Consideriamo due sorgenti di onde circolari puntiformi A e B poste ad una certa distanza d che oscillano un fase con frequenza f.
Nel disegno rappresentiamo le creste con la linea continua e le gole dell'onda con il tratteggio. Ho punti d'interferenza costruttiva se in essi si incontrano due creste o due gole. Ho punti di interferenza distruttiva quando in essi si incontra una cresta con una gola. Un punto P è di interferenza distruttiva se e solo se ha distanza x₁ che è multiplo di una lunghezza d'onda da una sorgente da cui è arrivata la cresta e ha una distanza x₂ che multiplo dispari di mezza lunghezza d'onda dalla sorgente da cui è arrivata la gola. Dunque P è di interferenza DISTRUTTIVA se e solo se |x₁-x₂|=(2k-1)𝛌/2. Solo se la differenza dei cammini dalle due sorgenti è MULTIPLO DISPARI DI MEZZA LUNGHEZZA D'ONDA.
I punti d'interferenza distruttiva formano dei rami di IPERBOLE . Basta ricordare che per definizione di iperbole i suoi punti sono caratterizzati da una differenza delle distanze dai fuochi costante.
La fem indotta è lavoro su unità di carica e nel caso di una spira coincide con la circuitazione del campo E indotto che muove le cariche e che è calcolato lungo la spira.
Per questo motivo la legge di Faraday la si può esprimere in funzione del campo elettrico e magnetico nel seguente modo:
L'equazione mette in relazione campo elettrico e magnetico e ci dice che non è più necessaria la presenza di una spira. Fissato un percorso l nello spazio, se attraverso esso vi è una variazione del flusso magnetico concatenato allora si genera un campo elettrico E indotto la cui circuitazione attraverso l è proprio uguale alla derivata del flusso concatenato. Quindi un campo magnetico variabile genera un campo elettrico variabile. Se ad esempio ho un campo magnetico B entrante nel piano che aumenta nel tempo si genera una campo elettrico indotto le cui linee di campo sono circolari sul piano e con verso regolato dalla legge di Lenz e quindi antiorario come quello che avrebbe la corrente indotta se al posto della linea di campo E vi fosse messa una spira circolare.
E' vero il viceversa? Un campo elettrico variabile può generare un campo magnetico variabile?
La risposta e fornita dalla soluzione del il PARADOSSO elettromagnetico: consideriamo un circuito percorso da corrente che alimenta un condensatore. Nella fase di carica il campo elettrico nel condensatore è variabile.
Chiaramente tra le armature del condensatore si genera un campo elettrico variabile. Consideriamo una linea di circuitazione circolare intorno al filo conduttore e applichiamo il Teorema di circuitazione. Presa una qualunque superficie S avente per contorno l, le correnti concatenate sono quelle che intersecano S. Il paradosso nasce dal fatto che prendendo la superficie S ottengo C(B)=𝜇0i mentre se prendo S' che passa tra le due armature ottengo zero. Dovrebbero dare lo stesso risultato perchè la circuitazione del campo B lungo l non dipende dalla scelta della superficie avente per contorno l che viene scelta per determinare le correnti concatenate.
SOLUZIONE DEL PARADOSSO: Tra le due armature non sono presenti correnti reali ma è presente un campo elettrico variabile. Maxwell dimostrò che la variazione del flusso del campo elettrico variabile è equivalente ad una corrente detta CORRENTE DI SPOSTAMENTO:
Quindi nel Teorema di Circuitazione bisogna considerare insieme alle correnti "reali" di conduzione anche quelle di spostamento date da campi elettrici variabili.
Si ottiene così il Teorema di Circuitazione generalizzato:
sostituendo:
che nel vuoto diventa:
che è un'equazione simmetrica alla legge di Faraday:
Consideriamo un solenoide con N spire percorso da una corrente variabile (ad esempio corrente alternata) i(t). Come noto dentro il solenoide è generato un campo magnetico che in questo caso è variabile. B(t)=𝝁₀ni(t) con n numero di spire su metro n=N/l Di conseguenza il flusso concatenato con le spire del solenoide è variabile e si genera una corrente che si dice corrente AUTOINDOTTA. In tal caso si parla si fenomeno di AUTOINDUZIONE. Il campo B è proporzionale alla corrente e quindi anche il flusso concatenato è proporzionale con la corrente . Si pone : 𝞥(B)=Li La costante di proporzionalità L tra il flusso e la corrente si chiama INDUTTANZA . L'induttanza è una caratteristica di ogni dispositivo elettrico come la resistenza e la capacità. In generale in ogni dispositivo elettrico si manifesta autoinduzione . in tal caso la forza elettromotrice autoindotta è data da: 𝝴=-d𝞥(B)/dt=-Ldi/dt (fem=induttanza per la derivata della corrente)
Calcoliamo l'INDUTTANZA di un SOLENOIDE: 𝞥(B)=NAB=NA𝝁₀ni(t)=(𝝁₀AN²/l)i(t) quindi L=𝝁₀AN²/l l'induttanza dipende solo da caratteristiche geometriche del solenoide (superficie A delle spire, lunghezza l del solenoide, numero di spire N e dipende dal materiale con la costante 𝝁) L'unità di misura dell'induttanza è l'Henry : 1H=1Wb/1A
La diffrazione è un fenomeno associato alla propagazione delle onde,
i cui effetti si manifestano quando un’onda incontra un ostacolo o una
fenditura le cui dimensioni sono comparabili o minori rispetto alla
propria lunghezza d’onda.
La diffrazione è un fenomeno associato alla propagazione delle onde,
i cui effetti si manifestano quando un’onda incontra un ostacolo o una
fenditura le cui dimensioni sono comparabili o minori rispetto alla
propria lunghezza d’onda. La diffrazione è la capacità tipica delle onde
(e non dei corpuscoli) di propagarsi dietro ostacoli e fenditure di
dimensioni comparabili o minori di quelle della lunghezza d'onda. In
accordo col principio di Huygens, dopo che la luce ha attraversato una
fenditura, ogni punto della fenditura si comporta come se fosse a sua
volta una sorgente di onde circolari e queste onde interagiscono tra
loro mediante il fenomeno dell’interferenza.
Se per la luce valesse l'ipotesi corpuscolare il fascio di luce che attraversa un piccolo foro dovrebbe generare sullo schermo posto davanti un solo cerchietto di luce. Nel caso dell'ostacolo dovrebbe proiettare un'ombra netta con la stessa forma dell'ostacolo. Così non è. Anche per la luce vale il fenomeno di diffrazione. La luce proiettata da una fenditura è un alternarsi di frange luminose e scure. La diffrazione è in effetti l’interferenza tra le diverse parti dell’onda che avviene dopo che l’onda stessa ha incontrato la fenditura o l'ostacolo. Questa è una prova a favore dell'ipotesi ondulatoria della luce.
DIFFRAZIONE DA SINGOLA FENDITURA
La figura di diffrazione consiste nell'alternarsi di frange chiare e scure. Per una stretta fenditura si ha una banda centrale larga ed intensa (massimo centrale) affiancata da bande secondarie più strette e meno intense (massimi secondari) e da una serie di bande oscure (minimi). E' proprio la banda centrale molto grande che permette di distingure la figura di diffrazione dall'interferenza prodotta da due fenditure.
Consideriamo una fessura di larghezza a di dimensioni paragonabili alla lunghezza d’onda 𝞴 della luce. Ogni punto della fenditura genera onde circolari secondarie che si propagano in tutte le direzioni. Se la differenza di cammino delle onde secondarie generate da tutti i punti all’interno della fenditura è pari ad un multiplo della lunghezza d’onda 𝞴 della luce, le onde interferiscono costruttivamente e si ha un massimo nell’intensità di luce sullo schermo. Se la differenza dei cammini è un multiplo dispari di mezza lunghezza si ha un minimo (frangia scura) . (vedi interferenza di onde circolari)
Quindi dividiamo la fenditura in n punti da dove partono onde secondarie.
