La luminosità di una stella, indicata con P, è l’energia totale emessa
nell’unità di tempo (potenza luminosa P). Se una stella si trova a distanza d, il
FLUSSO misurato sulla Terra, indicato con F, è dato dalla relazione:
\( F = \frac{P}{4 \pi d^2} \)
Il flusso luminoso equivale all'intensità: energia al secondo su unità di superficie.
Infatti devo dividere l'energia emessa per la superficie della sfera di raggio d per trovare l'energia su unità di superficie nell'unità di tempo.
Per questo il flusso diminuisce con il quadrato della distanza. La situazione è molto simile a quella dell'intensità sonora. Infatti la
magnitudine apparente non fornisce informazioni sulla luminosità reale di una stella.
Due stelle con la stessa luminosità ma poste a distanze diverse avranno
magnitudini apparenti differenti.
Le stelle come corpi neri
Le stelle si comportano, con buona approssimazione, come corpi neri, cioè oggetti ideali
che assorbono tutta la radiazione incidente. La loro luminosità è descritta dalla
legge di Stefan-Boltzmann:
\( P = 4 \pi R^2 \sigma T^4 \)
dove: P è la potenza totale emessa dalla stella, cioè la sua luminosità: energia emessa per unità di tempo dall’intera superficie stellare.
R è il raggio della stella;
T è la temperatura della fotosfera (in Kelvin);
σ è la costante di Stefan-Boltzmann.
La luminosità si misura in Watt (W), mentre il flusso si misura in
\( \text{W}/\text{m}^2 \).
La magnitudine apparente è la luminosità con cui una stella
ci appare dalla Terra. Essa dipende da:
distanza dalla Terra;
presenza di pulviscolo interstellare;
atmosfera terrestre.
In altre parole, la magnitudine apparente indica quanto una stella sembra brillante
all’osservatore terrestre.
Magnitudine assoluta
La magnitudine assoluta è la luminosità che una stella avrebbe se fosse posta
alla distanza standard di 10 parsec dalla Terra.
La magnitudo è un una grandezza adimensionale ed è un numero reale. Per le stelle visibili arriva fino a 6. Il valore 0 di magnitudine è stato fissato per convenzione pari a quello della stella Vega che si trova a 10ps. Maggiore è la magnitudine assoluta più le stelle sono deboli. Le stelle con magnitudine assoluta minore sono più luminose.
Serve per confrontare in modo oggettivo la luminosità reale delle stelle,
eliminando l’effetto della distanza.
$$m - M = 5 \log_{10}(d) - 5$$
dove \(m\) è la magnitudine apparente, \(M\) la magnitudine assoluta e \(d\) la distanza in parsec.
Una stella ha magnitudine apparente che coincide con quella assoluta solo se è posta a una distanza di 10 parsec.
Facciamo un altro esempio se la magnitudine apparente è maggiore di quella assoluta significa che la sua luminosità apparente è minore di quella assoluta e quindi significa che è posta a una distanza maggiore ai 10 parsec .
Se d = 10 pc, allora m = M. Se d > 10 pc, allora m > M (la stella appare più debole). Se d < 10 pc, allora m < M (la stella appare più luminosa). Infatti la scala è conseguenza della classificazione di Ipparco che suddivise le stelle in sei classi di magnitudine apparente: 1ª classe: stelle più luminose; 6ª classe: stelle meno luminose.
Successivamente Pogson (1856) rese quantitativa la scala delle magnitudini, ispirata alla classificazione qualitativa di Ipparco. Stabilì che una differenza di 5 magnitudini corrisponde a un fattore 100 in luminosità.
Ciò significa che una stella di magnitudine 1 è 100 volte più luminosa di una stella di magnitudine 6. In questo modo fissò una scala logaritmica della magnitudine:
Un moto si dice oscillatorio quando un corpo si muove avanti e indietro
attorno a un punto di equilibrio. Il moto armonico è un particolare moto
oscillatorio che può essere definito come:
La proiezione sull’asse x (o y) di un punto P che si muove di moto circolare uniforme di raggio R.
Il punto blu sull’asse x e il punto rosso sull’asse y si muovono quindi di moto armonico.
Esempi fisici di moto armonico sono:
una massa collegata a una molla;
un pendolo che oscilla per piccoli angoli.
