Magnitudine apparente
La magnitudine apparente è la luminosità con cui una stella
ci appare dalla Terra. L’occhio umano percepisce una differenza di una magnitudine quando il rapporto fra la luminosità delle due stelle è pari a 2,5. Questi sono i passaggi matematici:
$$
m - m_0 = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right)
$$
$$
1 = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right)
$$
$$
\log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right) = \frac{1}{-2.5}
$$
$$
\log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right) = -0.4
$$
$$
\frac{F}{F_0} = 10^{-0.4}
$$
$$
\frac{F}{F_0} \approx 0.40
$$
Ossia il rapporto tra il più grande e il più piccolo è 1/0,4=2,5 cioè 2,5 di luminosità maggiore. Allo srtesso modo si pò dire che una differenza di 5 magnitudini corrisponde a un fattore 100 in flusso.
E' questo che si intende quando si dice che la risposta del nostro occhio è logaritmica e non lineare. Tenendo conto di questo, la formula di Pogson esprime la differenza di magnitudine fra due stelle in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminosità. Questo si esprime scrivendo:
In altre parole, la magnitudine apparente indica quanto una stella sembra brillante
all’osservatore terrestre in riferimento a una stella fissata .
Magnitudine assoluta
Finora abbiamo parlato di magnitudini di diverso tipo, ma erano tutte magnitudini apparenti, cioè un’espressione di quanto luminosi appaiono gli oggetti celesti osservati dalla Terra. In questo modo, però, non sappiamo quanto la loro luminosità sia intrinsecamente reale e quanto ciò sia invece dovuto alla loro distanza dalla Terra. Per valutare la luminosità intrinseca delle stelle è stata allora introdotta una nuova scala esprimere quella che viene detta magnitudine assoluta. La magnitudine assoluta è la luminosità che una stella avrebbe se fosse posta
alla distanza standard di 10 parsec dalla Terra.
La magnitudo è una grandezza adimensionale ed è un numero reale.
Per le stelle visibili arriva fino a 6.
Il valore 0 di magnitudine è stato fissato per convenzione pari a quello della stella Vega posta a 10 pc.
Maggiore è la magnitudine assoluta, più le stelle sono deboli; minore è la magnitudine assoluta, più le stelle sono luminose.
Serve per confrontare in modo oggettivo la luminosità reale delle stelle,
eliminando l’effetto della distanza.
Tenendo conto di quanto già detto tra la differenza di magnitudine e rapporti tra i flussi luminosi deve essere definito come segue:
$$ m - M = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F(r)}{F(10\,\text{pc})}\right) $$ (*)
F(10parsec) è il flusso che la stella avrebbe se si trovasse alla distanza di 10 parsec.
Tenuto conto che la quantità di energia luminosa generata dalla stella in 1 secondo rimane la stessa solo che si disperde su una superficie sferica di raggio r si ha che il flusso F(r) a una distanza r per la superficie della sfera di raggio r rimane la stessa al variare di r. Si ha:
$$F(r)\,\text{Area}(r) = F(10\,\text{pc})\,\text{Area}(10\,\text{pc})$$
$$
\frac{F(r)}{F(10\,\text{pc})} = \frac{4\pi (10\,\text{pc})^2}{4\pi r^2}
$$
sostituendo nella precedente l'espressione (*) che corrisponde al rapporto dei flussi:
$$
m - M = -2.5 \log_{10}\left(\frac{10\,\text{pc}}{r}\right)^2
$$
$$
m - M = 5 \log_{10}\left(\frac{r}{10\,\text{pc}}\right)
$$
$$m - M = 5 \log_{10}(d) - 5$$
dove \(m\) è la magnitudine apparente, \(M\) la magnitudine assoluta e \(d\) la distanza in parsec.
Una stella ha magnitudine apparente che coincide con quella assoluta solo se è posta a una distanza di 10 parsec. Infatti log(10)=1 e risulta m-M=0.
Quindi se:
d = 10 pc → m = M
d > 10 pc → m > M
d < 10 pc → m < M
La scala deriva dalla classificazione di Ipparco, che suddivise le stelle visibili a occhio nudo in sei classi di magnitudine apparente:
1ª classe: stelle più luminose — 6ª classe: stelle meno luminose e appena percepibili a occhio.
Magnitudine astronomica: riassunto completo
La magnitudine è il numero che indica quanto un oggetto celeste appare luminoso.
La scala è logaritmica e inversa: valori più bassi → oggetti più luminosi; valori più alti → oggetti più deboli.
Può assumere anche valori negativi.
La magnitudine apparente (m) misura la luminosità osservata dalla Terra.
La magnitudine assoluta (M) è la luminosità che un oggetto avrebbe a 10 parsec.
Pogson definì matematicamente la relazione tra magnitudine e flusso luminoso:
1 magnitudine → fattore 2.512
5 magnitudini → fattore 100
Formula di Pogson
\[
m_1 - m_2 = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F_1}{F_2}\right)
\]
\[
m = -2.5 \log_{10}(F) + C
\]
dove F è il flusso luminoso e C è una costante scelta in modo che Vega abbia magnitudine zero.
Relazione tra magnitudine e distanza
\[
m - M = 5 \log_{10}(d) - 5
\]
Questa formula permette di determinare la distanza di una sorgente se si conoscono m e M.
