Sia M il momento della forza rispetto ad un certo punto O applicato ad una massa m che ruota intorno ad O. Il modulo è dato da: M=rF丄 .Per la II legge F=ma sostituendo risulta M=r∙(m∙a丄 ) dove a丄 è l'accelerazione tangenziale data da a丄 =r∙𝜶 dove 𝜶 è l'accelerazione angolare. Sostituendo si ottiene: M=r∙m∙(r∙𝜶)=m∙r²𝜶=I∙𝜶
Se vale per la singola massa m vale anche per un corpo rigido che ruota perchè si può sempre pensare costituito da tante masse elementari in moto circolare intorno allo stesso centro o asse. Quindi in generale per un corpo rigido in rotazione risulta: M=I∙𝜶 (II LEGGE DEL MOTO ROTAZIONALE)
Possiamo affermare che se ad un corpo rigido si applica un momento torcente M rispetto ad un suo centro (o asse) di rotazione O, il corpo ruota con accelerazione angolare direttamente proporzionale al momento applicato. La costante di proporzionalita è il momento d'inerzia I del corpo rispetto al centro di rotazione O. Vale perciò la seconda legge della dinamica del moto rotazionale:
è del tutto analoga a quella del moto traslatorio: F=ma
La seconda legge si può anche esprimere in funzione del momento angolare.
infatti:
II LEGGE DEL MOTO ROTAZIONALE:
Un
momento torcente genera una variazione del momento angolare. E' del
tutto analoga alla seconda legge della dinamica espressa nella forma F=∆p/∆t .
Se in particolare il momento totale M applicato al corpo è nullo risulta ∆L=0 e allora IL MOMENTO ANGOLARE SI CONSERVA.
Li=Lf e per un corpo rigido in rotazione intorno ad un certo asse vale:
dove il primo membro rappresenta il momento angolare iniziale e il secondo quello finale.
APPLICAZIONI: 1) carrucola fatta girare tirando la fune con forza F: M=Fr, I=1/2mr²
la carrucola gira con accelerazione angolare:
2) carrucola con due masse
momento totale rispetto al centro di rotazione della carrucola:
Fissato un verso positivo (ad es. quello verso il basso di m1) Si applica II legge alle due masse e quella rotazionale alla carrucola :
Se un conduttore viene caricato con una carica q , le cariche si dispongono uniformemente sulla sua superficie. Internamente il campo E è nullo e sulla superficie è perpendicolare con valore proporzionale alla densità di carica in quel punto. Il potenziale V è costante su tutto il conduttore. Come varia il potenziale del conduttore al variare della carica q fornita? Si dimostra che il potenziale aumenta in modo direttamente proporzionale all'aumentare della carica q presente sul conduttore. La costante di proporzionalità è la CAPACITA' ELETTRICA C:
La capacità elettrica è una grandezza scalare e la sua unità di misura è il Farad: 1F=1C/1V
Se la capacità elettrica di un conduttore è molto grande allora il suo potenziale aumenta velocemente. Se il potenziale è elevato il lavoro per aggiungere ulteriore carica diventa molto grande perchè come è noto : L=qV se portata dall'infinito. Se pensiamo al conduttore come ad un "contenitore di carica" allora il valore del potenziale misura il livello di saturazione del conduttore. La capacità del conduttore diventa la capacità del "contenitore" di carica. Maggiore è la capacità elettrica e maggiore sarà la quantità di carica che può contenere.
Se la carica è pensata con un liquido allora il potenziale rappresenta il livello h raggiunto da questo liquido nel contenitore. In un contenitore con una sezione stretta il livello-potenziale aumenta molto velocemente (bassa capacità ). Viceversa un contenitore con sezione larga rappresenta un conduttore con alta capacità. Da cosa dipende la capacità di un conduttore? Dipende prima di tutto dalle sue caratteristiche geometriche.
CAPACITA' ELETTRICA DI UNA SFERA CONDUTTRICE di raggio R
Quindi la capacità C è direttamente proporzionale al raggio R della sfera.