Ampiezza, Periodo e Frequenza
L’ampiezza del moto è la massima distanza dal centro e coincide con il raggio
R del moto circolare.
Il periodo T è il tempo necessario per compiere un’oscillazione completa.
La frequenza f è il numero di oscillazioni nell’unità di tempo.
Pulsazione
La velocità angolare del moto circolare si chiama pulsazione del moto armonico
e si indica con \(\omega\):
$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$
Poiché per definizione: $$\omega = \frac{\Delta \alpha}{\Delta t}$$, lo spostamento angolare risulta:
$$\alpha = \omega t$$
Legge Oraria del Moto Armonico
Il vettore posizione del moto armonico è la proiezione sull’asse x del vettore posizione del moto
circolare uniforme. Applicando il coseno otteniamo:
$$x = R\cos\alpha$$
Poiché R coincide con l’ampiezza A, la legge oraria diventa:
$$x(t) = A\cos(\omega t)$$
Considerando la proiezione sull’asse y si ottiene:
$$y(t) = Acos(\omega t + \varphi)$$
In generale la legge oraria del moto armonico è:
$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$
La fase \(\varphi\) dipende dalla posizione iniziale del moto:
se parte dall’estremo destro: \(\varphi\) = 0$;
se parte dal centro: \(\varphi\) = \(\frac{\pi}{2}\) .
L’angolo \(\alpha\) è espresso in radianti e rappresenta la posizione angolare del punto nel moto
circolare associato.
Velocità e Accelerazione del Moto Armonico
Velocità del moto armonico
Il vettore velocità del moto armonico è la proiezione sull’asse x del vettore
velocità tangenziale del moto circolare uniforme.
La velocità è:
nulla agli estremi;
massima al centro, pari a $$v_{\max} = \omega R = \omega A$$.
Dal triangolo PRS si ricava:
$$v_x = v_t \sin\alpha = \omega A \sin(\omega t)$$
Tenendo conto del verso, la legge della velocità è:
$$v(t) = -A\omega \sin(\omega t)$$
Accelerazione del moto armonico
L’accelerazione del moto armonico è la proiezione dell’accelerazione centripeta
del moto circolare sull’asse x.
L’accelerazione centripeta vale:
$$a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$$
Proiettandola otteniamo:
$$a(t) = -\omega^2 A \cos(\omega t)$$
Poiché $$x(t) = A\cos(\omega t)$$, segue immediatamente:
$$a(t) = -\omega^2 x(t)$$
Questa relazione è fondamentale: un moto è armonico se e solo se
l’accelerazione è proporzionale alla posizione e diretta verso il centro.
accelerazione massima agli estremi (dove v=0);
accelerazione nulla al centro (dove v è massima).
La costante è 𝝎² cioè il quadrato della pulsazione. Quindi per dimostrare che un certo moto è armonico e sufficiente mostrare che la sua accelerazione è direttamente proporzionale alla posizione. Inoltre dall'equazione a(t)=- 𝝎²A∙cos(𝝎∙t) possiamo dedurre che l'accelerazione è massima negli estremi dove la velocità è nulla ed è nulla al centro dove la velocità è massima. Il valore massimo dell'accelerazione si ottiene infatti quando il vettore accelerazione centripeta è verticale e la sua proiezione sull'asse y coincide con l'intero vettore.
LEGGE ORARIA
Se il punto parte da una posizione diversa cioè se nell'istante iniziale l'angolo è 𝞅 allora l'equazione diventa più in GENERALE: x(t)=A∙cos(𝝎t+𝞅)
Esempio: Se il moto parte dall'estremità sinistra verso destra allora la fase è 180° e cos (𝝎t+180°)=-cos(𝝎t). Se invece parte dal punto O e si muove verso sinistra allora la fase 𝞅=90°. cos(𝝎t+90°)=sen(𝝎t)
Quindi il moto armonico si può esprimere anche con la funzione seno se parte dal centro o si considera la proiezione sull'asse y. La legge oraria in funzione del seno è: y=A∙sen(𝝎t+𝞅)
il video della pssc mostra come ricavare il grafico del moto armonico. (ITA)
per dimostrare che è un moto armonico devo mostrare che l'accelerazione è proporzionale allo spostamento a=-kx .
