Il pendolo semplice è costituito da una massa m appesa a un filo di lunghezza l. Indichiamo con $$\alpha$$ l’angolo in radianti che il filo forma con la verticale, e con x la lunghezza dell’arco percorso dalla massa. Per geometria vale:
$$\alpha = \frac{x}{l}$$
La forza responsabile del moto è la componente perpendicolare del peso:
$$P_{\perp} = mg\,\sin(\alpha)$$
Applicando la seconda legge della dinamica lungo la direzione del moto:
$$-mg\,\sin\alpha = ma \quad\Rightarrow\quad a = -g\,\sin\alpha$$
Per piccole oscillazioni possiamo sostituire $$\sin\alpha \approx \alpha$$ ottenendo:
$$a = -g\alpha = -g\frac{x}{l} = -\frac{g}{l}x$$
e quindi:$$a = -\frac{g}{l}\,x$$
Il moto diventa quindi armonico, con costante:
$$\omega^2 = \frac{g}{l}$$
Da cui il periodo delle piccole oscillazioni:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$
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