Come possiamo aumentare la capacità elettrica di un conduttore? Un metodo è quello di porre vicino un secondo conduttore: in questo modo si costruisce quel dispositivo chiamato CONDENSATORE. CAPACITA' DI UN CONDENSATORE PIANO
e quindi:
la capacità elettrica di un condensatore piano è direttamente proporzionale alla superficie delle armature e inversamente proporzionale alla loro distanza.
Per aumentare la sua capacità si possono avvicinare le due armature oppure inserire tra le due armature un materiale isolante detto DIELETTRICO. Come noto in un isolante le cariche non sono libere di muoversi. Possiamo schematizzare le sue molecole come dei dipoli elettrici (un dipolo è quello formato da una carica +q e una carica -q poste ad una certa distanza). Normalmente i dipoli elettrici di un dielettrico sono disposti in modo disordinato. In presenza del campo elettrico uniforme del condensatore si orientano secondo le linee di campo . I dipoli vicini all'armatura carica positivamente mostrano la loro carica negativa abbassando il valore del campo elettrico complessivo e aumentando il valore della capacità.
la capacità si calcola inserendo la costante dielettrica del mezzo:
Alcuni valori:
Ad esempio: se si introduce una lastra di carta si amplifica la capacità del doppio.
ENERGIA IMMAGAZZINATA NEL CONDENSATORE
L'energia del campo elettrico generato da un condensatore è uguale al lavoro per caricare il condensatore.
Per caricare il condensatore bisogna trasportare carica dalla prima armatura alla seconda ed è dato da L= q V se V è costante durante il trasferimento della carica.
Tuttavia sappiamo che V aumenta in modo proporzionale a q
In modo simile a come si ricava l'energia potenziale di una molla , si vede che il lavoro totale è dato dall'area sottesa dal grafico V-q
Nel caso di un condensatore piano si può anche scrivere:
Quindi l'energia è proporzionale al quadrato del campo elettrico.
La densità di energia del campo è l'energia su unità di volume V=Ad. Dunque risulta:
La grandezza fisica responsabile della rotazione di un corpo rigido è il MOMENTO DELLA FORZA M definita:
dove F è la forza applicata ad un corpo rigido, r è la distanza del punto di applicazione dal centro di rotazione e alfa è l'angolo formato tra la direzione di r e quella di F.
INFATTI: Se la forza F è pependicolare a r il momento è massimo ed è dato dal prodotto di F per il braccio r: M=Fr Se la forza viene applicata nella direzione di un raggio cioè passante per il centro di rotazione non abbiamo nessuna rotazione e infatti il momento è nullo (alfa=0).
Se F forma un angolo alfa con il raggio è solo la componente di F perpendicolare al raggio che provoca rotazione:
In modo equivalente possiamo definire il braccio della forza b come la distanza della direzione della forza dal centro di rotazione O (è la perpendicolare condotta da O alla retta che contiene F) . In questo modo il momento M è dato dal prodotto della forza F per il braccio.
Un corpo è in equilibrio quando la risultante delle forze è nulla e se la risultante di ciascuna forza è nulla. Se M>0 la rotazione è antioraria se M<0 la rotazione è oraria
Un corpo pensato privo di dimensioni si dice PUNTO MATERIALE.
Un punto materiale si dice in equilibrio quando la somma di tutte le forze (RISULTANTE) ad esso applicate è NULLA.
Un libro appoggiato sul tavolo rimane fermo ed è quindi in equilibrio. Sul libro agisce la forza peso e una forza uguale e contraria al suo peso dovuta alla presenza del tavolo (VINCOLO). Si chiama REAZIONE VINCOLARE quella forza che impedisce il moto di un corpo in una certa direzione o la sua rotazione.
La reazione vincolare del piano di appoggio è sempre uguale è contraria alla forza "premente" .
Se non sono applicate altre forze la forza premente è la componente del peso perpendicolare al piano:
Ad esempio nel caso del piano inclinato si ha:
La reazione vincolare è Rv=-P┴
Altro esempio di reazione vincolare è la TENSIONE di una fune. Consideriamo un corpo appeso:
Sulla corda agisce una reazione vincolare detta TENSIONE uguale e contraria al peso del corpo.
Un esempio di applicazione dell'equilibrio è quello con CARRUCOLE.
In questo caso si deve porre l'equilibrio sulla carrucola:
T2=2T1
E poi sul secchio: T1=P
equilibrio in un piano inclinato
clicca qui per usare la simulazione Quando
un corpo è posto su un piano inclinato la forza peso si può scomporre
nella componente parallela al piano P// e in quella perpendicolare P^ . Simulazione
del piano inclinato: si può variare l'inclinazione del piano e si
ottengono le componenti della forza peso parallela al piano e
perpendicolare.
Il campo elettrostatico è un campo conservativo. Infatti il lavoro L fatto dalle forze del campo per spostare una carica da un punto A ad un punto B non dipende dal cammino ma solo dal punto iniziale A e da quello finale B. In modo equivalente possiamo dire che il lavoro fatto su un cammino chiuso è sempre nullo. Per questo motivo ad ogni punto P del campo si può associare un valore UP di energia in modo tale che il lavoro fatto dalle forze del campo per spostare una carica da A a B si può esprimere come differenza: L=UA-UB
L'energia potenziale in un punto P dipende dalla carica posta in P ed è definita a meno di una costante che dipende da dove poniamo uguale a zero U. (è analogo al caso gravitazionale)
Il POTENZIALE ELETTRICO in un punto P del campo è l'energia potenziale su unità di carica e questo valore non dipende più dalla carica posta nel punto P ma solo dalla posizione.
L'unità di misura è il Volt : 1V=1J/1C
In questo modo il lavoro svolto dalle forze del campo per spostare la carica q dal punto A al punto B si esprime con la formula:
Una linea (o superficie) si dice EQUIPOTENZIALE se è formata da tutti punti con lo stesso potenziale. Il lavoro per spostare una carica su una linea equiponteziale è zero e infatti le linee equipontenziali sono perpendicolari in tutti i loro punti al campo elettrico .
Una carica positiva tende a muoversi dal potenziale maggiore a quello minore (questo è quindi il verso del campo elettrico). Quella negativa in verso opposto.
E' analogo al caso di una "collina" per il campo generato da una carica positiva e di un "buco" per quello generato da una carica negativa.
La superficie esterna di un corpo conduttore è sempre una superficie equipotenziale e il campo elettrico è sempre perpendicolare alla superficie ed è sempre nullo nella parte interna. Anche per il potenziale in un punto vale il principio di SOVRAPPOSIZIONE:
Il potenziale
elettrico totale in un punto P dovuto a due o più cariche è uguale alla somma algebrica dei potenziali
dovuti a ogni singola carica separatamente.
CAMPO RADIALE
Nel caso del campo radiale generato da una carica puntiforme Q , l'energia potenziale in un punto P a distanza r dove è posta una carica q è data da :
se r tende ad infinito l'energia potenziale tende a zero. Allora l'energia potenziale è posta uguale a zero all'infinito e U(r) è equivalente al lavoro fatto contro le forze del campo per portare una carica dall'infinito fino ad una distanza r dalla carica Q che genera il campo.
Infatti la carica q è respinta da Q e quindi bisogna compiere un lavoro per avvicinarla fino ad una distanza r e questo lavoro si accumula sotto forma di energia potenziale U. Usando l'analogia con il campo gravitazionale è simile a quando si compie un lavoro per sollevare una massa m da terra. La situazione è anche simile a quella di una molla che viene compressa e che accumula energia potenziale elastica.
L'energia potenziale elettrica di un sistema di cariche è uguale al lavoro per portare le cariche dall'infinito alla loro posizione. Per portare la prima carica Q il lavoro è nullo, per portare la seconda q ad una distanza r dalla prima il lavoro è dato da :
per portare una terza carica q' si deve compiere un lavoro dovuto alla singola presenta della carica Q e della carica q
In totale l'energia del sistema è la somma di questi lavori:
