lunedì 4 settembre 2017

ESPERIMENTI: i VETTORI


rappresentazione cartesiana di un vettore
















 equilibrio tra forze (composizione di vettori) SCHEDA

ESPERIMENTI: LEGGE DI SNELL e RIFRAZIONE

Semplici esperimenti da provare a casa:
cannuccia in un bicchiere d'acqua (n=1,33)

cannuccia in sapone liquido (glicerina n=1,47)

scherzi della rifrazione
moneta che compare in una vaschetta con acqua

Si osserva la rifrazione di un fascio di luce laser quando attraversa un liquido.

Nel video sopra si spiega un gioco di prestigio che sfrutta la rifrazione: la monetina posta in una bacinella compare aggiungendo acqua.

 Nel video si dimostra la legge di Snell misurando l'angolo di rifrazione della luce che attraversa l'acqua


ISTRUZIONI ESPERIMENTO GIOCHI ANACLETO
scheda per gli alunni 

Nel seguente video si esegue lo stesso esperimento della scheda sostituendo la vaschetta d'acqua tonda con un prisma .


Esperimento simile con prisma di vetro:


 

venerdì 7 luglio 2017

SCOPERTA LA PARTICELLA Xi




Scoperta al Cern la particella Xi: inseguita da decenni, potrà aiutare a studiare la 'colla' che tiene unita la materia, ossia per capire una delle quattro forze fondamentali della natura: la forza forte. La scoperta, annunciata nella conferenza della Società Europea di Fisica in corso a Venezia e in via di pubblicazione sulla rivista Physical Review Letters, è avvenuta grazie all'acceleratore più grande del mondo, il Large Hadron Collider (Lhc).

Vista dall'esperimento chiamato Lhcb, la particella appartiene alla famiglia dei barioni, la stessa di cui fanno parte protoni e neutroni che costituiscono la materia visibile, e come tutti i barioni è composta da tre quark, come prevede la teoria di riferimento della fisica chiamata Modello Standard. Tuttavia nei barioni finora noti si trova al massimo un solo quark pesante, mentre la particella Xi ha due quark pesanti.

E' la prima volta che si osserva una particella simile: un barione con due quark pesanti.

La particella Xi appena scoperta al Cern è già generosa di sorprese, al punto che i mattoni della materia che la costituiscono, i quark, potrebbero comportarsi come un sistema planetario in miniatura. I due quark pesanti, che sono l'elemento distintivo della nuova particella avrebbero infatti movimenti più lenti e solenni rispetto a quelli dei quark leggeri presenti in protoni e neutroni, che ricordano una danza. 
In questo sistema planetario in miniatura i due quark pesanti giocano il ruolo di stelle che orbitano l'una attorno all'altra, mentre il quark più leggero orbita intorno al sistema binario.

La particella Xi promette di essere una chiave senza precedenti per scoprire i segreti della 'colla' della materia, ossia il comportamento delle forze che agiscono nel mondo dell'infinitamente piccolo. Trovare un barione con due quark pesanti  è di grande interesse perché può fornire uno strumento unico per approfondire la cromodinamica quantistica", ossia il campo di ricerca che studia come l'intensità delle forze si riduce quando le distanze tra le particelle diventano molto piccole e che si chiama così in riferimento alle otto cariche che prendono il nome dai tre colori che descrivono i quark: rossi, gialli e blu. E' un campo di ricerca molto importante, nato grazie alle ricerche inaugurate 1963 fa dal fisico Nicola Cabibbo con il teorema che porta il suo nome, l'Angolo di Cabibbo, e che ha gettato le basi per comprendere come i mattoni della materia, i quark, si mescolano dando origine alle particelle elementari.

martedì 30 maggio 2017

SECONDA LEGGE DELLA TERMODINAMICA

Quando due corpi sono posti a contatto il calore fluisce dal corpo caldo a quello freddo.
 
1° ENUNCIATO DI CLASIUS: E' impossibile il passaggio spontaneo di CALORE da un corpo "freddo" ad un corpo "caldo".

Il passaggio di calore dal corpo caldo a quello freddo può avvenire sono a condizione di compiere lavoro (es. frigorifero). Questo fatto si può esprimere dicendo che:
 
2° ENUNCIATO DI CLASIUS: e' impossibile realizzare una trasformazione il CUI UNICO risultato sia il passaggio di calore da un corpo "freddo" ad uno "caldo". 

Una MACCHINA TERMICA compie sempre un CICLO termodinamico assorbendo calore da una sorgente CALDA, compiendo LAVORO e cedendo calore ad una sorgente FREDDA. 

Non tutto il calore si può trasformare in lavoro. 
L=Qass-Qced
Quindi solo una parte del calore assorbito viene trasformato in lavoro mentre la parte rimanente  è ceduto alla sorgente fredda (di solito l'ambiente esterno)

ENUNCIATO DI KELVIN: E' impossibile realizzare una macchina termica il cui UNICO risultato sia produrre lavoro scambiando calore con una SOLA sorgente .

Quindi serve sempre una sorgente fredda e una calda. 
Si dimostra l'equivalenza dei due enunciati.

Il RENDIMENDO di una macchina dipende dalla quantità di  calore assorbito che si riesce a  trasformare in lavoro.
Il rendimento della macchina a vapore di Watt non superava il 4%. 


IL PRINCIPIO DI CARNOT
Esiste un limite invalicabile al rendimento di una macchina termica, che dipende soltanto dalla differenza di temperatura delle sorgenti con cui la macchina scambia calore.


Quindi una quantità di calore assorbita da due sorgenti con temperatura diversa TA e TB produce più lavoro da quella che si trova a temperatura maggiore. 
Per questo motivo il calore ceduto dal motore all'ambiente si dice che si DEGRADA fino ad essere inutilizzabile.(es. l'infinito calore degli oceani)

Il rendimento massimo (quello con =) si ottiene con la macchina ideale di Carnot che compie un ciclo termodinamico reversibile formato da due trasformazioni isoterme e due adiabatiche.
Il rendimento di una macchina reale che compie trasformazioni irreversibili è sempre minore del rendimento della macchina di Carnot

 

martedì 23 maggio 2017

APPLICAZIONE DELLA 1° LEGGE ALLE TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE di un gas IDEALE

Cosideriamo un gas ideale monatomico.
Premessa :  1°legge:  dU= Q-L
Dove:U=3/2nRT è la variazione di energia interna del gas
Q=ncdT è il calore scambiato che dipende dal calore molare c del gas che ha un valore diverso che dipende dal gas e da come avvenuta la trasformazione.


TRASFORMAZIONE ISOBARA

p=costante

V/T=cost -- il VOLUME è direttamente proporzionale alla TEMPERATURA assoluta.

Il calore Q assorbito o ceduto nell'espansione o nella compressione di una gas è dato da:
Q=nCp(Tf -Ti) dove Cp è il calore molare a pressione costante

La variazione di energia interna che corrisponde alla variazione dT=(Tf -Ti) di temperatura è :
dU=3/2nRdT

Il lavoro in una trasformazione Isobara è:
L=pdV
Per un gas perfetto pV=nRT e quindi pdV=nRdT e il lavoro si esprime anche come: L=nRdT

Sostituendo nella 1° legge-:

dU= Q-L   ---> 3/2nRdT=nCpdT-nRdT
semplificando:
 
Cp=5/2R calore specifico molare a PRESSIONE costante

TRASFORMAZIONE ISOCORA

V=costante

 p/T=costante -- La pressione è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta.

Il lavoro è nullo: L=0

Quindi la variazione di energia è uguale al calore.
dU=Q
dove  Q=nCVdT
con CV calore specifico molare a volume costante
dU=3/2nRdT come per tutti gas perfetti
Sostituendo:
nCVdT=3/2nRdT
si ottiene che : 
CV=3/2R calore specifico molare a VOLUME costante

RELAZIONE DI MAYER: 
Cp-CV=R    con R=8,31J/molK


NB: serve più calore per innalzare di 1 K la tempeteratura di un gas perfetto a pressione costante rispetto a quello che serve per innalzare di 1K un gas a volume costante . 

