mercoledì 13 luglio 2016

IL MOTO ARMONICO


Un moto si dice oscillatorio se un corpo si muove avanti e dietro intorno ad un punto di equilibrio. Il moto armonico è un particolare moto oscillatorio che si può definire come segue:  
Il moto armonico è il moto della proiezione sull’asse x (oppure asse y) di un punto P che si muove di moto circolare uniforme di raggio R. 
il punto blu sull'asse x e il punto rosso sull'asse y si muovono di moto armonico

Una massa applicata ad una molla e un pendolo che oscilla sono esempi di moti armonici.
L'AMPIEZZA A del moto è la massima distanza dal centro e coincide con il raggio R della traiettoria circolare.
Il PERIODO del moto è il tempo necessario per un'oscillazione completa. La frequenza è il numero di oscillazione nell'unità di tempo. 



La velocità angolare del moto circolare è chiamata PULSAZIONE del moto armonico e si indica ancora con 𝝎 :

Per definizione la velocità angolare è 𝝎=𝞓𝛂/𝞓t. Quindi lo spostamento angolare è : 𝛂=𝝎t .
Il vettore posizione del monico è la proiezione ortogonale sull'asse x del vettore posizione del moto circolare uniforme.
Quindi applicando cateto=ipotenusa x coseno dell'angolo adiacente:
x=Rcos𝛂 dove R è il raggio che coincide con l'ampiezza A del moto armonico
Possiamo scrivere la LEGGE ORARIA del moto armonico nella forma:  x(t)=Acos(𝝎t)   
Ovviamente considerando la proiezione sull'asse y si otteneva in modo equivalente : y(t)=Asen(𝝎t)


Allo stesso modo il vettore velocità del moto armonico è la proiezione sull'asse x (o y) del vettore velocità tangenziale del moto circolare. Si deduce che la velocità v del moto armonico è nulla negli estremi ed è massima pari a vₚ=𝝎R nel centro.

Applicando le solite formule sul triangolo rettangolo PRS si ricava che v=vₚsen𝛂
dove  vₚ=𝝎R=
𝝎A
Allora la legge della velocità del moto armonico è data da: 
v(t)=-𝝎Asen(𝝎t)
il segno - è dovuto al verso del vettore.
L'accelerazione del moto armonico  è la proiezione del vettore accelerazione centripeta sull'asse x . 
E' quindi nulla al centro ed è massima di valore 𝝎²R
agli estremi.
Si deduce che dove la velocità è NULLA, l'accelerazione è MASSIMA e viceversa.

Ricordando che l'accelerazione centripeta è data da : 
ac=v²/R=𝝎²R
l'equazione dell'accelerazione del moto armonico è data da:
a(t)=- 𝝎²A∙cos(𝝎t)
RISULTA:
a(t)= 𝝎²x(t)
Quindi il moto di un punto è armonico se e solo se l'accelerazione in valore assoluto è direttamente proporzionale alla posizione x(t). Questa condizione si può assumere come definizione del moto armonico. La costante è  𝝎². Quindi per dimostrare che un certo moto è armonico e sufficiente mostrare che la sua accelerazione è direttamente proporzionale alla posizione.

LEGGE ORARIA


Se il punto parte da una posizione diversa cioè se nell'istante iniziale l'angolo è 𝞅 allora l'equazione diventa più in GENERALE: x(t)=Acos(𝝎t+𝞅)
𝞅 si dice FASE INIZIALE.
Esempio: Se il moto  parte dall'estremità sinistra verso destra allora la fase è 180° e cos (𝝎t+180°)=-cos(𝝎t). Se invece parte dal punto O e si muove verso sinistra allora la fase
𝞅=90°.  cos(𝝎t+90°)=sen(𝝎t)

Quindi il moto armonico si può esprimere pensare anche con la funzione seno se parte dal centro o si considera la proiezione sull'asse y. La legge oraria in funzione del seno è: y=Asen(𝝎t+𝞅)
 

 
LETTURA DEI GRAFICI:
Dal grafico x-t possiamo dedurre l'ampiezza del moto e il suo periodo.
L'ampiezza è il massimo valore di y mentre il periodo è l'ampiezza dell'intervallo tra due picchi consecutivi.