Consideriamo onde secondarie generate da punti della fenditura posti tra loro a una distanza fissata. Possiamo pensare di dividere la fenditura prima in due parti, poi in quattro e così via. Facciamo questo perchè la differenza dei cammini di due raggi uscenti da punti della fenditura posti tra loro ad una data distanza, è sempre la stessa a parità di inclinazione 𝛳 rispetto all'orizzontale .
Partiamo con l'analizzare due onde secondare le cui sorgenti sono distanti a/2 e vediamo in quale posizione dello schermo vanno interferire in modo distruttivo (buio). Così in questo caso la differenza di cammino delle onde secondarie generate dal bordo superiore della fenditura e dal suo punto medio (vedi fig. sopra: raggio 5 e 3 oppure del raggio 3 e 1) è uguale a:
se questa differenza di cammino è pari a mezza lunghezza d’onda ho il PRIMO MINIMO dopo il massimo centrale:
e quindi se :
allora si avrà interferenza distruttiva delle due onde (1°minimo)
Nella figura sopra, sull'asse orizzontale si rappresenta l'intensità della luce che arriva sullo schermo. Se si applica la condizione precedente a onde secondarie generate da punti della fenditura distanti a/4 si ottiene:
si ottiene il minimo di secondo ordine.
Infatti il sen𝜃 risulta maggiore del precedente e perciò la posizione è quella successiva rispetto al centro.
In generale posto con m l'ordine del MINIMO posso scrivere:
Per ipotesi la distanza D dello schermi dalla fenditura è molto grande rispetto alla larghezza della fenditura e quindi: sen𝞋=tg𝞋=y/D
dove y è la DISTANZA del MINIMO dal centro dello schermo e D è la distanza tra la fenditura e lo schermo .Sostituendo sopra si ottiene:
Possiamo determinare la distanza y del minimo di ordine m:
y è direttamente proporzionale alla distanza D dello schermo e inversamente proporzionale all'ampiezza della fenditura. Quindi se aumenta la distanza dello schermo oppure diminuisce l'ampiezza delle denditure allora la figura di diffrazione si allarga e aumentano le frange.
Questa relazione fornisce i valori di y in corrispondenza dei quali la figura di diffrazione ha intensità nulla (frange scure) Non dice invece nulla sul come varia l’intensità della luce sullo schermo. Qualitativamente si ha una larga frangia centrale luminosa e molto più intensa, con ai lati un alternarsi di frange chiare molto meno intense.
A parità di fenditura come cambia la figura di diffrazione del laser rosso rispetto a quello verde?
Essendo 𝞴r>𝞴v allora sen𝜃r>sen𝜃v e 𝜃r>𝜃v e quindi le
distanze tra le frange sono maggiori per il rosso rispetto al verde.
(vedi APPLET2)
A parita di colore della luce e quindi di 𝞴 se diminuisco le
dimensioni della fenditura 𝜃 aumenta e quindi la figura di diffrazione
si allarga. Ovviamente per ogni coppia di onde secondarie provenienti da
punti della fenditura separati dalla stessa distanza a/2 si verifica
la stessa condizione ottenuta sopra e sommando su tutte queste coppie di
onde secondarie si ottiene il primo minimo nello schermo.
nell'esperimento si calcola la distanza L tra i due minimi del primo ordine come mostrato in figura e si calcola l'angolo di apertura 𝝱 con sen𝝱=(L/2)/D e poi ricavo la larghezza a della fenditura con a=𝞴/sen𝝱
RETICOLO DI DIFFRAZIONE Un reticolo di diffrazione è costituito da un gran numero di fenditure sottili poste una vicina all’altra, ugualmente spaziate tra di loro. La distanza tra due fenditure successive si chiama passo del reticolo.
Ad esempio il CD è un reticolo con un passo di 10⁻⁶m. Se N è il numero di fenditure al cm del reticolo, il passo è d=(1/N) cm.