TRASFORMAZIONE ISOTERMA

T=costante 
pV=costante  -- la pressione è inversamente proporzionale al volume.
Ricordiamo che l'energia interna U=U(T) è una funzione di stato che dipende solo da T . Quindi in una trasformazione isoterma U non varia e la variazione di energia interna è nulla : dU=0
Il lavoro è l'area sottesa dal grafico p-V dell'iperbole equilatera che rappresenta la trasformazione:

con il calcolo integrale si dimostra che: L=nRln(Vf/Vi)
Il lavoro è direttamente proporzionale la logaritmo naturale del rapporto tra il volume finale e quello iniziale.
Per la prima legge : Q=L

TRASFORMAZIONE ADIABATICA

Una trasformazione si dice adiabatica quando avviene SENZA SCAMBIO DI CALORE con l'esterno.
Quindi: Q=0 e dU=-L
essendo sempre  dU=3/2nRdT si può determinare anche L.

L'equazione della trasformazione adiabatica è:  

 

martedì 9 maggio 2017

LE LEGGI DELLA TERMODINAMICA

PRINCIPIO ZERO: Il calore è una forma di energia che fluisce spontaneamente da un corpo caldo ad un corpo freddo fino al raggiungimento della temperatura di equilibrio.

CONVENZIONE SUI SEGNI:


1° PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA 
(legge di conservazione dell'energia) 
dato un sistema termodinamico vale:
dU= Q-L
dove  dU=Uf-Ui è la variazione di energia interna del sistema
Q>0 è il calore assorbito e L>0 il lavoro svolto dal sistema.


Uno STATO DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO del sistema è individuato dalle coordinate termodinamiche (p,V,T). Per un gas perfetto sono sufficienti due coordinate per descrivere uno stato perchè la terza è univocamente determinata dalla legge dei gas. Uno stato è quindi un punto nel piano pV.

Una trasformazione termodinamica è il passaggio del sistema da uno stato A iniziale ad uno stato B finale durante il quale vi è uno scambio di calore e di lavoro con l'ambiente esterno. 

La trasformazione si dice reversibile se è possibile ripercorrere al cotrario la trasformazione ritornando nello stato iniziale. In natura le trasformazioni sono sempre irreversibili perchè avvengono in modo violento e caotico. Una trasformazione è reversibile se si svolge molto lentamente in modo da passare da uno stato di equilibrio ad un altro. In ogni passo bisogna aspettare l'equilibrio dei valori di p, V e T.

La trasformazione termodinamica reversibile è rappresentata da un grafico nel piano p-V.
Una grandezza è una FUNZIONE DI STATO se il suo valore dipende solo dallo stato del sistema e non dalla trasformazione che l'ha portato in quello stato. 
L'energia interna U è una funzione di stato mentre L e Q non lo sono.
In particolare l'energia interna è solo funzione della temperatura. Si scrive: U=U(T) . Intatti U=(3/2)nRT


Una trasformazione si dice CICLICA se lo stato iniziale coincide con lo stato finale. (es. motore termodinamico)
In una trasformazione ciclica dU=0 e quindi per il primo pricipio  Q-L=0 e Q=L dove Q è il calore scambiato.

Quindi un motore per compiere lavoro deve scambiare calore con l'ambiente esterno.

TRASFORMAZIONE ISOBARA
p=cost
Pensiamo ad un gas che si espande in un cilindro con pistone mobile mantenendo la pressione costante uguale a p0. Il gas esercita una forza F=p0A dove A è la superficie del pistone. 
Quindi il lavoro è L=Fdx= p0Adx=p0dV
L=pdV
quindi se la pressione è costante il LAVORO è il prodotto della pressione per la variazione di volume dV .

Il lavoro corrisponde all'area sottesa dal grafico nel piano pV della trasformazione isobara .
trasformazione isobara
E' facile dimostrare che il lavoro è l'area sottesa dal grafico pV per qualunque trasformazione:
si suddivide la trasformazione in variazioni molto piccole di volume dV in modo di poter considerare la pressione costante durante tali variazioni . Il lavoro per tali variazioni dV è l'area del rettangolino sotteso al grafico e il lavoro totale è la somma di questi contributi.
Quindi in una trasformazione ciclica l'area interna al grafico è il lavoro L = al calore.

TRASFORMAZIONE ISOCORA:
V=costante allora L=0
In una trasformazione isocora il LAVORO è NULLO
per il primo principio : dU=Q
La variazione di energia interna è uguale al calore assorbito o ceduto.
 dimostrazione della prima legge

LEGGE DEI GAS PERFETTI

LEGGE DEI GAS PERFETTI

pV=nRT

dove: p= pressione, V=volume, n=numero di moli, R=costante dei gas=8,31J/(mol K) e T =temperatura ASSOLUTA in gradi Kelvin
NB: 1mole contiene un numero di Avogadro di molecole NA=6,022 10^23 




Come casi particolari si ha:

1)LEGGE DI BOYLE   T=costante
pV=costante   p1V1=p2V2
A temperatura costante (isotermica)  il volume è inversamente proporzionale alla pressione.
2) PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC (legge di Charles)   p=costante

V/T= costante  V1/T1=V2/T2
A pressione costante (isobara) il volume è direttamente proporzionale alla temperatura.

3) SECONDA  LEGGE DI GAY-LUSSAC   V=costante

p/T= costante  p1/T1=p2/T2

A volume costante (isocora) la pressione è direttamente proporzionale alla temperatura. 





giovedì 4 maggio 2017

POTENZA ED ENERGIA

La POTENZA è il rapporto tra il lavoro e il tempo impegato. L'unita di misura è il Watt: 1W=1J/1s

 L'ENERGIA è la capacità di compiere lavoro. Si misura in Joule come il lavoro.

Esistono varie forme di energia:

ENERGIA CINETICA: è l'energia che possiede un corpo in movimento.


Es: un corpo A che si muove con velocità v compie lavoro quando colpisce spostando un secondo corpo B.

Per definizione l'energia cinetica di un corpo di massa m e velocità v è uguale al LAVORO che bisogna compiere con una forza F per portare un corpo fermo fino alla velocità v.
Risulta L=Fs con F=ma , v=at e lo spostamento  dato da: s=1/2at² 
Sostituendo nell'espressione di L e semplificando si ottiene:
L=ma(1/2at²)=1/2m(at)² =1/2mv²
L'energia cinetica è direttamente proporzionale alla massa del corpo e al quadrato della velocità.
video lezione sulla definizione di energia cinetica 
TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA: se su un corpo di massa m ed energia cinetica Ki si compie un lavoro L allora la sua energia cinetica finale sarà: Kf =Ki +W
Quindi W=Kf -Ki
Il lavoro si può sempre esprimere come differenza di energia cinetica.

ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE:
è l'energia posseduta da un corpo di massa m posto ad una certa altezza h da terra.
Infatti il corpo cadendo puo' compiere lavoro aumentando la sua energia cinetica .


L'energia potenziale di un corpo di massa m posto ad un'altezza h è pari al lavoro fatto dalla forza peso per portare il corpo a terra.
Quindi: U=Ph=mgh

Il LAVORO fatto dalla forza peso per portare un corpo di massa m da un punto A ad altezza hA fino ad un punto B ad altezza hB è uguale alla differenza tra energia potenziale iniziale e quella finale.

NB: il lavoro fatto dalla forza peso per portare un corpo dal punto A fino ad un punto B non dipende dal percorso ma solo dal dislivello tra i due punti. Si dice che la forza di gravità è una forza CONSERVATIVA.

Il video spiega cosa s'intende per forza conservativa

LEGGE DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA

Abbiamo visto che il lavoro (in assenza di attriti) si può  sempre esprimere in due modi equivalenti: come variazione di energia cinetica e come variazione di energia potenziale gravitazionale.
Quindi si può scrivere che:
segue che: 

e quindi l'energia totale del corpo data dalla somma dell'energia cinetica e potenziale gravitazionale si conserva. L'energia totale all'inizio è uguale a quella finale. L'energia cinetica si trasforma in potenziale oppure l'energia potenziale si trasforma in cinetica e la loro somma rimane costante.
Etot=cost
applet sulla conservazione energia meccanica



Problema proposto dal video


martedì 2 maggio 2017

STRUTTURA DEL NUCLEO

Intorno alla fine del 1800 si scopre l'esistenza di particelle cariche negativamente detti ELETTRONI (Thomson con i raggi catodici) e di particelle cariche positivamente chiamate successivamente PROTONI ( esperimento di Goldstein e studio dei raggi anodici detti raggi canale).

