IL PROBLEMA DEL CORPO NERO

La videolezione (ITA) spiega il problema del corpo nero.

Il problema nasce dallo studio di un semplice fenomeno: la luce emessa da corpi riscaldati. 
Ad esempio un ferro rovente inizialmente emette prevalentemente nell'infrarosso e la sua luce è rossa . Poi, quando la temperatura sale ulteriormente, il suo colore diventa prima giallo e poi bianco - azzurro.

Ogni corpo ad una temperatura T emette una radiazione elettromagnetica che risulta visibile solo per temperature sufficientemente elevate. 

Si notò anche che la luce emessa da corpi riscaldati alla stessa temperatura risulta del medesimo colore che quindi non dipende dalla natura del materiale. 

La fisica classica spiegava il fenomeno dicendo che ogni corpo è formato da atomi che sono liberi di oscillare come delle molle intorno al loro punto di equilibrio. La temperatura definisce la temperatura come una misura della velocità media di oscillazione degli atomi. Maggiore è la temperatura, maggiore è la velocità di oscillazione degli atomi (agitazione termica).

Per la teoria dell'elettromagnetismo ogni carica oscillate è sorgente di onde elettromagnetiche. Quindi un corpo scaldato emette radiazioni perché le cariche presenti nell'atomo sono in oscillazione. 

La questione diventò ovviamente di grande interesse con l'invenzione dalla lampadina ad incandescenza di Edison.

Lo studio del colore e della luce generata da un corpo caldo era strettamente legato al miglioramento dell'efficienza della lampadina. Si cercava una relazione tra il colore della luce e la sua temperatura. Nel 1881 nella conferenza delle unità di misura di Parigi si tentò senza successo di definire un campione di luminosità per mancanza di conoscenze teoriche sulla luce.  L'industriale tedesco Siemens finanziò questa ricerca con l'intenzione di introdurre nel mercato una lampadina innovativa da un punto di vista energetico.

Il fisico tedesco Kirchoff definì un modello ideale di corpo (detto CORPO NERO) capace di assorbire ed emettere tutte frequenze della radiazione SENZA RIFLETTERE nessuna radiazione.


Infatti un corpo che non riflette radiazione è nero perché il colore di un oggetto è dato dalla componente della radiazione riflessa.

Un corpo illuminato con luce bianca appare rosso perchè assorbe tutte le componenti cromatiche escluso il rosso che viene riflesso. 

Se invece il corpo appare nero è perchè assorbe tutte le componenti cromatiche ma non è escluso che possa riflettere qualche frequenza fuori dal visibile (ad esempio infrarossi) continuando ad apparire alla nostra vista nero.

qualunque corpo con una certa temperatura è sorgente di radiazione infrarossa visibile con telecamere per la visione notturna

Il CORPO NERO pensato da Kirchoff è un corpo che è "nero" per tutte le frequenze dalle onde radio ai raggi gamma.
Un CORPO NERO è quindi un corpo che assorbe ed emette tutte frequenze delle radiazioni elettromagnetiche senza riflettere nulla e che è in grado di emettere radiazione cromatica qualora sia riscaldato a temperature diverse.
Bisogna fare molta attenzione a distinguere il colore di un corpo illuminato dato dalla luce riflessa, dal colore del corpo nero dato dalla radiazione emessa dallo stesso corpo. Quello che interessa il fenomeno è la "luce" emessa.

Ma come è fatto un corpo nero? 

In genere, è rappresentato come un oggetto cavo che comunica con l'esterno tramite un foro. Quando le radiazioni entrano nella cavità, si riflettono sulle pareti interne restando intrappolate e, infine, sono assorbite dal corpo. Di conseguenza il corpo nero è sempre in equilibrio termico perchè emette quanto assorbe. Se, ad esempio, guardiamo dall'esterno le finestre di un appartamento queste ci appaiano nere anche se dentro c'è luce perché la quantità di luce che entra dalla finestra è maggiore di quella che esce. 

Questo è un esempio di corpo nero come lo è la bocca del forno del pizzaiolo che quando è spento appare nero ed emette luce quando raggiunge una temperatura sufficientemente alta. 

Possiamo considerare come corpo nero anche il Sole, una qualunque stella oppure il filo incandescente della lampadina. In generale lo è ogni corpo ad una certa temperatura T che è in equilibrio termodinamico. 

Per radiazione del corpo nero si intende solo la radiazione emessa in virtù della sua temperatura.

E' un corpo perfettamente assorbente. E' in grado di assorbire tutte le radiazioni elettromagnetiche in entrata ( assorbitore ideale o corpo emissivo ideale ) ed emettere radiazioni su tutte le lunghezze d'onda ( emettitore ideale ). In genere, è rappr

E' un corpo perfettamente assorbente. E' in grado di assorbire tutte le radiazioni elettromagnetiche in entrata ( assorbitore ideale o corpo emissivo ideale ) ed emettere radiazioni su tutte le lunghezze d'onda ( emettitore ideale ). In genere, è rappr

E' un corpo perfettamente assorbente. E' in grado di assorbire tutte le radiazioni elettromagnetiche in entrata ( assorbitore ideale o corpo emissivo ideale ) ed emettere radiazioni su tutte le lunghezze d'onda ( emettitore ideale ). In genere, è rappr

E' un corpo perfettamente assorbente. E' in grado di assorbire tutte le radiazioni elettromagnetiche in entrata ( assorbitore ideale o corpo emissivo ideale ) ed emettere radiazioni su tutte le lunghezze d'onda ( emettitore ideale ).

E' un corpo perfettamente assorbente. E' in grado di assorbire tutte le radiazioni elettromagnetiche in entrata ( assorbitore ideale o corpo emissivo ideale ) ed emettere radiazioni su tutte le lunghezze d'onda ( emettitore ideale ). In genere, è rappr

 

Si tratta comunque di un modello ideale dal momento che in natura non esistono corpi che soddisfano perfettamente tale caratteristica. 
Del corpo nero si voleva studiare il suo spettro cioè il grafico dell'intensità della radiazione emessa in funzione della frequenza (o della lunghezza d'onda)
Dove nasce il problema del corpo nero?
L'interpretazione classica del corpo nero prevedeva una emissione infinita di energia .
Infatti l'energia dell'onda elettromagnetica in fisica classica è associata alla sola ampiezza dell'onda e non alla frequenza. Il corpo nero deve, per definizione, emettere su tutte le frequenze che sono ovviamente infinite. Anche se su ogni frequenza è emessa una radiazione di bassa energia (piccola ampiezza) la somma di infinite quantità finite risulterebbe comunque infinita. 
Ovviamente pensare ad una energia infinita andava contro la legge di conservazione dell'energia. 
Inoltre la distribuzione dello spettro di frequenze prevista era diversa da quella effettivamente osservata.
Qual'era allora l'errore di interpretazione?

SPETTRO DEL CORPO NERO
Come già detto la distribuzione dell'energia della radiazione del corpo nero sulle diverse frequenze, prevista dalla fisica classica risultava sostanzialmente diversa da quella osservata.
Prima di tutto dobbiamo chiarire che cos'è lo spettro di emissione di un corpo.
Ogni corpo ad una temperatura T emette sempre radiazione elettromagnetica .
Ad esempio una lampadina ad incandescenza irradia infrarossi e luce visibile.
La radiazione emessa da un corpo si può descrivere con lo spettro del corpo (grafico Intensità  - Frequenza oppure Intensità-lunghezza d'onda) che indica l'intensità della radiazione e quindi la quantità di energia al secondo su unità di superficie relativa alla frequenza emessa.

esempio di spettro di una lampadina led e della luce solare. La curva mostra l'energia emessa per ogni lunghezza d'onda. Il led emette buona parte della sua energia sulla lunghezza d'onda del verde. Non emette energia sull'ultravioletto che è invece emesso dal sole come si vede dal secondo spettro.

Lo spettro del corpo nero, ricavato dalle leggi della fisica classica era una curva crescente al crescere della frequenza. Il problema dell'infinita energia risultante dalla teoria venne chiamato problema della "catastrofe ultravioletta". 

Lo spettro,  ricavato poi sperimentalmente alla fine del 1800, dimostrava un andamento sostanzialmente diverso con una forma caratteristica a campana. Il problema si poteva risolvere ricavando una legge matematica che descriveva correttamente l'andamento della curva a campana e capire qual'era l'errore nella curva ricavata dalla teoria.

Lo spettro del corpo nero è uno spettro CONTINUO (cioè assume valori su tutte gli infiniti valori reali delle frequenze) con la tipica forma a "campana" dove il PICCO DI EMISSIONE è la lunghezza d'onda a cui corrisponde la massima emissione (massima INTENSITÀ) della radiazione emessa.

Un primo importante risultato venne ottenuto nel 1899 dal giovane fisico austriaco W.Wien. Wien capì che lo spettro del corpo nero DIPENDE SOLO dalla temperatura T del corpo e non dipende dalla sua natura.
 

Applet sul corpo nero (phet)

applet 

Il picco di emissione è invece quello che caratterizza il colore di cui appare il corpo se scaldato a quella temperatura. Aumentando la temperatura il picco di emissione si sposta verso una lunghezza d'onda più piccola. 

Wien  scoprì che il prodotto della lunghezza d'onda corrispondente al picco di emissione  per la temperatura assoluta del corpo è sempre una costante. La LEGGE detta DELLO SPOSTAMENTO DI WIEN si scrive con l'espressione :

La lunghezza d'onda di picco è inversamente proporzionale alla temperatura assoluta del corpo.
La costante è :

Tramite questa legge è possibile determinare la lunghezza d'onda di picco di qualunque corpo nero ad una certa temperatura.
In modo equivalente la frequenza è direttamente proporzionale alla temperatura con costante 5,88·10¹º s⁻¹K⁻¹:
 

Nello spettro con intensità -frequenza lo spostamento è verso destra a frequenze maggiori. (vedi sotto)

Viceversa dal colore emesso dal corpo nero (cioè dalla frequenza corrispondente) si può dedurre la sua temperatura. Ad esempio dal colore del Sole si può dedurre il picco di emissione (la frequenza del giallo/rosso) e quindi la sua temperatura di circa 5800K. 

Lo stesso per le stelle. Così le stelle azzurre sono più calde di quelle rosse.

Dallo spettro risultava anche evidente che al crescere della temperatura aumenta la quantità dell'energia irradiata che corrisponde all'area sottesa al grafico della "campana".(vedi grafico). 
Alla fine del 1800 era nota anche  la LEGGE DI STEFAN - BOLTZMANN ricavata con metodi termodinamici:

La potenza complessiva emessa su unità di superficie (è intensità) da un corpo nero è direttamente proporzionale alla potenza quarta della temperatura assoluta.
NB: P è uguale all'area sottesa dal grafico dello spettro a campana essendo l'integrale della funzione.
Alla fine dell'800 era quindi noto il grafico che caratterizzava lo spettro del corpo nero ma tutti i tentativi di spiegare teoricamente la curva dello spettro del corpo nero ricavando l'espressione analitica della funzione I(𝝀,T) fallirono miseramente.

Rayleight-Jeans proposero una funzione ricavata dalle leggi della fisica classica trattando la radiazione emessa come un gas. Questa funzione andava molto bene per frequenze basse e alte lunghezze d'onda ( quindi sul rosso) mentre creava grossi problemi per le frequenze più alte (ultravioletto)

 spettro in funzione della frequenza

  spettro in funzione della lunghezza d'onda

Infatti per frequenze maggiori la funzione continuava a crescere in modo esponenziale (DIVERGENTE). Quindi secondo tale modello l'energia irradiata dal corpo nero diventava infinita per alte frequenze e ciò andava contro la legge di conservazione dell'energia. Questo problema passò alla storia con il nome di CATASTROFE ULTRAVIOLETTA.

Nel 1900 Max Planck trovò una funzione matematica che si accordava perfettamente con i dati sperimentali ma alla quale non riusciva inizialmente a dare una spiegazione teorica.


Successivamente propose una SOLUZIONE rivoluzionaria partendo dall'ipotesi che l'energia fosse emessa o assorbita in modo DISCRETO (quantizzato) secondo pacchetti elementari di energia (e quindi non in modo continuo come si era sempre pensato!!).

La quantità minima di energia (QUANTO DI ENERGIA) è direttamente proporzionale alla frequenza e valeva:



dove h è detta COSTANTE DI PLANCK



La costante è molto piccola e questo è il motivo della difficoltà di evidenziare la natura discreta dell'energia nel caso macroscopico.

Inoltre l'energia scambiata ad una frequenza maggiore avviene con quanti di energia più gradi di quelli alle piccole frequenze. Questo evita la "catastrofe ultravioletta" perché l'energia emessa dal corpo nero è finita e alle frequenze più alte è più difficile che avvenga l'emissione di energia.

Seguono delle video lezioni in italiano sull'argomento:

SIMULAZIONE APPLET

Max Planck e l'inizio della quantistica

per approfondire in inglese

SCOPERTA LA PARTICELLA Xi

Scoperta al Cern la particella Xi: inseguita da decenni, potrà aiutare a studiare la 'colla' che tiene unita la materia, ossia per capire una delle quattro forze fondamentali della natura: la forza forte. La scoperta, annunciata nella conferenza della Società Europea di Fisica in corso a Venezia e in via di pubblicazione sulla rivista Physical Review Letters, è avvenuta grazie all'acceleratore più grande del mondo, il Large Hadron Collider (Lhc).

Vista dall'esperimento chiamato Lhcb, la particella appartiene alla famiglia dei barioni, la stessa di cui fanno parte protoni e neutroni che costituiscono la materia visibile, e come tutti i barioni è composta da tre quark, come prevede la teoria di riferimento della fisica chiamata Modello Standard. Tuttavia nei barioni finora noti si trova al massimo un solo quark pesante, mentre la particella Xi ha due quark pesanti.

E' la prima volta che si osserva una particella simile: un barione con due quark pesanti.
La particella Xi appena scoperta al Cern è già generosa di sorprese, al punto che i mattoni della materia che la costituiscono, i quark, potrebbero comportarsi come un sistema planetario in miniatura. I due quark pesanti, che sono l'elemento distintivo della nuova particella avrebbero infatti movimenti più lenti e solenni rispetto a quelli dei quark leggeri presenti in protoni e neutroni, che ricordano una danza. 
In questo sistema planetario in miniatura i due quark pesanti giocano il ruolo di stelle che orbitano l'una attorno all'altra, mentre il quark più leggero orbita intorno al sistema binario.

La particella Xi promette di essere una chiave senza precedenti per scoprire i segreti della 'colla' della materia, ossia il comportamento delle forze che agiscono nel mondo dell'infinitamente piccolo. Trovare un barione con due quark pesanti  è di grande interesse perché può fornire uno strumento unico per approfondire la cromodinamica quantistica", ossia il campo di ricerca che studia come l'intensità delle forze si riduce quando le distanze tra le particelle diventano molto piccole e che si chiama così in riferimento alle otto cariche che prendono il nome dai tre colori che descrivono i quark: rossi, gialli e blu. E' un campo di ricerca molto importante, nato grazie alle ricerche inaugurate 1963 fa dal fisico Nicola Cabibbo con il teorema che porta il suo nome, l'Angolo di Cabibbo, e che ha gettato le basi per comprendere come i mattoni della materia, i quark, si mescolano dando origine alle particelle elementari.

DUALISMO ONDULATORIO-CORPUSCOLARE DELLA MATERIA

Se un'onda come la luce si comporta a volte come una particella, possiamo ipotizzare che anche le particelle manifestino dei comportamenti tipici delle onde? 

Luis de Broglie

Nel 1924 Louis de Broglie stabilì il seguente principio: il dualismo onda- corpuscolo è una proprietà generale. Quindi anche ad una particella è associata un'onda.
Ricordando che per la luce p=E/c 

Quindi ad ogni particella è associata una lunghezza d'onda data dal rapporto tra la constante di Planck e la sua quantità di moto.  
La lunghezza d'onda di una particella ha generalmente un valore molto piccolo ed è il motivo per cui non ci accorgiamo facilmente della sua natura ondulatoria. Infatti, per poter mettere in evidenza la natura ondulatoria servirebbe un'interazione con un ostacolo o fenditura dello stesso ordine di grandezza (fenomeno di interferenza e diffrazione) .

Ad esempio una palla di massa 1kg lanciata ad una velocità di 10m/s ha una lunghezza d'onda  uguale a h/(1x10)=6,6x10⁻³³ dell'ordine di grandezza di 10⁻³⁴ m cioè miliardi di miliardi di volte più piccola dell'atomo.

Le proprietà corpuscolari e ondulatorie di una particella sono manifestazioni di differenti aspetti della sua natura.

Una dimostrazione sperimentale della natura ondulatoria delle particelle è l'esperimento della doppia fenditura ripetuta con un fascio di elettroni al posto del fascio di luce. 

L'esperimento consiste nel far passare un fascio di elettroni attraverso delle fenditure di larghezza paragonabile con quella della lunghezza d'onda associata.
Prima di tutto si nota che facendo passare un fascio di elettroni attraverso una singola fenditura questi si distribuiscono prevalentemente dietro la fenditura con una distribuzione un po' allargata per via di possibili deviazioni causate dai bordi della fenditura secondo il tipico comportamento corpuscolare.
Se ora prendiamo due fenditure ci aspettiamo di osservare la formazione di due distribuzioni in corrispondenza delle due fenditure. Questo non avviene e si vede, invece, il formarsi punto per punto di una figura di interferenza. Le frange dei massimi si  formano con l'addensarsi di punti in determinate zone dello schermo. (vedi animazione sotto) 
Quindi il fascio di elettroni si comporta come onda creando interferenza. 

Inizialmente viene da pensare che la causa sia da ricercare in una sorta d'interferenza tra gli stessi elettroni. Per verificare l'ipotesi si ripete l'esperimento con un elettrone alla volta. 

La sorgente emette un elettrone e si aspetta che questo arrivi allo schermo per emettere quello successivo per evitare ogni tipo di interferenza tra gli stessi elettroni. Sorprendentemente non cambia nulla. Aspettando pazientemente l'accumularsi sullo schermo dei punti lasciati dagli elettroni si torna a vedere il formarsi di una figura d'interferenza. Ogni elettrone cadrà in un punto casuale dello schermo seguendo un distribuzione di probabilità molto precisa. Nelle zone dove l'intensità della figura d'interferenza è più alta abbiamo anche una maggiore probabilità di trovare il nostro elettrone mentre dove l'intensità è bassa questo è poco probabile.

La questione interessante è capire dove è localizzato ogni singolo elettrone.  Se poi vogliamo indagare attraverso quale fenditura passa ogni elettrone accade una cosa molto strana: sparisce il comportamento ondulatorio. L'interpretazione di Copenaghen afferma che la particella non è minimamente localizzata ma è un po' ovunque. Si può dire che è sparpagliata come la sua funzione d'onda. La sua proprietà posizione non è definita fino a quando la particella raggiunge il secondo pannello.

La lunghezza d'onda  associata agli elettroni è dell'ordine di grandezza di un atomo e per questo motivo si usano cristalli che creano fenditure di queste dimensioni.
clicca qui

Film Americano Dottor Quantum :versione in inglese

versione tradotta in italiano

Si può pensare ad una particella trasportata dalla sua onda associata. Nell'esperimento della doppia fenditura e l'onda associata che crea interferenza.

il video spiega il dualismo onda corpuscolo con esempi ed analogie risolvendo l'apparente paradosso

Dalla trasmissione SuperQuark spiega il dualismo con un divertente cartone animato

video lezione sul dualismo onda particella

  

 il video simula il comportamento del singolo elettrone che attraversa le due fenditure comportandosi come onda per tornare a comportarsi da particella quando è assorbito dallo schermo.

video lezione sull'esperimento dell'interferenza degli elettroni

applet: simula l'esperimento dell'interferenza di particelle o fotoni

TEST DI VERIFICA (QUIZIZZ)

DUALISMO ONDA - CORPUSCOLO DELLA LUCE

Il dibattito sulla natura della luce nasce intorno all'inizio del 1700 con Huygens che propone la natura ondulatoria e Newton che propone la natura corpuscolare. L'esperimento delle due fenditure di Young del 1801 è una prova indiscutibile della natura ondulatoria della luce:la luce come tutte le onde interferiscono. Ma solo con con la teoria di Maxwell del 1860 e la dimostrazione che la luce è un'onda elettromagnetica sembra dare una conferma definitiva della natura ondulatoria della luce. 
Con la nascita della fisica quantistica e la teoria dei quanti di luce si riapre il dibattito: la luce si comporta in alcuni fenomeni come onda e in altri fenomeni come particella.

INTERPRETAZIONE CORPUSCOLARE DELL'ESPERIMENTO DI YOUNG

Nell'esperimento delle due fenditure due sorgenti coerenti di luce monocromatica generano figure di INTERFERENZA su uno schermo posto davanti. 
L'intensità della luce diffratta sullo schermo ha un andamento di questo tipo:

La massima intensità è nella frangia centrale.
Esaminiamo ora lo stesso esperimento usando il modello corpuscolare della luce (formata da fotoni). 
Utilizziamo un dispositivo in grado di registrare l'arrivo del singolo fotone.  (ad esempio una lastra fotografica)

Inviamo i fotoni attraverso le due fenditure.

COSA MI ASPETTO: che ogni singolo fotone passi attraverso una sola fenditura e, dopo che un numero elevato di fotoni è stato inviato sullo schermo, si dovrebbero osservare due zone molto luminose in corrispondenza della posizione delle due fenditure e null'altro.

COSA SI OSSERVA: i fotoni si distribuiscono in modo da formare di nuovo una figura d'interferenza. 

Analizziamo il comportamento dei singoli fotoni. Consideriamo una sorgente sufficientemente debole da poter supporre che sia generato un fotone per volta.

OSSERVAZIONI SPERIMENTALI E CONCLUSIONI: 
I singoli fotoni colpiscono lo schermo uno per volta. Aspettando un tempo sufficiente lungo si osserva una distribuzione dei fotoni sempre secondo le frange d'interferenza (vedi animazione)

1) Il numero di fotoni che arrivano in un certo punto P dello schermo  è proporzionale all'intensità prevista nella teoria ondulatoria.
2)Il fotone deve quindi interferisce con se stesso. Infatti le frange d'interferenza si formano anche quando viene fatto passare un solo fotone alla volta.
3) ogni tentativo di stabilire l'effettivo percorso fatto dal fotone porta alla distruzione della figura d'interferenza.

animazione che mostra le tre osservazioni sperimentali

il video mostra lo strano comportamento delle particelle nell'esperimento di Young 

 applet esperimento doppia fenditura con fotoni o particelle

Video esperimento (inglese) di interferenza di singoli fotoni con doppia fenditura
 

VEDI DUALISMO ONDA CORPUSCOLO DELLA MATERIA

ATOMO DI BOHR

PROBLEMI DEL MODELLO ATOMICO PLANETARIO:  Tale modello prevedeva un atomo instabile perchè gli elettroni, orbitando intorno al nucleo, generavano onde elettromagnetiche e quindi perdevano energia dovendo alla fine collassare sul nucleo. D'altra parte, sperimentalmente si osservava un atomo che irradiava energia secondo delle frequenze ben definite (spettri di emissione) che caratterizzavano gli elementi chimici.

fisico danese Niels Bohr premio Nobel 1922

ATOMO DI BOHR (interpretazione quantistica):
Nel 1913 Bohr risolse il problema fornendo un'interpretazione quantistica.
Le sue ipotesi sono:

1) esistono orbite stabili associate ad una determinata energia dove l'elettrone può orbitare senza irradiare. 

2)La transizione dell'elettrone da un'orbita di energia Eₕ ad un'orbita di energia Eₖ avviene solo per assorbimento o emissione di un quanto di energia dato dalle differenze tra le due energie: h∙f=| Eₕ-Eₖ |

Questo spiega le LINEE SPETTRALI di emissione o assorbimento che caratterizzano un elemento chimico. 

3) Anche il momento angolare dell'elettrone è quantizzato cioè può essere solo multiplo intero di una certa quantità :

l'animazione mostra il comportamento dei diversi modelli di atomo quando viene irradiato: clicca qui per usare l'applet

Consideriamo un ATOMO DI IDROGENO formato da un elettrone di carica -e, di massa m che si muove di moto circolare uniforme di raggio r intorno al nucleo di carica positiva +e.  
RAGGIO DELLE ORBITE DELL'ATOMO DI BOHR
Calcoliamo i raggi delle orbite stabili degli elettroni.

La forza centripeta è dell'elettrone è: F=m∙v²/r ed è anche la forza elettrostatica di attrazione tra elettrone e nucleo data da F=k∙e²/r²
Quindi: m∙v²/r=k∙e²/r² si ricava che :
mv²=k∙e²/r (*)
Per l'ipotesi 3) il momento angolare L=mvr (L=rxp) è quantizzato come l'energia e risulta: 

(**)

con n=1,2,3....
sostituendo in (*) ed esplicitando r si ottiene:

quindi anche le orbite sono quantizzate e i raggi aumentano con il quadrato di n=1,2,...
L'orbita più piccola è data da n=1 e vale:

ed è detto raggio di Bohr.
Quindi i raggi delle altre orbite permesse sono multipli con n² di r1:

ENERGIA ASSOCIATA ALL'ORBITA
Calcoliamo ora le energie associate ad ogni orbita. L'energia dell'elettrone è la somma dell'energia cinetica e di quella potenziale :

 sostituendo la (*) mv²=ke²/r si ottiene:

e sostituendo l'espressione dell'orbita n-esima si trova l'energia associata:

Quindi l'energia è quantizzata e l'energia massima in valore assoluto corrisponde a quella della prima orbita :

Questo è il livello più stabile per l'elettrone e per l'atomo. 
E' detto anche STATO FONDAMENTALE.
E' analogo al pavimento per una pallina nel caso gravitazionale. La pallina tende sempre a cadere sul pavimento. L'energia che corrisponde all'orbita n-esima è :

 

Questi sono sono detti LIVELLI ECCITATI e sono meno stabili.

Per liberare l'elettrone dall'atomo a livello fondamentale bisogna fornire energia per farlo passare su stati eccitati. La minima 
energia da fornire è E1.
Un elettrone posto in un livello eccitato Ei ritorna spontaneamente ad un livello più stabile Ef ed EMETTE un fotone di energia hf uguale alla differenza delle energie dei due livelli: Ei-Ef. Quindi l'atomo di un certo elemento è capace di emettere solo determinate frequenze discrete e questo spiega le linee di emissione dello spettro.

Viceversa un elettrone può passare da un livello meno eccitato Ei ad uno più eccitato Ef solo se ASSORBE l'energia di un fotone e questo avviene solo se la frequenza del fotone e tale che hf=Ei-Ef. Quindi l'atomo è capace di assorbire solo determinate frequenze e questo spiega le righe di assorbimento dello spettro di un elemento.

Ad esempio per passare dallo stato fondamentale al primo stato eccitato bisogna forni un'energia pari a |E₁-E₂|=|E₁-E₁/4|=3E₁/4=(3/4)∙13,6=10,2eV che corrisponde ad un fotone di energia h∙f=hc/𝝀 =10,2eV 

quindi 𝝀=hc/10,2e =122nm.

ESERCIZI CON LA SIMULAZIONE

Nella seguente simulazione si vede come irradiando con lunghezze d'onda diverse prese a caso l'energia del fotone raramente viene assorbita  e generalmente non vi è nessun salto di orbitale. 

Es1: Quale lunghezza d'onda bisogna impostare per ottenere un salto dallo stato fondamentale a n=2?

Solo con la lunghezza d'onda pari a 122nm, l'elettrone riesce a saltare sul primo orbitale eccitato e subito dopo ricade sullo stato fondamentale emettendo un fotone dello stesso tipo.

Si può verificare con la seguente funzione dell'app che mostra il livello energetico dell'elettrone:

Usando la funzione "spettro" possiamo osservare le frequenze emesse in questo caso e dovute al ritorno allo stato fondamentale:

Es2: Con quale lunghezza d'onda bisogna irradiare l'atomo per eccitare l'elettrone a n=3?

Si deve calcolare:

|E1-E3|=8/9xE1=8/9x13,6 eV

si ricava la frequenza dividendo il valore espresso in Joule per la costante h. Si ricava la lunghezza d'onda. [soluzione 103nm]

Resetta lo Spettrometro. Quante righe ci aspettiamo di trovare?

I fotoni vengono emessi quando passano da n=3 a n=1 oppure da n=3 a n=2 oppure da n=2 a n=1.

Es3: di quale colore è la riga emessa quando l'elettrone passa dall'orbita n=3 all'orbita n=2. [soluzione: rossa 659nm]

Infatti |E2-E3|=5/36 E1....

Es4: Con quale lunghezza d'onda bisogna irradiare l'atomo per eccitare l'elettrone a n=4? [97,6 nm]

Quante righe colorate vengono emesse? [6]

in realtà si riescono a distinguere solo 5 righe. La spiegazione e che due sono molto vicine.

Quindi un fotone emesso in una transizione dallo stato n allo stato k (n>k) ha una frequenza  f tale che:

e da questa si trova la Formula di Balmer sulle linee di emissioni degli spettri, già nota perché ricavata anni prima di Bohr in modo empirico:

in questa applet si può simulare il salto dell'elettrone tra due livelli e osservare lo spettro di emissione e assorbimento

ANALOGIA:  Tornando all'analogia con la pallina e il campo gravitazionale abbiamo detto che il pavimento è lo stato fondamentale. Fornendo energia alla pallina la si può portare ad una qualunque altezza dal pavimento. Nel caso dell'elettrone vi è una differenza importante: le altezze permesse sono solo alcune. E' come se ci fossero degli scalini da superare.

video lezione in italiano su l'atomo di Bohr

video in inglese spiega in modo schematico e approfondito il modello atomico di Bohr con animazioni.

Usa il seguente Applet per trovare la frequenza della radiazione da fornire all'elettrone per permettere il salto di livello:

clicca qui

MODELLI DI ATOMO APPLET

è possibile sperimentare su tutti i modelli di atomo
APPLET di simulazione della struttura dell'atomo di Bohr un fotone è assorbito dall'elettrone sull'orbita stabile e salta sul secondo livello per poi tornare allo stao fondamentale emettendo un fotone. L'energia del fotone assorbito e poi emesso è pari a hf= |E2-E1| dove E1 e E2 sono le energie associate ai rispettivi orbitali  

l'animazione mostra i salti quantici dell'elettroni tra i diversi orbitali 

clicca qui per usare l'Applet

videolezione Politecnico Milano

PROBLEMI:

Problema risolto tratto dal "Walker" vol3

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