrale) Si ottiene che :
Fissato U=0 all'infinito risulta :



 Video Treccani sull'energia potenziale gravitazionale

Dunque l’energia totale  di un corpo di massa m a una distanza r da un pianeta di massa M è data da: 
L'energia si conserva.

La VELOCITA' DI FUGA di un pianeta è la minima velocità per uscire dalla gravità di quel pianeta cioè è quella velocità che consente di arrivare ad una distanza infinita con velocità nulla (E=0). Si pone:
Per esempio, per uscire dall'attrazione terrestre un razzo deve avere una velocità minima:

calcolo della velocità di fuga


Raggio di Schwarzschild: è il raggio che deve avere un corpo celeste sferico di massa M per impedire la fuga della luce dalla sua gravità (condizione per avere un BUCO NERO)

Per ottenere il suo valore basta porre l'espressione della velocità di fuga uguale a c. 

per il Sole si ottiene un valore di circa 3 km.

PROBLEMI DI GRAVITAZIONE






1) Calcolate l’accelerazione di gravità alla superficie del pianeta Mercurio, sapendo che ha un raggio R = 5,140*106 m, una massa M = 2,5*1024 kg .

[g = 6,312 m/ s².]



2) Calcolate il periodo di rivoluzione di un corpo che si muove su una traiettoria circolare che sfiora la superficie del Sole. Applica la terza legge di Keplero sapendo che il raggio del Sole misura 696.000 km e la distanza Terra Sole è 1,49x108 Km. [2h 48m ]



3) Un satellite viaggia su un’orbita circolare a 500km dalla superficie terrestre. Determinare la velocità e il periodo dell’orbita applicando la terza legge di Keplero. [7.6 km/s, T=1h 35m]



4) Calcolare il valore dell’accelerazione di gravità alla superficie del pianeta Venere, sapendo che la sua massa vale 4.87x10^24 kg ed il raggio è di 6052km. [8.87m/s2]



5) A che altezza dal livello del mare l’accelerazione di gravità si riduce dell’1% rispetto al suo valore alla superficie? [32.1km]



6) Deimos, satellite di Marte, percorre un’orbita circolare di raggio 23460km in 30,3h . Calcolare la massa di Marte. 
[6,5X10^23 kg] [suggerimento : calcolare la costante di Keplero di Marte e...]
Utilizzando le leggi di Keplero, determinare il semiasse maggiore dell’orbita del secondo satellite, Phobos, il quale percorre un giro completo in sole 7.66h. (9380km).



7) Calcolare la velocità di fuga di Mercurio sapendo che ha un raggio R = 5,140*106 m, una massa M = 2,5*1024 kg . [4,13 km/s]



8) Che velocità deve avere un satellite per descrivere un'orbita perfettamente circolare ad una quota di 230 km rispetto alla superficie della Terra? [v = 7,8 km/s]



9) Un meteorite di massa m=10³kg  si trova a 3 107 m dal centro della Terra con velocità v = 8 km/s rispetto ad essa. Ammesso che il meteorite non punti proprio verso il nostro pianeta, riuscirà a sfuggire all'attrazione terrestre oppure rimarrà intrappolato nel campo gravitazionale? In altre parole, la traiettoria del meteorite sarà un'orbita aperta o chiusa? [orbita aperta E=1,87 1010 J]

    
10) Se la massa di un corpo celeste rimane costante mentre il suo raggio diminuisce (come accade alle stelle quando ha esaurito il suo combustibile nucleare) , la velocità di fuga aumenta e può essere anche superiore alla velocità della luce. In questo caso la luce non può sfuggire e abbiamo un buco nero.
Calcolare il raggio che dovrebbe avere il Sole e poi la Terra per diventare buchi neri.       [3km e 9 mm]



11) Europa è un satellite di Giove che, approssimando la sua orbita a una circonferenza, dista mediamente circa 6*1O5 km dalla superficie di Giove. Calcola il suo periodo di rivoluzione intorno a Giove. Sappiamo che Mg=318 Mt con Mt=5,97*1024 Kg  Rg=71492 Km  [3,6giorni]