Il moto del SISTEMA MASSA MOLLA (detto oscillatore armonico) è un esempio di moto armonico.

https://faraday.physics.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/HookesLaw/HookesLaw.html

il video della pssc mostra come ricavare il grafico del moto armonico. (ITA)
 
per dimostrare che è un moto armonico devo mostrare che l'accelerazione è proporzionale allo spostamento a=kx .
Nell'oscillatore armonico la forza che agisce è la forza elastica F=-kx dove k è la costante elastica della molla. Applicando la II legge della dinamica F=ma si ottiene l'equivalenza ma=-k/m e quindi a=-(k/m)x
L'accelerazione è dunque proporzionale allo spostamento.(cvd) 
Inoltre la costante di proporzionalità è:𝝎²=(k/m)
Quindi la pulsazione di un oscillatore armonico dipende solo dalla costante elastica della molla e dalla massa applicata. 
E sostituendo
𝝎=2𝝅/T trovo il periodo del moto:

Per aumentare il periodo (e quindi rallentare il moto) bisogna aumentare la massa oppure diminuire la costante della molla.
ANALISI DELL'ENERGIA:
Nel moto armonico dell'oscillatore massa- molla l'energia si conserva. Nell'estremità l'energia totale è data solo dall'energia potenziale : E=U=1/2 k A²
Infatti v=0 e quindi l'energia cinetica è nulla.
Al centro avviene il contrario. L'energia potenziale è nulla mentre l'energia cinetica è massima data da E=1/2 m v²=(1/2)m(𝝎A)².
Per la legge di conservazione dell'energia si deduce che: 
e quindi 𝝎²=k/m che è vera.
Per dimostrare che l'energia totale si mantiene costante si esegue il seguente calcolo:
 
 
Esercizio:
Osserva il seguente grafico del moto armonico di un corpo.
Dal grafico ricava il valore del periodo T, dell'ampiezza A,la fase e la legge oraria del moto.Ricordando che la velocità in un istante t è uguale alla pendenza della retta tangente nel punto (t,y), ricavare i valori della velocità per t=0s, t=0,5s, t=1s, t=1,5s e t=2s . Disegnare il grafico della velocità.
[y=2cos(𝜋t)]
Esercizio:
ripetere l'esercizio precedente con il seguente grafico:
[T=4s,A=3, fase=
𝜋, y=-3cos(𝜋t/2)]
 
 
MOTO DEL PENDOLO
Consideriamo un pendolo di lunghezza l e massa m. Sia 𝜶 l'angolo in radianti che forma con la verticale.  Sia x la lunghezza dell'arco di oscillazione. Risulta 𝜶=x/l.
La forza di richiamo è data dalla componente perpendicolare del peso data da P⟂=mg∙sen𝜶 mentre la componente di P//=mgcos𝜶 parallela al filo è equilibrata dalla tensione della corda.
Applicando la II legge della dinamica F=ma si ottiene: -mg∙sen𝜶=m∙a
a= -g∙sen𝜶
Ricordiamo che un moto è armonico se e solo se l'accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento.
Se consideriamo piccole oscillazioni possiamo sostituire a sen𝜶 l'angolo 𝜶=x/l
Per piccole oscillazioni si ottiene:
a= -(g/l)∙x
Quindi per piccole oscillazioni il moto del pendolo è armonico perchè l'accelerazione è direttamente proporzionale a x. La costante di proporzionalità è -g/l.
Ricordando che in generale in un moto armonico la costante è data da 𝝎² allora possiamo ricavare il periodo del pendolo dato da:


 


 
 
 
 
 
 

Nel seguente video della pssc si studia il moto di un oscillatore armonico mostrando che ha un moto armonico semplice.


Altro esempio di moto armonico semplice è quello del pendolo:

ogni pendolo ha una lunghezza diversa e quindi un periodo e una frequenza diversa di oscillazione. L'effetto che si ottiene è quello mostrato nel video












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