PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE

Nella fisica classica è possibile descrivere un oggetto, in modo completo, con la sua posizione e la sua quantità di moto (determinismo). Ma come noto le onde non sono localizzate nello spazio. Come conciliare la doppia natura ondulatoria e corpuscolare della luce e della materia? Come già osservato nell'esperimento d'interferenza degli elettroni (esperimento della doppia fenditura di Young eseguito con un elettrone alla volta) non è possibile prevedere l'esatta posizione di impatto dell'elettrone sullo schermo. Gli elettroni arrivano sullo schermo in modo casuale. Ogni volta che si ripete l'esperimento, l'elettrone cambia punto di arrivo. Questa incertezza è dovuta alla natura ondulatoria della materia. Possiamo dire che non si tratta di un fenomeno deterministico (come quelli della fisica classica) ma è probabilistico.


CALCOLO DELL'INCERTEZZA:

Consideriamo un fascio di elettroni che si muove lungo l'asse y e attraversa una singola fenditura di larghezza d. Sullo schermo viene a formarsi una figura di diffrazione con un massimo centrale dove è più probabile che arrivi l'elettrone. Se l'angolo 𝞱 esprime la posizione del primo minimo e quindi anche la larghezza del massimo centrale come è noto risulta che sen𝞱=𝞴/d (vedi qui)

Se gli elettroni si muovono con quantità di moto py allora la lunghezza d'onda associata è 𝞴=h/py .
Quando gli elettroni passano per la fenditura di larghezza d l'incertezza della loro posizione sull'asse x è 𝝙x=d.
Dopo aver attraversato la fenditura, però , il fascio si allarga per formare la figura di diffrazione e la quantità di moto di alcuni elettroni acquista una componente x dovuta alla deviazione subita.
Adesso abbiamo un'incertezza 𝝙px sulla componente x della quantità di moto dell'elettrone.
Se si vuole diminuire l'incertezza 𝝙x sulla posizione bisogna diminuire la larghezza della fenditura ma in tal caso aumenta l'angolo 𝞱 e conseguentemente aumenta l'incertezza
𝝙px sulla quantità di moto. Se si aumenta la larghezza della fenditura aumenta per diminuire l'incertezza 𝝙px conseguentemente aumenta l'incertezza sulla posizione
𝝙x.
La particella con lunghezza d'onda 𝞴=h/py ha un comportamento ondulatorio e viene DIFFRATTO con angolo dato da:

Ma l'angolo 𝞱 si esprime anche come rapporto :

per angoli molto piccoli si ha: 

Quindi il prodotto delle incertezze sulla posizione e sulla quantità di moto non può essere inferiore di una certa quantità che è circa la costante di Planck su 4𝝅.

videolezione  Politecnico Torino

Da una trattazione più rigorosa si ricava il seguente principio:

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE : in una misura simultanea lungo l'asse x, le indeterminazione di posizione e di quantità di moto della particella sono legate dalla relazione:



quindi se si diminuisce l'indeterminazione della posizione aumenta quella della quantità di moto e viceversa se diminuisce l'indeterminazione della quantità di moto aumenta quella della posizione.

Nel 1927 Werner Heisenberg scopre che la natura ondulatoria della materia poneva un problema della determinazione della posizione. Come poter localizzare un'onda? Per poter localizzare una particella bisogna interagire con essa. Di solito si usa la luce che interagendo (ad esempio riflettendosi) mostra la posizione della particella con un'incertezza che dipende dalla sua lunghezza d'onda. Per osservare una particella con dimensioni d serve una lunghezza d'onda più piccola di d.
 
Come visto nell'effetto Compton, nell'interazione con il fotone, la particella subisce una variazione della quantità di moto.

Se vogliamo migliorare la precisione della posizione dobbiamo diminuire la lunghezza d'onda e quindi aumentare la frequenza ma questo equivale ad aumentare l'energia e quindi la quantità di moto del fotone incidente ( p=hf/c ) con una conseguente variazione della quantità di moto della particella.