I raggi che escono da una fenditura si propagano in tutte le direzioni 𝝑. I raggi provenienti da ogni singola fenditura interferiscono tra loro diversamente in funzione dell'angolo 𝝑 I raggi che non sono deviati ( 𝝑=0) interferiscono costruttivamente formando un massimo centrale.
I raggi deviati dell'angolo 𝝑 rispetto all'orizzontale interferiscono costruttivamente se la differenza del cammino data da d∙sen𝝑 è multiplo della lunghezza d'onda: d∙sen𝝑=m𝝀 con m=0, ±1, ±2…
Ad esempio il primo massimo si ha per sen𝝑=𝝀/d se diminuisce il passo d aumenta 𝝑 e di conseguenza i massimi si allontanano tra loro. Notiamo come la posizione dei massimi dipende anche dalla lunghezza d'onda della luce e quindi dal colore. Il massimo del rosso è più spostato rispetto a quello del viola.
Nel caso del reticolo di diffrazione le frange sono più intense perchè si sommano le intensità dei raggi provenienti da più fenditure. All’aumentare del numero di fenditure i massimi diventano più intensi e più stretti fino a diventare delle righe ben definite.
Per questo motivo il retico viene utilizzato per separare i colori della luce. Il risultato è simile a quello che si ottiene con un prisma, tuttavia questi due strumenti sfruttano metodi diversi per separare le componenti cromatiche. Il reticolo sfrutta la diffrazione mentre il prisma usa la rifrazione. Nel caso del reticolo il colore più spostato è il rosso mentre nel prisma il rosso è quello meno deviato.
Il problema che si erano posti dopo il 1820 era il seguente: "Se una corrente è capace di generare un campo magnetico sarà possibile che, viceversa un campo magnetico generi una corrente?" La domanda scaturisce dalla filosofia di Kant che descrive una natura caratterizzata dalla simmetria. Il problema è risolto dal fisico inglese Faraday che nel 1831 eseguì un esperimento.
Su un nucleo di ferro toroidale erano presenti due avvolgimenti di filo conduttore (vedi figura). Il primo collegato ad un generatore G ed a un interruttore S. Il secondo era collegato ad un galvanometro (amperometro molto sensibile a piccole correnti). L'idea era quella di generare un campo magnetico con il primo avvolgimento e di osservare le conseguenze sul secondo circuito sapendo che il campo magnetico si propagava in tutto il nucleo di ferro.
In un primo momento ciò si dimostrava falso anche per elevati valori di corrente nel primo circuito. Quando ormai stava per rinunciare aprì l’interuttore S nel primo circuito e notò muoversi per un istante l’ago del galvanometro. Questo accadeva anche alla chiusura dell'interuttore ma in verso contrario. Per un breve istante, una corrente attraversava il secondo circuito. La corrente generata detta CORRENTE INDOTTA era molto debole. La causa della corrente non era il campo magnetico generato dal primo circuito ma la VARIAZIONE del campo magnetico data dalla variazione di corrente. Infatti alla chiusura e all'apertura del circuito la corrente passava istantaneamente da un valore finito i a 0 e viceversa.
Dunque un campo magnetico variabile nel tempo poteva produrre una corrente.
Il fenomeno prese il nome di induzione elettromagnetica e la corrente venne detta corrente indotta.
Per verificare la validità della legge, Faraday passò ad eseguire una serie di nuovi esperimenti usando un MAGNETE e una BOBINA collegata ad un amperometro.
Avvicinando e allontanando il magnete verso la bobina ferma in essa si generava una corrente indotta di verso opposto quando si cambia il verso del moto.
Girando il magnete per invertire la posizione dei poli magnetici cambiava nuovamente il verso della corrente.
La stessa cosa accadeva quando si teneva fermo il magnete e si avvicinava o allontanava la bobina. Inoltre:
1)La corrente risultava tanto più intensa quanto più veloce è il moto relativo magnete – bobina.
2)La corrente indotta era presente solo nell’istante in cui avveniva il moto .
La forza elettromotrice che genera la corrente indotta prese il nome di f.e.m. indotta.
L'esperimento riesce anche quando si varia la direzione del campo B facendo ad esempio ruotare il magnete:
Negli esperimenti, al posto del magnete si può anche usare il campo magnetico generato da una bobina percorsa da corrente.
Se il magnete è mosso nella direzione perpendicolare alla bobina il risultato è meno evidente. Quindi, dire che è la variazione del campo B responsabile della corrente indotta non è del tutto corretto.
La corrente è generata solo quando il campo B è variabile e linee di forza attraversano la superficie avente per contorno la bobina.
Qual è la grandezza fisica che descrive le linee di forza che attraversano la superficie? E' il FLUSSO di B!
La causa della corrente indotta è quindi la VARIAZIONE DEL FLUSSO CONCATENATO.
Tutte queste situazioni possono essere descritte in termini di variazione di un'unica quantità fisica, il FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO concatenato con il circuito dato. Il flusso concatenato è dato da:
dove A è la superficie deliminata dal circuito e interessata dalla presenza del campo B che forma un angolo 𝝰 con la normale alla superficie . Segue la LEGGE DI FARADAY:
La forza elettromotrice indotta è dovuta alla VARIAZIONE del flusso del campo B attraverso la superficie avente come contorno il circuito (detto FLUSSO CONCATENATO con il circuito)
dove la rapidità della variazione del flusso nel tempo è indicata dal rapporto 𝞓𝞥/𝞓t indica la variazione media di flusso, N indica il numero di avvolgimenti della bobina e il segno - indica il verso della corrente indotta come dedotta dalla Legge di Lenz. Se il flusso non varia in modo lineare con il tempo bisogna considerare la variazione istantanea di flusso data dalla derivata del flusso rispetto al tempo che si indica con: d𝞥/dt
Di conseguenza la corrente indotta è data dalla legge di Ohm: i=𝞮/R dove R è la resistenza.
Una variazione di flusso concatenato con il circuito si può descrivere in modo equivalente con le linee di forza del campo B. Possiamo affermare che la f.e.m. indotta si genera quando le linee di forza attraversano e tagliano il contorno del circuito. (Vedi l'animazione sotto)
APPLET
applet per simulare gli esperimenti di induzione CLICCA QUI Nell'Applet è possibile spostare magnete-spira e misurare la corrente con amperometro, aumentare il numero di spire, muovere spira-spira
altra applet: è possibile muovere il magnete per generare corrente indotta: CLICCA QUI
La LEGGE DI LENZ stabilisce il verso della corrente indotta ed è rappresentata dal segno - presente nell'equazione:
se il flusso non è lineare si usa la derivata:
LEGGE DI LENZ: il verso della corrente indotta è tale da opporsi alla causa che l'ha generata.
Consideriamo i seguenti casi:
Es 1: magnete che si avvicina alla spira con il polo NORD
Il verso della corrente indotta è tale da generare un polo Nord dalla parte del magnete che frena il magnete n avvicinamento. Quindi la corrente indotta genera un campo B indotto dalla parte del magnete e quindi il verso della corrente è antiorario se visto dalla parte del magnete.
Es 2: il magnete si allontana dalla spira.
la corrente indotta genera un polo SUD dalla parte del magnete che lo attira frenando il suo allontanamento. Il verso della corrente indotta è orario se visto dalla parte del magnete.
BARRA CONDUTTRICE IN MOTO SU UN CAMPO MAGNETICO In una barra che si muove con velocità v in un campo magnetico si genera una forza elettromatrice indotta.
In questo caso possiamo interpretare il fenomeno con la forza di Lorentz. Le cariche libere presenti nella barra conduttrice subiscono la forza di Lorentz F=qvB diretta lungo la barra. Si crea un accumolo di carica opposta agli estremi determinando una ddp ai capi della barra.
Come noto la fem è la voro su unità di carica e quindi: 𝜺=L/q= Fl/q= qvBl/q=Blv come già determinato usando la variazione del flusso concatenato.
il video propone esperimenti di carattere didattico sulla corrente indotta e sulle correnti parassite
