E' detto TEMPO PROPRIO quello misurato rispetto al sistema a riposo con l'orologio ed è dato da:
Il TEMPO PROPRIO è inteso come tempo che separa due eventi che si verificano nello stesso punto dello spazio.
Se ad esempio vedo partire l'astronave che viaggia verso Vega a velocità v il tempo impiegato non è un tempo proprio perchè la partenza e l'arrivo avvengono in luoghi diversi.
Per un un secondo osservatore inerziale che si muove con velocità v nella direzione x rispetto al sistema S dell'orologio la luce percorre un percorso a zig-zag come mostrato in figura:
Il percorso della luce è più lungo è viene percorso con la stessa velocità (per il II postulato). L'intervallo di tempo misurato è sicuramente maggiore. Tale fenomeno è detto DILATAZIONE DEI TEMPI. L'orologio visto da un qualunque osservatore in moto relativo lo vede rallentare rispetto al suo.
Per il teorema di Pitagora risulta:
dove 𝛄 è detto FATTORE DI LORENTZ ed è il fattore di dilatazione.
Il TEMPO PROPRIO è inteso come tempo che separa due eventi che si verificano nello stesso punto dello spazio.
Se ad esempio vedo partire l'astronave che viaggia verso Vega a velocità v il tempo impiegato non è un tempo proprio perchè la partenza e l'arrivo avvengono in luoghi diversi.
Per un un secondo osservatore inerziale che si muove con velocità v nella direzione x rispetto al sistema S dell'orologio la luce percorre un percorso a zig-zag come mostrato in figura:
Per il teorema di Pitagora risulta:
Dove t è il tempo misurato dall'orologio secondo l'osservatore in moto relativo. Si ricava:
Il seguente grafico mostra come varia la dilatazione 𝛄(v) in funzione della velocità relativa v dei sistemi:
Dallo studio della funzione di vede che è definita per -c<v<c
Se v=0 allora
𝛄(0)=1
e 
quindi pone un limite al valore della velocità che non può mai superare la velocità della luce.
quindi pone un limite al valore della velocità che non può mai superare la velocità della luce.
Vediamo il grafico costruito con Geogebra:
Si vede che fino a 0,1c la dilatazione è approssimabile a 1. Questo vuol dire che per velocità minori di 30000Km/s (circa 110 milioni di km/h velocità molto elevata per la nostra esperienza) non risentiamo di effetti relativistici e si può considerare valida la fisica Newtoniana. Se il sistema si muove a 0,7c il fattore vale 1,4 e quindi l'orologio in quiete rispetto al sistema è rallentato del 40%.
ATTENZIONE: Per il principio di relatività i sistemi inerziali devono essere equivalenti. Consideriamo due sistemi inerziali in moto relativo a velocità v. Siano O e O' i rispettivi osservatori . O vede l'orologio di O' rallentare rispetto al suo. Anche l'osservatore O' vede l'orologio di O rallentare nello stesso modo rispetto al suo orologio. Le situazioni sono sempre simmetriche . I due sistemi sono equivalenti. Ogni osservatore è convinto che il suo tempo scorra normalmente mentre quello dell'altro è rallentato.
Anche il seguente video spiega con animazioni e disegni la dilatazione del tempo e la contrazione delle distanze (ING)
Una dimostrazione sperimentale della dilatazione dei tempi è uno storico esperimento del DECADIMENTO DEI MUONI.
I muoni sono particelle che si generano con l'interazione tra i raggi cosmici e l'atmosfera terrestre e decadono in breve tempo.I muoni viaggiano verso la Terra ad una velocità molto vicina a quella della luce. Se T è il loro tempo di decadimento rispetto ad un sistema in quiete rispetto alla particella, il periodo in un sistema solidale con la Terra è dilatato cioè vivono di più. Tenendo conto del periodo T dovrebbero arrivare a terra un numero N di muoni. Invece il numero di muoni che arrivano a Terra senza decadere sono molti di più. E' la prova che il tempo è dilatato!
Il seguente video della pssc (ITA) descrive l'esperimento.
Nel seguente video viene raccontato un'altro esperimento famoso che dimostra la dilatazione del tempo è quello del 1971 di Hafele-Keating. La velocità della terra intorno al proprio asse è di circa 1800 Km/h all'equatore. Due aeri di linea volano in direzione opposta (uno verso est e l'altro verso ovest) intorno all'equatore alla velocità di 1000 km/h. Allora la velocità relativa alla Terra è di 1000+1800 =2800Km/h se l'aereo vola verso ovest e di 1800-1000 =800 km/h se vola verso est.
Due orologi atomici posti sugli aerei segneranno un tempo diverso tra loro e rispetto ad un orologio posto a terra. il ritardo o l'anticipo è dell'ordine del pico secondo.
Altra dimostrazione inconfutabile della dilatazione del tempo è il funzionamento del GPS. Il GPS è costituito da 24 satelliti in orbita intorno alla Terra con periodo di 12 ore e con una velocità di 3,9 Km/s (rispetto ai circa 0,5Km/s del suolo) . Ogni satellite usa un suo orologio atomico il cui tempo deve venir corretto perchè segni lo stesso tempo dell'orologio posta a terra.
segue una videolezione che spiega da un punto di vista matematico la dilatazione del tempo.
Le velocità della nostra vita quotidiana sono relativamente molto piccole. Infatti la massima velocità che l'essere umano può raggiungere è quella di una stazione spaziale che è circa 7700m/s e in questo caso v/c=1/39000. Per valori di v/c<<1 si deve usare la seguente:
APPROSSIMAZIONE per 𝛄 se v/c<<1:
sapendo che in generale per x<<1 vale :
(sviluppo della potenza del binomio - gli altri termini sono piccoli perchè potenze maggiori di x)
Allora vale la seguente approssimazione:
Ad esempio per v=7700m/s si ottiene 𝛄=(1+3,3∙10⁻¹º)
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