NB: l'indeterminazione di Heisenberg NON E' UN ERRORE di misura e non è dovuta ai limiti tecnici dello strumento di misura, ma afferma UN PRINCIPIO DI NATURA dovuto al comportamento ondulatorio della materia: non possiamo mai conoscere contemporaneamente e in modo preciso quantità di moto e posizione di una particella nello stesso istante e questo indipendentemente dalla precisione del nostro strumento. 

Per migliorare la precisione della posizione di una particella serve una luce con bassa lunghezza d'onda mentre per migliorare la precisione della sua velocità (quantità di moto) serve luce con bassa frequenza ( e quindi alta lunghezza d'onda) per non modificarla per effetto Compton.

 da Superquark spiega il principio di indeterminazione con cartoni animati

ATOMO DI BOHR

PROBLEMI DEL MODELLO ATOMICO PLANETARIO:  Tale modello prevedeva un atomo instabile perchè gli elettroni, orbitando intorno al nucleo, generavano onde elettromagnetiche e quindi perdevano energia dovendo alla fine collassare sul nucleo. D'altra parte, sperimentalmente si osservava un atomo che irradiava energia secondo delle frequenze ben definite (spettri di emissione) che caratterizzavano gli elementi chimici.

fisico danese Niels Bohr premio Nobel 1922

ATOMO DI BOHR (interpretazione quantistica):
Nel 1913 Bohr risolse il problema fornendo un'interpretazione quantistica.
Le sue ipotesi sono:

1) esistono orbite stabili associate ad una determinata energia dove l'elettrone può orbitare senza irradiare. 

2)La transizione dell'elettrone da un'orbita di energia Eₕ ad un'orbita di energia Eₖ avviene solo per assorbimento o emissione di un quanto di energia dato dalle differenze tra le due energie: h∙f=| Eₕ-Eₖ |

Questo spiega le LINEE SPETTRALI di emissione o assorbimento che caratterizzano un elemento chimico. 

3) Anche il momento angolare dell'elettrone è quantizzato cioè può essere solo multiplo intero di una certa quantità :

l'animazione mostra il comportamento dei diversi modelli di atomo quando viene irradiato: clicca qui per usare l'applet

Consideriamo un ATOMO DI IDROGENO formato da un elettrone di carica -e, di massa m che si muove di moto circolare uniforme di raggio r intorno al nucleo di carica positiva +e.  
RAGGIO DELLE ORBITE DELL'ATOMO DI BOHR
Calcoliamo i raggi delle orbite stabili degli elettroni.

La forza centripeta è dell'elettrone è: F=m∙v²/r ed è anche la forza elettrostatica di attrazione tra elettrone e nucleo data da F=k∙e²/r²
Quindi: m∙v²/r=k∙e²/r² si ricava che :
mv²=k∙e²/r (*)
Per l'ipotesi 3) il momento angolare L=mvr (L=rxp) è quantizzato come l'energia e risulta: 

(**)

con n=1,2,3....
sostituendo in (*) ed esplicitando r si ottiene:

quindi anche le orbite sono quantizzate e i raggi aumentano con il quadrato di n=1,2,...
L'orbita più piccola è data da n=1 e vale:

ed è detto raggio di Bohr.
Quindi i raggi delle altre orbite permesse sono multipli con n² di r1:

ENERGIA ASSOCIATA ALL'ORBITA
Calcoliamo ora le energie associate ad ogni orbita. L'energia dell'elettrone è la somma dell'energia cinetica e di quella potenziale :

 sostituendo la (*) mv²=ke²/r si ottiene:

e sostituendo l'espressione dell'orbita n-esima si trova l'energia associata:

Quindi l'energia è quantizzata e l'energia massima in valore assoluto corrisponde a quella della prima orbita :

Questo è il livello più stabile per l'elettrone e per l'atomo. 
E' detto anche STATO FONDAMENTALE.
E' analogo al pavimento per una pallina nel caso gravitazionale. La pallina tende sempre a cadere sul pavimento. L'energia che corrisponde all'orbita n-esima è :

 

Questi sono sono detti LIVELLI ECCITATI e sono meno stabili.

Per liberare l'elettrone dall'atomo a livello fondamentale bisogna fornire energia per farlo passare su stati eccitati. La minima 
energia da fornire è E1.
Un elettrone posto in un livello eccitato Ei ritorna spontaneamente ad un livello più stabile Ef ed EMETTE un fotone di energia hf uguale alla differenza delle energie dei due livelli: Ei-Ef. Quindi l'atomo di un certo elemento è capace di emettere solo determinate frequenze discrete e questo spiega le linee di emissione dello spettro.

Viceversa un elettrone può passare da un livello meno eccitato Ei ad uno più eccitato Ef solo se ASSORBE l'energia di un fotone e questo avviene solo se la frequenza del fotone e tale che hf=Ei-Ef. Quindi l'atomo è capace di assorbire solo determinate frequenze e questo spiega le righe di assorbimento dello spettro di un elemento.

Ad esempio per passare dallo stato fondamentale al primo stato eccitato bisogna forni un'energia pari a |E₁-E₂|=|E₁-E₁/4|=3E₁/4=(3/4)∙13,6=10,2eV che corrisponde ad un fotone di energia h∙f=hc/𝝀 =10,2eV 

quindi 𝝀=hc/10,2e =122nm.

ESERCIZI CON LA SIMULAZIONE

Nella seguente simulazione si vede come irradiando con lunghezze d'onda diverse prese a caso l'energia del fotone raramente viene assorbita  e generalmente non vi è nessun salto di orbitale. 

Es1: Quale lunghezza d'onda bisogna impostare per ottenere un salto dallo stato fondamentale a n=2?

Solo con la lunghezza d'onda pari a 122nm, l'elettrone riesce a saltare sul primo orbitale eccitato e subito dopo ricade sullo stato fondamentale emettendo un fotone dello stesso tipo.

Si può verificare con la seguente funzione dell'app che mostra il livello energetico dell'elettrone:

Usando la funzione "spettro" possiamo osservare le frequenze emesse in questo caso e dovute al ritorno allo stato fondamentale:

Es2: Con quale lunghezza d'onda bisogna irradiare l'atomo per eccitare l'elettrone a n=3?

Si deve calcolare:

|E1-E3|=8/9xE1=8/9x13,6 eV

si ricava la frequenza dividendo il valore espresso in Joule per la costante h. Si ricava la lunghezza d'onda. [soluzione 103nm]

Resetta lo Spettrometro. Quante righe ci aspettiamo di trovare?

I fotoni vengono emessi quando passano da n=3 a n=1 oppure da n=3 a n=2 oppure da n=2 a n=1.

Es3: di quale colore è la riga emessa quando l'elettrone passa dall'orbita n=3 all'orbita n=2. [soluzione: rossa 659nm]

Infatti |E2-E3|=5/36 E1....

Es4: Con quale lunghezza d'onda bisogna irradiare l'atomo per eccitare l'elettrone a n=4? [97,6 nm]

Quante righe colorate vengono emesse? [6]

in realtà si riescono a distinguere solo 5 righe. La spiegazione e che due sono molto vicine.

Quindi un fotone emesso in una transizione dallo stato n allo stato k (n>k) ha una frequenza  f tale che:

e da questa si trova la Formula di Balmer sulle linee di emissioni degli spettri, già nota perché ricavata anni prima di Bohr in modo empirico:

in questa applet si può simulare il salto dell'elettrone tra due livelli e osservare lo spettro di emissione e assorbimento

ANALOGIA:  Tornando all'analogia con la pallina e il campo gravitazionale abbiamo detto che il pavimento è lo stato fondamentale. Fornendo energia alla pallina la si può portare ad una qualunque altezza dal pavimento. Nel caso dell'elettrone vi è una differenza importante: le altezze permesse sono solo alcune. E' come se ci fossero degli scalini da superare.

video lezione in italiano su l'atomo di Bohr

video in inglese spiega in modo schematico e approfondito il modello atomico di Bohr con animazioni.

Usa il seguente Applet per trovare la frequenza della radiazione da fornire all'elettrone per permettere il salto di livello:

clicca qui

MODELLI DI ATOMO APPLET

è possibile sperimentare su tutti i modelli di atomo
APPLET di simulazione della struttura dell'atomo di Bohr un fotone è assorbito dall'elettrone sull'orbita stabile e salta sul secondo livello per poi tornare allo stao fondamentale emettendo un fotone. L'energia del fotone assorbito e poi emesso è pari a hf= |E2-E1| dove E1 e E2 sono le energie associate ai rispettivi orbitali  

l'animazione mostra i salti quantici dell'elettroni tra i diversi orbitali 

clicca qui per usare l'Applet

videolezione Politecnico Milano

PROBLEMI:

Problema risolto tratto dal "Walker" vol3

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EFFETTO FOTOELETTRICO

EFFETTO FOTOELETTRICO

L'effetto fotoelettrico è quel fenomeno che si verifica quando un certo materiale (esempio zinco) emette elettroni (detti fotoelettroni) se irradiato da una radiazione elettromagnetica di una certa frequenza.(esempio ultravioletti). 

La spiegazione del fenomeno è in apparenza abbastanza semplice: fornendo energia agli elettroni pari al LAVORO DI ESTRAZIONE L (energia minima per estrarre l'elettrone), l'elettrone  si libera dal legame atomico.  E' simile a quello che accade anche nell'EFFETTO TERMOELETTRICO dove un filamento incandescente portato ad una certa temperatura libera elettroni.

In realtà nell'effetto fotoelettrico accade qualcosa di strano che è difficile da spiegare con la fisica classica.

1) Se la frequenza della radiazione è MINORE di una certa frequenza detta frequenza di soglia non vengono estratti elettroni nemmeno aumentando l'intensità della radiazione (e quindi la quantità di energia fornita). 
2) Con una frequenza f* della radiazione  MAGGIORE della frequenza di soglia viene estratto un certo numero di elettroni con una certa energia E. Aumentando l'intensità della stessa radiazione aumenta  il numero di elettroni emessi ma la loro energia rimane la stessa. Inoltre l'emissione degli elettroni avviene istantaneamente senza attendere del tempo per l'accumulo di energia. 
3) per aumentare l'energia degli elettroni emessi bisogna aumentare la frequenza della radiazione incidente.
Quindi per f >f0 :
AUMENTA L'INTENSITÀ--> SALE IL N° DI ELETTRONI
AUMENTA LA FREQUENZA -->SALE LA LORO ENERGIA

Lo studio del fenomeno ha portato alla nascita della fisica quantistica.

simulazione

Spiegazione dell'effetto fotoelettrico con la simulazione

seconda parte teorica

La spiegazione di questo fenomeno fu fornita da Einstein nel 1905. 

Einstein riprese l'ipotesi di Planck quella che dice che l'energia è  QUANTIZZATA cioè viene scambiata in pacchetti dati da E=hf. Cosa vuol dire?

L'energia trasportata dalla radiazione è formata da "granuli" di energia che contengono una quantità di energia pari a E=h∙f  (h COSTANTE DI PLACK h=6,626∙10⁻³⁴ J∙s) proporzionale alla frequenza della radiazione. Questi "pacchetti" di energia sono detti FOTONI.

Per estrarre un elettrone è necessario fornire un'energia pari al LAVORO DI ESTRAZIONE: L=hf₀ dove f₀ è la frequenza di soglia.

1) per f<f₀ l'energia del fotone E=hf non è sufficiente ad estrarre nessun elettrone anche se si aumenta l'intensità (cioè il numero di fotoni). Infatti l'energia del singolo fotone è assorbita tutta in un colpo e non si accumula. Quindi se l'energia del fotone non è sufficiente ad estrarre l'elettrone viene "sprecata".   

2) L'elettrone è emesso solo quando l'energia del fotone E=hf₀ è uguale dell'energia di estrazione L. In questo caso l'elettrone emesso ha energia nulla.

3) Se f>f₀ e si aumenta la frequenza mantenendo costante l'intensità aumenta l'energia cinetica dell'elettrone emesso. Infatti l'energia dell'elettrone è pari alla differenza tra l'energia totale fornita e quella necessaria all'estrazione. Dunque:

ENERGIA CINETICA ELETTRONE EMESSO K=hf-hf₀ 

4)Mantenendo costante una frequenza maggiore della frequenza di soglia (f>f₀) e AUMENTANDO L'INTENSITÀ cresce il numero di fotoni che arrivano sul materiale ma l'energia fondamentale di ciascun fotone rimane la stessa. Ogni fotone libera un solo elettrone. Quindi aumenta il numero di elettroni emessi anche se la loro energia rimane la stessa.

In generale fissata l'intensità della radiazione il numero di elettroni emessi rimane lo stesso a tutte le frequenze e cambia solo la loro energia cinetica. 

Per capire quello che avviene si può fare un semplice analogia. Supponiamo di avere una fiamma e di volerla spegnere con acqua. Supponiamo che per spegnere la fiamma sia sufficiente un bicchiere d'acqua. Abbiamo a disposizione 1000 litri di acqua di un pozzo e un solo contagocce come contenitore.

Se l'energia (e quindi la quantità d'acqua fosse continua) si potrebbe scegliere una qualunque quantità d'acqua sufficiente per spegnere l'incendio. 

Nel caso quantistico è come possedere solo un contagocce per l'operazione di spegnimento. 

Una goccia per volta non spegne sicuramente la fiamma.

Nella analogia la goccia d'acqua è il fotone che contiene una quantità E=hf dove h è la costante di Planck e f è la frequenza della radiazione.

Segue una video lezione sull'effetto fotoelettrico:

Sperimentalmente (esperimento di Lenard) si irradia con luce un CATODO di zinco di fronte al quale è posto un ANODO. 

Tra catodo e anodo si stabilisce una ddp V che determina una corrente che viene misurata con un amperometro al variare di V.

Per definizione il POTENZIALE DI ARRESTO e il potenziale d'applicare all'elettrone emesso per fermarlo ed è uguale alla sua energia cinetica. Infatti è il prodotto e∙Va il lavoro fatto dalle forze del campo per frenare l'elettrone e deve essere uguale alla sua energia.  
Quindi:  e∙Va=h∙f - Lₒ=h∙f-h∙f₀

Il grafico potenziale di arresto - frequenza è quindi una retta con coefficiente angolare h/e e che interseca l'asse delle x nel punto fₒ che dipende dalla natura del materiale :

Al variare dell'intensità di ottengono i seguenti grafici relativi alla corrente misurata nel circuito sperimentale descritto sopra:

Se si collega il catodo con il polo negativo della batteria e l’anodo con il polo positivo, gli elettroni emessi acquisteranno energia dal campo elettrico e ce ne saranno sempre di più che arriveranno all’anodo facendo aumentare la corrente i all'aumentare del potenziale. C’è però un limite al valore della corrente (detta corrente di saturazione) e questo è dato dal valore che questa assume quando tutti gli elettroni emessi raggiungono l’anodo; a quel punto, anche aumentando la tensione la corrente rimarrà costante. Infatti con frequenza e intensità fissate rimane costante il numero di elettroni emessi. (VEDI GRAFICO) Se si inverte la polarità di catodo e anodo, gli elettroni emessi verranno rallentati e saranno sempre di meno quelli che raggiungeranno l’anodo. La corrente diminuisce per valori di V negativo fino ad annullarsi in corrispondenza del valore Va ( potenziale d’arresto). Va non dipende dalla radiazione usata ma solo dal materiale. 

Aumentando l'intensità la corrente a regime aumenta valore perchè aumenta il numero elettroni emessi.(vedi grafico)

 applet : clicca qui

altri video in inglese

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