I PROTONI hanno una massa 1836 volte quella dell'elettrone e carica uguale +e u positiva uguale a quella dell'elettrone ma positiva.



1910:  Rutherford con il suo esperimento scopre l'esistenza del nucleo dell'atomo avente dimensioni dell'ordine di 10^-15 e dove è concentrata tutta la massa.


1932 James Chadwick scopre una particella elettricamente neutra e con massa leggermente maggiore di quella del protone

Negli anni successivi  si scopre che il nucleo è formato da un certo numero di NEUTRONI E PROTONI detti NUCLEONI.
Dato l'atomo di un certo elemento chimico si definisce:

NUMERO ATOMICO Z: numero dei PROTONI nel nucleo. Questo caratterizza l'elemento chimico. L'idrogeno ha Z=1, l'elio ha Z=2 ecc. Un atomo neutro ha anche Z elettroni.

Numero di Neutroni: N

NUMERO DI MASSA A: numero di NUCLEONI che formano il nucleo . A=Z+N

notazioni: il nucleo di un elemento X con numero atomico Z e numero di massa A si indica con la seguente notazione:


I nuclei dello stesso elemento hanno lo stesso numero atomico Z cioè lo stesso numero di protoni mentre per nuclei dello stesso elemento può differire il numero dei neutroni e quindi il numero di massa A. Nuclei con lo stesso numero Z di protoni e diverso numero di massa A di dicono ISOTOPI di quel elemento.

Ad esempio sono ISOTOPI dell'idrogeno:

isotopi dell'elio:

https://phet.colorado.edu/it/simulation/legacy/isotopes-and-atomic-mass

Ogni elemento si trova in natura come una miscela di isotopi. 

Per misurare la massa degli isotopi di un elemento naturale si usa lo spettrometro di massa .Gli atomi dell’elemento, sottoposti a una scarica elettrica, perdono alcuni elettroni e si trasformano in ioni positivi. La macchina riesce a separare i vari isotopi, variando gradualmente l’intensità del campo magnetico (vedi forza di Lorentz), e a determinare sia la massa sia la percentuale di ciascun isotopo presente nell’elemento naturale.


Per elementi con numero di massa A piccolo il numero di protoni Z e quasi uguale al numero di neutroni N
Al crescere di Z il numero N di neutroni che servono a garantire la stabilità cresce


Gli isotopi possono essere stabili o instabili.
Gli isotopi instabili si chiamano RADIONUCLIDI e si trasformano spontaneamente in altri nuclei emettendo una o più particelle. In questo caso si parla di RADIOATTIVITA'.
Fino al 43° elemento  gli isotopi sono stabili mentre dopo (Z>43 e A>86)  gli elementi hanno tutti isotopi instabili. 

ENERGIA DI LEGAME  del nucleo: è l'energia che tiene insieme i nucleoni. E' quindi l'energia minima che bisognerebbe fornire per allontanare i nucleoni.
L'energia di legame è pari alla differenza tra la somma delle masse dei singoli nucleoni e la massa del nucleo intero.
 Questa massa è detta DIFETTO DI MASSA ed è quindi data da:

dove :
sono rispettivamente la massa del protone e del neutrone.

Esempio : La massa del nucleo di elio è 3727,4 MeV/c² e il suo difetto di massa  è di circa 28 MeV/c²  . L'energia di legame è E=28 MeV quantità piuttosto elevata.

L'ENERGIA DI LEGAME PER NUCLEONE è il rapporto tra l'energia di legame e il numero di massa data da E/A . Maggiore è E/A maggiore è la stabilità del nucleo.
Nel seguente grafico si mostra come varia l'energia di legame per nucleone in funzione del numero di massa A.
Si vede che dopo un certo valore di A rimane piuttosto costante su un valore medio di 8MeV
Infatti ogni nucleone porta un contributo relativo ai nucleoni con cui si trova in contatto ed E è proporzionale ad A.
Quando un nucleo è instabile si trasforma in un nuclei più stabili con maggiore energia di legame.
Nei decadimenti rimane costante il numero di nucleoni

Nella FUSIONE NUCLEARE due nuclei leggeri (Z<28 del ferro) si fondono formando un nucleo più pesante e rilasciando energia. Infatti il nucleo prodotto ha una massa minore della somma delle masse dei nuclei iniziali. 

I prodotti dei decadimenti nucleari sono di tre tipi:

RAGGI ALFA: sono nuclei di ELIO He(Z=2, A=4)
RAGGI BETA: elettroni nel caso di raggi beta- e positroni nel caso di raggi beta +. Un positrone è una particella con la stessa massa dell'elettrone e carica +e.
RAGGI GAMMA: radiazione elettromagnetica di elevata frequenza

DECADIMENTO ALFA: 
Un nucleo X instabile con numero atomico Z e A>83 emette una particella alfa e si trasforma in elemento con Z-2 protoni e A-4 nucleoni.
Esempio : decadimento dell'uranio 238
l'uranio(Z=92) con A=238 emette una particella alfa e si trasformain Torio (Z=90) 234

https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/alpha-decay

DECADIMENTO BETA MENO: 
Un nucleo X con numero atomico Z decade in un nucleo Y con numero atomico Z+1 e lo stesso numero di massa A insieme ad un elettrone e un antineutrino.Il protone resta nel nucleo atomico, mentre le altre due particelle vengono emesse.

Esempio:
Il numero di protoni aumenta di +1 mentre un numero di massa rimane lo stesso.

Infatti nel nucleo un neutrone decade in una coppia protone-elettrone più un antineutrino elettronico:
Esempio : CARBONIO 14 è un isotopo instabile del carbonio che decade con un decadimento beta meno. (tempo di dimezzamento=5730anni). Ogni essere vivente mantiene durante la vita una concentrazione costante di questo isotopo uguale a quella presente in atmosfera.
 
 Per questo  è utilizzato per la radiodatazione.

 


DECADIMENTO BETA PIU':
Trasformazione di un protone del nucleo in un neutrone, con emissione di un positrone 

Un nucleo X con numero atomico Z si trasforma in un nucleo Y con numero atomico Z-1 e lo stesso numero di massa A insieme ad un positrone e un neutrino elettronico.
Esempio:


DECADIMENTO GAMMA: decadimento consiste in una emissione di energia sotto forma di radiazione γ

LEGGE DI DECADIMENTO

La probabilità  che un generico nucleo di un dato campione decada nell'unità di tempo si chiama COSTANTE DI DECADIMENTO e si indica con lambda.

Il suo reciproco è la VITA MEDIA (intesa come media della funzione  del radionuclide) :
è  statisticamente il tempo medio che deve trascorrere prima che il radionuclide decada. 

L'ATTIVITA' R del campione è il numero medio dei nuclei del campione che decadono al secondo.

IL TEMPO DI DIMEZZAMENTO: è l'intervallo di tempo in cui il numero dei nuclei decaduti N e l'attività R si riducono alla metà del valore iniziale.

Il numero N(t) dei nuclei radioattivi di un dato campione decresce in modo esponenziale secondo la legge:
dove N0 è il numero iniziale di nuclei radioattivi e lambda è costante di decadimento (probabilità di decadere).
INFATTI:
dN(t) è la variazione del numero di nuclei radioattivi nel tempo dt data da  N(t+dt)-N(t)=differenza tra numero dei nuclei radiottivi rimasti dopo un tempo t+dt e quelli presenti all'inizio al tempo t=nuclei decaduti nell'intervallo di tempo dt. dN(t) è negativo perchè la funzione è decrescente. Ma il numero di nuclei decaduti nel tempo dt si può  esprimere come il prodotto della probabilità di decadere in 1sec per il numero di nuclei radiottivi presenti N(t) e per il tempo dt. 
Si ottiene la seguente equazione differenziale :
 passando all'integrale:
e quindi:
e risulta k=N0
come si voleva dimostrare. 

La derivata dN/dt di N(t) in valore assoluto risulta uguale all'ATTIVITA' R(T). 
Infatti dN/dt è la velocità con la quale decresce il numero di nuclei radiottivi e , a parte il segno, è uguale ai decadimenti al secondo al tempo t  che per definizione è l'attività R.

dove
è in numero di nuclei che decadono in un secondo all'inizio.
R(t) si misura in Becquerel : 1Bq=1decadimento/sec

Per determinare il TEMPO DI DIMEZZAMENTO basta porre che l'attività si è ridotta a metà: