CAPACITA' ELETTRICA DI UN CONDUTTORE

Come varia il potenziale del conduttore al variare della carica q fornita?

Si dimostra che il potenziale aumenta in modo direttamente proporzionale all’aumentare della carica q presente sul conduttore. La costante di proporzionalità è la capacità elettrica C:

$C = \frac{q}{V}$

La capacità elettrica è una grandezza scalare e la sua unità di misura è il farad:
$1\,F = 1\,C / 1\,V$

Definizione di capacità elettrica

La capacità elettrica di un 1 farad è la quantità di carica che, aggiunta al conduttore, provoca un aumento di potenziale di 1 volt.

Se la capacità elettrica di un conduttore è molto grande, allora il suo potenziale aumenta lentamente. Se invece il potenziale è elevato, il lavoro necessario per aggiungere ulteriore carica portandola dall'infinito sul conduttore diventa molto grande, perché come è noto:

$L = qV$   (se la carica è portata dall’infinito)

Se pensiamo al conduttore come a un “contenitore di carica”, allora il valore del potenziale misura il livello di saturazione del conduttore. La capacità del conduttore diventa la capacità del “contenitore” di carica.
Maggiore è la capacità elettrica, maggiore sarà la quantità di carica che può contenere.

Analogia

• A parità di altezza h, un recipiente più largo contiene più acqua di uno stretto.
• A parità di differenza di potenziale V, un condensatore con grande capacità C può accumulare più carica di uno con capacità minore.

Se la carica è pensata come un liquido, allora il potenziale rappresenta il livello h raggiunto da questo liquido nel contenitore. In un contenitore con una sezione stretta il livello –potenziale aumenta molto velocemente (bassa capacità). Viceversa, un contenitore con sezione larga rappresenta un conduttore con alta capacità.

Da cosa dipende la capacità di un conduttore?

La capacità elettrica dipende prima di tutto dalle sue caratteristiche geometriche e poi dal mezzo dove è inserito il conduttore .

Capacità elettrica di una sfera conduttrice

Il potenziale di una sfera conduttrice di raggio R è:

$V = k \frac{q}{R}$

Da questa relazione si ricava la capacità elettrica:

$C = \frac{q}{V} = \frac{q}{\frac{kq}{R}} = 4 \pi \varepsilon R$

$C = 4 \pi \varepsilon R$

La capacità C è quindi direttamente proporzionale al raggio R della sfera.

Come possiamo aumentare la capacità elettrica di un conduttore? Un metodo consiste nel porre vicino un secondo conduttore: in questo modo diminuisce la capacità. Il sistema così ottenuto è detto condensatore elettrico.

Quando si avvicina un secondo conduttore, le cariche presenti su di esso si ridistribuiscono per induzione: sulla faccia rivolta verso il primo conduttore compaiono cariche di segno opposto, mentre sulla faccia opposta compaiono cariche dello stesso segno.

Le cariche indotte di segno opposto generano un campo che si oppone a quello prodotto dal primo conduttore. Di conseguenza, il campo elettrico risultante attorno al primo conduttore diminuisce.

Poiché il potenziale dipende dall'intensità del campo elettrico, una riduzione del campo comporta una diminuzione del potenziale del conduttore carico.

$C = \frac{q}{V}$

Se il potenziale V diminuisce mentre la carica q rimane la stessa, la capacità C aumenta. In pratica, il secondo conduttore “aiuta” il primo a trattenere più carica riducendo la repulsione elettrica.

Questo è il principio di funzionamento del condensatore: due conduttori vicini permettono di immagazzinare molta più carica rispetto a un conduttore isolato.

Capacità di un condensatore piano

Consideriamo un condensatore formato da due armature piane e parallele, di area A, separate da una distanza d. Le due armature portano cariche uguali e opposte +Q e -Q. Tra le armature si crea un campo elettrico uniforme.

$V = E \cdot d$

Il campo elettrico tra le armature vale:

$E = \frac{Q}{A} \cdot \frac{1}{\varepsilon}$

Sostituendo nella definizione di capacità si ottiene:

$C = \frac{Q}{V} = \varepsilon \frac{A}{d}$

La capacità di un condensatore piano è quindi direttamente proporzionale alla superficie delle armature e inversamente proporzionale alla loro distanza.

Il dielettrico e l’aumento della capacità

Per aumentare la capacità di un condensatore si possono avvicinare le due armature oppure inserire tra esse un materiale isolante chiamato dielettrico.

In un materiale isolante le cariche non sono libere di muoversi, ma le sue molecole possono essere schematizzate come piccoli dipoli elettrici. In condizioni normali questi dipoli sono orientati in modo casuale.

Quando il dielettrico viene inserito tra le armature del condensatore, il campo elettrico presente induce un orientamento dei dipoli secondo le linee di campo. I dipoli vicini all’armatura positiva mostrano la loro carica negativa, mentre quelli vicini all’armatura negativa mostrano la loro carica positiva. I campi elettrici dei dipoli hanno verso contrario al campo E del condensatore e si sommano tra loro.

L'effetto è di ridurre il campo elettrico complessivo tra le armature. Se diminuisce l campo elettrico tra le armature allora diminuisce il potenziale essendo V=Ed. Poiché la capacità è definita come:

$C = \frac{q}{V}$

una diminuzione del potenziale V comporta un aumento della capacità C.

$C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}$

La presenza del dielettrico aumenta quindi la capacità del condensatore di un fattore pari alla costante dielettrica relativa ϵ_r del materiale. ϵ_r è adimensionale e si può anche definire come il rapporto tra il campo elettrico generato nel condensatore senza dielettrico e il campo elettrico generato con dielettrico.

applet: funzionamento del condensatore: clicca qui

Energia immagazzinata nel condensatore

L’energia del campo elettrico generato da un condensatore è uguale al lavoro necessario per caricarlo. Per trasferire carica da un’armatura all’altra occorre compiere lavoro. Se il potenziale rimanesse costante, il lavoro sarebbe L = qV. 

In realtà il potenziale aumenta proporzionalmente alla carica accumulata, quindi il lavoro totale si ottiene come area sotto il grafico V(q).

$U = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}CV^2$

Nel caso di un condensatore piano, usando le espressioni del campo elettrico, si ottiene:

$U = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 A d$

L’energia è quindi proporzionale al quadrato del campo elettrico. La densità di energia, cioè l’energia per unità di volume, risulta:

$\mu = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$

Esperimenti:

come costruire un condensatore

condensatore variabile

APPLICAZIONE DEI CONDENSATORI:

primi condensatori: le bottiglie di Leida

video sul funzionamento della bottiglia di Leida

costruzione di un condensatore con materiale povero

Defibrillatore

 FLASH

condensatori elettrolitici

POTENZIALE ELETTRICO

POTENZIALE ELETTRICO

Il potenziale elettrico in un punto P si definisce come:

V = U / q

dove U è l'energia potenziale elettrica della carica di prova q. Il potenziale è una grandezza scalare e dipende solo dalla posizione del  punto P nel campo elettrico.

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Lavoro del campo elettrico e differenza di potenziale

Quando una carica q si sposta da A a B, l'energia potenziale cambia:

ΔU = U_B - U_A

Il lavoro compiuto dal campo elettrico è:

L_AB = - ΔU

Poiché U = qV, si ha:

ΔU = q (V_B - V_A) = q ΔV

Quindi:

L_AB = - q ΔV

oppure:

L_AB = q (V_A - V_B)

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Superfici equipotenziali

Una superficie equipotenziale è l'insieme dei punti in cui il potenziale V ha lo stesso valore.

Se una carica si muove da A a B sulla stessa superficie equipotenziale:

V_A = V_B → ΔV = 0

Allora:

L_AB = - q ΔV = 0

Quindi il lavoro del campo elettrico lungo una superficie equipotenziale è nullo.

Le linee equipotenziali sono analoghe alle linee di livello delle cartine topografiche e danno una idea di come agiscono le forze punto per punto. Ogni linea è formata da punti che hanno lo stesso livello. Dove le linee sono più addensate maggiore è il dislivello e maggiore la componente della forza peso che agisce su una massa. Allo stesso modo la forza elettrica su una carica positiva posta in un certo punto sarà maggiore se in quel punto le linee sono ravvicinate. La forza è diretta dal potenziale maggiore a quello minore. 

Ad esempio nel caso del campo generato da una carica puntiforme le linee equipotenziali come vedremo sono circonferenze concentriche. Ci possiamo immaginare una "collina di potenziale" come nell'immagine. Posta una carica positiva in un certo punto questa carica verrà spinta versa l'esterno dalle forze del campo. Se la carica Q è negativa possiamo pensare a una "conca". La carica q positiva posta in un punto tende a cadere dentro avvicinandosi alla carica generatrice.

Vale questa importante proprietà: PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE Il potenziale in un punto è la somma algebrica dei potenziali dovuti alle singole cariche presenti.

Perpendicolarità tra campo elettrico e superfici equipotenziali

Consideriamo uno spostamento finito Δs lungo una linea equipotenziale. La variazione di potenziale lungo questo spostamento è ΔV= 0. Allora il lavoro fatto dalle forze del campo per spostare una carica q lungo una linea equipotenziale è 0:

L=qΔV =0

Ma il lavoro è dato anche da L=FΔx è questo risulta nullo solo se la F è perpendicolare allo spostamento.

Questo significa che le linee equipotenziali sono perpendicolari in ogni punto  al  campo elettrico .

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CAMPO ELETTRICO RADIALE GENERATO DA UNA CARICA PUNTIFORME Q

Campo elettrico

A distanza r da una carica puntiforme Q, il modulo del campo elettrico è:

E = k Q / r²

Potenziale 

V(r) =U/q=k Q / r

Superfici equipotenziali

Poiché V dipende solo da r, tutte le posizioni con lo stesso r hanno lo stesso potenziale. Le superfici equipotenziali sono quindi sfere concentriche con centro nella carica.

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Campo elettrico uniforme

Consideriamo un campo elettrico uniforme diretto lungo l'asse x. La variazione di potenziale tra due punti A e B distanti Δx è:

ΔV = V_B - V_A = - E Δx

Se scegliamo come riferimento V = 0 in x = 0, allora:

V(x) = - E x

In un campo uniforme, le superfici equipotenziali sono piani perpendicolari alle linee di campo e quindi paralleli tra loro.

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SFERA CONDUTTRICE DI RAGGIO R E CARICA Q

Campo elettrico interno

In un conduttore in equilibrio elettrostatico, il campo elettrico all'interno è nullo:

E = 0 per r < R

Campo elettrico esterno (x legge di Gauss)

Consideriamo una superficie sferica immaginaria di raggio r > R, concentrica con la sfera conduttrice. Per simmetria:

• il campo elettrico è radiale;
• ha lo stesso valore in ogni punto della superficie;
• l'area della superficie è 4 π r².

Il flusso del campo elettrico attraverso questa superficie è:

Φ_E = E · 4 π r²

La legge di Gauss afferma:

Φ_E = Q / ε₀

Quindi:

E · 4 π r² = Q / ε₀

E = (1 / (4 π ε₀)) · Q / r² = k Q / r²

Potenziale esterno

All'esterno, la sfera si comporta come una carica puntiforme Q concentrata nel centro, quindi:

V(r) = k Q / r     per r ≥ R

Potenziale interno

All'interno del conduttore il campo è nullo, quindi non ci sono variazioni di potenziale:

ΔV = 0

Il potenziale è costante e uguale al valore sulla superficie:

V(r) = V(R) = k Q / R     per r ≤ R

La superficie del conduttore è quindi una superficie equipotenziale.

Energia potenziale di una carica esterna

Una carica q posta a distanza r dalla sfera ha energia potenziale:

U = q V(r) = k Q q / r

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