12) Supponiamo che un corpo di massa m=1kg si tiene a distanza 4R dal centro di Marte, in cui R=3390Km è il raggio di Marte. Quanto vale il lavoro che si deve compiere per  spostare l'oggetto ad una distanza 6R sapendo che  M=639×1021 Kg è la massa di Marte? [1,05 106 J]

13)Calcolare la forza con cui si attraggono due sfere della massa di 100g poste alla distanza di 1 m. [6,67 10-13N]

14)Sapendo che la distanza della Luna dal centro della Terra è pari 60 volte il diametro terrestre e che la Luna compie una rotazione in 27,32 giorni, calcolare, usando la terza legge di Keplero, la quota h rispetto alla superficie terrestre di un satellite artificiale avente un periodo di 48 ore. [6,4 10^7m]

15)Calcola il periodo di un satellite che ruota intorno alla Luna su un’orbita circolare a un’altezza dalla superficie lunare di 500 km. [9,51 10^3 s]

16)



DUALISMO ONDULATORIO-CORPUSCOLARE DELLA MATERIA

Se un'onda come la luce si comporta a volte come una particella, possiamo ipotizzare che anche le particelle manifestino dei comportamenti tipici delle onde? 
Luis de Broglie

Nel 1924 Louis de Broglie stabilì il seguente principio: il dualismo onda- corpuscolo è una proprietà generale. Quindi anche ad una particella è associata un'onda.
Ricordando che per la luce p=E/c 
Quindi ad ogni particella è associata una lunghezza d'onda data dal rapporto tra la constante di Planck e la sua quantità di moto.  
La lunghezza d'onda di una particella ha generalmente un valore molto piccolo ed è il motivo per cui non ci accorgiamo facilmente della sua natura ondulatoria. Infatti, per poter mettere in evidenza la natura ondulatoria servirebbe un'interazione con un ostacolo o fenditura dello stesso ordine di grandezza (fenomeno di interferenza e diffrazione) .

Ad esempio una palla di massa 1kg lanciata ad una velocità di 10m/s ha una lunghezza d'onda  uguale a h/(1x10)=6,6x10^-33 dell'ordine di grandezza di 10^-34m miliardi di miliardi di volte più piccola dell'atomo.

Le proprietà corpuscolari e ondulatorie di una particella sono manifestazioni di differenti aspetti della sua natura.

Una dimostrazione sperimentale della natura ondulatoria delle particelle è l'esperimento della doppia fenditura ripetuta con un fascio di elettroni al posto del fascio di luce. Anche gli elettroni creano immagini di interferenza.
La lunghezza d'onda dell'onda associata agli elettroni è dell'ordine di grandezza di un atomo e per questo motivo si usano cristalli che creano fenditure di queste dimensioni.
clicca qui

Si può pensare ad una particella trasportata dalla sua onda associata. Nell'esperimento della doppia fenditura e l'onda associata che crea interferenza.


il video spiega il dualismo onda corpuscolo con esempi ed analogie risolvendo l'apparente paradosso
video lezione sul dualismo onda particella
 
INTERPRETAZIONE DI DE BROGLIE DELL'ATOMO DI BOHR

Pensiamo all'onda associata agli elettroni dell'atomo di Bohr. Ora possiamo spiegare perchè su determinate orbite gli elettroni non irradiano energia. Basta ricordare le onde stazionarie. Nelle onde stazionarie l'energia rimane stazionaria (ferma) nei ventri. Le onde stazionarie avevano delle configurazioni formate da nodi e ventri che si ottenevano solo per certe frequenze dell'onda (multipli della frequenza fondamentale). Ad esempio, nelle corde tese di lunghezza l, si forma un'onda stazionaria solo se l è multiplo della lunghezza d'onda. Era un primo esempio di quantizzazione di una grandezza fisica cioè la frequenza.


Nel caso dell'atomo di Bohr gli elettroni sono stabili solo se l'onda associata forma un'onda stazionaria. In tal caso la lunghezza dell'orbita deve coincidere con un multiplo della lunghezza d'onda :

Ricordando che il momento rn p è per definizione il momento angolare L dell'elettrone e ritroviamo l'ipotesi di Borh sul quantizzazione del momento angolare.

DUALISMO ONDA - CORPUSCOLO DELLA LUCE

Il dibattito sulla natura della luce nasce intorno all'inizio del 1700 con Huygens che propone la natura ondulatoria e Newton che propone quella corpuscolare. L'esperimento delle due fenditure di Young del 1801 è una prova indiscutibile della natura ondulatoria della luce:la luce come tutte le onde interferiscono. Ma solo con con la teoria di Maxwell del 1860 e la dimostrazione che la luce è un'onda elettromagnetica sembra dare una conferma definitiva della natura ondulatoria della luce. 
Con la nascita della fisica quantistica e la teoria dei quanti di luce si riapre il dibattito: la luce si comporta in alcuni fenomeni come onda e in altri fenomeni come particella.

INTERPRETAZIONE CORPUSCOLARE DELL'ESPERIMENTO DI YOUNG
Nell'esperimento delle due fenditure due sorgenti coerenti di luce monocromatica generano figure di INTERFERENZA su uno schermo posto davanti. 
L'intensità della luce diffratta sullo schermo ha un andamento di questo tipo:
La massima intensità è nella frangia centrale.
Esaminiamo ora lo stesso esperimento usando il modello corpuscolare della luce (formata da fotoni). 
Utilizziamo un dispositivo in grado di registrare l'arrivo del singolo fotone.  (ad esempio una lastra fotografica)
Inviamo i fotoni attraverso le due fenditure.
COSA MI ASPETTO: che ogni singolo fotone passi attraverso una sola fenditura e, dopo che un numero elevato di fotoni è stato inviato sullo schermo, si dovrebbero osservare due zone molto luminose in corrispondenza della posizione delle due fenditure e null'altro.
COSA SI OSSERVA: i fotoni si distribuiscono in modo da formare di nuovo una figura d'interferenza. 
Analizziamo il comportamento dei singoli fotoni. Cosideriamo una sorgente sufficientemente debole da poter supporre che sia generato un fotone per volta.


OSSERVAZIONI SPERIMENTALI E CONCLUSIONI: 
I singoli fotoni colpiscono lo schermo uno per volta. Aspettando un tempo sufficiente lungo si osserva una distribuzione dei fotoni sempre secondo le frange d'interferenza (vedi animazione)

1) Il numero di fotoni che arrivano in un certo punto P dello schermo  è proporzionale all'intensità prevista nella teoria ondulatoria.
2)Il fotone deve quindi interferisce con se stesso. Infatti le frange d'interferenza si formano anche quando viene fatto passare un solo fotone alla volta.
3) ogni tentativo di stabilire l'effettivo percorso fatto dal fotone porta alla distruzione della figura d'interferenza.

animazione che mostra le tre osservazioni sperimentali



il video mostra lo strano comportamento delle particelle nell'esperimento di Young 

video lezione

https://phet.colorado.edu/it/simulation/legacy/quantum-wave-interference
 applet esperimento doppia fenditura con fotoni o particelle


Video esperimento (inglese) di interferenza di singoli fotoni con doppia fenditura
 

venerdì 7 aprile 2017

DETERMINAZIONE DELLA MASSA DELLA TERRA

Dalla legge di gravitazione:

Si può ricavare G ma servirebbe conoscere la massa della Terra che è impossibile da calcolare visto che non è omogenea. Allora  G si ricava sperimentalmente e tramite essa si calcola la massa della Terra.
Nell'esperimento di Cavendish  del 1771 si determinò il valore di G utilizzando una bilancia di torsione molto sensibile.

 Nel video sopra e sotto viene ripetuto l'esperimento per il calcolo di G

ATOMO DI BOHR

ATOMO DI BOHR (interpretazione quantistica): Nel 1913 Bohr risolse il problema fornendo un'interpretazione quantistica. Le ipotesi sono:
1) esistono orbite stabili associate ad una determinata energia dove l'elettrone può girare senza irradiare.
2)La transizione dell'elettrone da un'orbita di energia E1 ad un'orbita di energia E2 avviene solo per assorbimento o emissione di un quanto di energia hf=|E1-E2|
Questo spiega le LINEE SPETTRALI di emissione o assorbimento che caratterizzano un elemento chimico.
3)Anche il momento angolare dell'elettrone è quantizzato cioè può essere solo multiplo intero di una certa quantità :

Consideriamo un ATOMO DI IDROGENO formato da un elettrone di carica -e, di massa m che si muove di moto circolare uniforme di raggio r intorno al nucleo di carica positiva +e .  Calcoliamo i raggi delle orbite stabili degli elettroni.
La forza centripeta è F=m v²/r ed è anche la forza elettrostatica di attrazione tra  elettrone e nucleo data da F=ke²/r²
Quindi:  m v²/r=ke²/r² si ricava che : 
mv²=ke²/r (*)
Per l'ipotesi 2) il momento angolare è quantizzato come l'energia e risulta: 

(**)

con n=1,2,3....
sostituendo in (*) ed esplicitando r si ottiene:
quindi anche le orbite sono quantizzate e i raggi aumentano con il quadrato di n=1,2,...
L'orbita più piccola è data da n=1 e vale:
ed è detto raggio di Bohr.
Quindi i raggi delle altre orbite permesse sono multipli con n² di r1:
Calcoliamo ora le energie associate ad ogni orbita. L'energia dell'elettrone è la somma dell'energia cinetica e di quella potenziale :
 sostituendo la (*) mv²=ke²/r si ottiene:
e sostituendo l'espressione dell'orbita n-esima si trova l'energia associata:
Quindi l'energia è quantizzata e l'energia massima in valore assoluto corrisponde a quella della prima orbita :
Questo è il livello più stabile per l'elettrone e per l'atomo. 
E' detto anche STATO FONDAMENTALE.
E' analogo al pavimento per una pallina nel caso gravitazionale. La pallina tende sempre a cadere sul pavimento. 
L'energia che corrisponde all'orbita n-esima è :
 
Questi sono sono detti LIVELLI ECCITATI e sono meno stabili.
Per liberare l'elettrone dall'atomo a livello fondamentale bisogna fornire energia per farlo passare su stati eccitati. La minima energia da fornire è E1.
Un elettrone posto in un livello eccitato Ei ritorna spontaneamente ad un livello più stabile Ef ed EMETTE un fotone di energia hf uguale alla differenza delle energie dei due livelli: Ei-Ef. Quindi l'atomo di un certo elemento è capace di emettere solo determinate frequenze discrete e questo spiega le linee di emissione dello spettro.


Viceversa un elettrone può passare da un livello meno eccitato Ei ad uno più eccitato Ef solo se ASSORBE l'energia di un fotone e questo avviene solo se la frequenza del fotone e tale che hf=Ei-Ef. Quindi l'atomo è capace di assorbire solo determinate frequenze e questo spiega le righe di assorbimento dello spettro di un elemento.

Quindi un fotone emesso in una transizione dallo stato n allo stato k (n>k) ha una frequenza  f tale che:
e da questa si trova la Formula di Balmer sulle linee di emissioni degli spettri, già nota perché ricavata anni prima di Bohr in modo empirico:
in questa applet si può simulare il salto dell'elettrone tra due livelli e osservare lo spettro di emissione e assorbimento

ANALOGIA:  Tornando all'analogia con la pallina e il campo gravitazionale abbiamo detto che il pavimento è lo stato fondamentale. Fornendo energia alla pallina la si può portare ad una qualunque altezza dal pavimento. Nel caso dell'elettrone vi è una differenza importante: le altezze permesse sono solo alcune. E' come se ci fossero degli scalini da superare.
video lezione in italiano su l'atomo di Bohr

video in inglese spiega in modo schematico e approfondito il modello atomico di Bohr con animazioni.

Usa il seguente applet per trovare la frequenza della radiazione da fornire all'elettrone per permettere il salto di livello:
http://astro.unl.edu/naap/hydrogen/animations/hydrogen_atom.html