Nell'oscillatore armonico la forza che agisce è la forza elasticaF=-k∙x dove k è la costante elastica della molla. Applicando la II legge della dinamica F=m∙a si ottiene l'equivalenza ma=-kx e quindi a=-(k/m)∙x . L'accelerazione è dunque proporzionale allo spostamento.(cvd)
Inoltre la costante di proporzionalità è: 𝝎²=(k/m)
Quindi la pulsazione di un oscillatore armonico dipende solo dalla costante elastica della molla e dalla massa applicata.
E sostituendo 𝝎=2𝝅/T trovo il periodo del moto:
Per aumentare il periodo (e quindi rallentare il moto) bisogna aumentare la massa oppure diminuire la costante della molla.
ANALISI DELL'ENERGIA:
Nel moto armonico dell'oscillatore massa- molla l'energia si conserva. Nell'estremità l'energia totale è data solo dall'energia potenziale : E=U=1/2 k A²
Al centro avviene il contrario. L'energia potenziale è nulla mentre l'energia cinetica è massima data da E=1/2 m v²=(1/2)m∙(𝝎∙A)².
Per la legge di conservazione dell'energia si deduce che:
e quindi 𝝎²=k/m che è vera.
Per dimostrare che l'energia totale si mantiene costante si esegue il seguente calcolo:
Esercizio:
Osserva il seguente grafico del moto armonico di un corpo.
Dal grafico ricava il valore del periodo T, dell'ampiezza A,la fase e la legge oraria del moto.Ricordando che la velocità in un istante t è uguale alla pendenza della retta tangente nel punto (t,y), ricavare i valori della velocità per t=0s, t=0,5s, t=1s, t=1,5s e t=2s . Disegnare il grafico della velocità.
[y=2cos(𝜋t)] Esercizio:
ripetere l'esercizio precedente con il seguente grafico:
[T=4s,A=3, fase=𝜋, y=-3cos(𝜋t/2)]
Nel seguente video della pssc si studia il moto di un oscillatore armonico mostrando che ha un moto armonico semplice.
Altro esempio di moto armonico semplice è quello del pendolo:
ogni pendolo ha una lunghezza diversa e quindi un periodo e una frequenza diversa di oscillazione.
Il pendolo semplice è costituito da una massa m appesa a un filo di lunghezza
l. Indichiamo con $$\alpha$$ l’angolo in radianti che il filo forma con la verticale,
e con x la lunghezza dell’arco percorso dalla massa. Per geometria vale:
$$\alpha = \frac{x}{l}$$
La forza responsabile del moto è la componente perpendicolare del peso:
$$P_{\perp} = mg\,\sin(\alpha)$$
Applicando la seconda legge della dinamica lungo la direzione del moto:
$$-mg\,\sin\alpha = ma \quad\Rightarrow\quad a = -g\,\sin\alpha$$
Per piccole oscillazioni possiamo sostituire $$\sin\alpha \approx \alpha$$
ottenendo:
1. Quando applichiamo una differenza di potenziale
Quando ai capi di un conduttore applichiamo una differenza di potenziale (d.d.p.), nel materiale si genera una corrente elettrica: le cariche libere (negli stessi metalli: gli elettroni) vengono spinte dal campo elettrico interno.
Corrente elettrica: è il flusso ordinato di cariche. Si misura in Ampere (A). Tensione (d.d.p.): è l’energia fornita a ogni carica per muoversi nel circuito. Si misura in Volt (V).
2. Materiali ohmici e Prima Legge di Ohm
In alcuni materiali, detti ohmici, la corrente prodotta è direttamente proporzionale alla tensione applicata. In questi casi vale la Prima Legge di Ohm:
V = R · I
La costante di proporzionalità è la resistenza R, che misura quanto un conduttore si oppone al passaggio della corrente. L’unità di misura è l’Ohm (Ω).
Definizione operativa di 1 Ohm: è la resistenza di un conduttore che, in corrispondenza di una d.d.p. di 1 V, fa passare una corrente di 1 A.
3. Interpretazione microscopica della resistenza
A livello microscopico gli elettroni si muovono in modo caotico nel reticolo cristallino del conduttore. Quando applichiamo una d.d.p., gli elettroni acquisiscono una velocità di deriva diretta, ma continuano a urtare gli ioni del reticolo.
Questi urti generano una sorta di “attrito elettrico” interno: l’energia persa dagli elettroni si trasforma in calore (effetto Joule). La resistenza è quindi legata a questi urti e alla struttura microscopica del materiale.
4. Il grafico caratteristico I–V
Il grafico che rappresenta la relazione tra corrente I e tensione V si chiama grafico caratteristico.
Conduttori ohmici
Il grafico I–V è una retta passante per l’origine.
La pendenza della retta è data da 1/R, che si chiama conducibilità.
Maggiore è la pendenza della retta, minore è la resistenza.
Conduttori non ohmici
Il grafico I–V non è lineare.
La resistenza varia con la corrente o con la tensione.
Esempi: lampadine a incandescenza, diodi, LED.
5. Seconda Legge di Ohm
La resistenza di un filo conduttore dipende da:
Lunghezza L: più il filo è lungo, più la resistenza è grande.
Superficie della sezione A: più la sezione è grande, più la resistenza è piccola.
Materiale, tramite una grandezza chiamata resistività ρ.
R = ρ · L / A
La resistività ρ è una costante caratteristica del materiale: dipende dalla struttura microscopica, dal tipo di legame tra gli atomi e dalla temperatura. È bassa nei metalli (buoni conduttori) e molto alta negli isolanti
6. Collegamenti di resistenze
Resistenze in serie
La resistenza totale è la somma delle singole resistenze:
Rtot = R1 + R2 + ...
Resistenze in parallelo
L’inverso della resistenza totale è la somma degli inversi:
1 / Rtot = 1 / R1 + 1 / R2 + ...
7. Cosa ricordare
La legge di Ohm vale solo per i materiali ohmici.
La resistenza dei metalli aumenta con la temperatura.
Il grafico caratteristico I–V è fondamentale per capire il comportamento di un componente.
La resistività spiega perché i cavi elettrici sono di rame e con sezione adeguata.
Come varia il potenziale del conduttore al variare della carica q fornita?
Si dimostra che il potenziale aumenta in modo direttamente proporzionale
all’aumentare della carica q presente sul conduttore.
La costante di proporzionalità è la capacità elettrica C:
$C = \frac{q}{V}$
La capacità elettrica è una grandezza scalare e la sua unità di misura è il
farad:
$1\,F = 1\,C / 1\,V$
Definizione di capacità elettrica
La capacità elettrica di un 1 farad è la quantità di carica che,
aggiunta al conduttore, provoca un aumento di potenziale di 1 volt.
Se la capacità elettrica di un conduttore è molto grande, allora il suo potenziale
aumenta lentamente. Se invece il potenziale è elevato, il lavoro necessario per
aggiungere ulteriore carica portandola dall'infinito sul conduttore diventa molto grande, perché come è noto:
$L = qV$ (se la carica è portata dall’infinito)
Se pensiamo al conduttore come a un “contenitore di carica”, allora il valore del
potenziale misura il livello di saturazione del conduttore. La capacità del
conduttore diventa la capacità del “contenitore” di carica.
Maggiore è la capacità elettrica, maggiore sarà la quantità di carica che può contenere.
Analogia
A parità di altezza h, un recipiente più largo contiene più acqua di uno stretto.
A parità di differenza di potenziale V, un condensatore con grande capacità C
può accumulare più carica di uno con capacità minore.
Se la carica è pensata come un liquido, allora il potenziale rappresenta il livello
h raggiunto da questo liquido nel contenitore.
In un contenitore con una sezione stretta il livello –potenziale aumenta molto velocemente
(bassa capacità). Viceversa, un contenitore con sezione larga rappresenta un conduttore
con alta capacità.
Da cosa dipende la capacità di un conduttore?
La capacità elettrica dipende prima di tutto dalle sue caratteristiche geometriche e poi dal mezzo dove è inserito il conduttore .
Capacità elettrica di una sfera conduttrice
Il potenziale di una sfera conduttrice di raggio R è:
$V = k \frac{q}{R}$
Da questa relazione si ricava la capacità elettrica:
La capacità C è quindi direttamente proporzionale al raggio R della sfera.
Come possiamo aumentare la capacità elettrica di un conduttore?
Un metodo consiste nel porre vicino un secondo conduttore: in questo modo diminuisce la capacità. Il sistema così ottenuto è detto condensatore elettrico.
Quando si avvicina un secondo conduttore, le cariche presenti su di esso si ridistribuiscono
per induzione: sulla faccia rivolta verso il primo conduttore compaiono cariche di segno
opposto, mentre sulla faccia opposta compaiono cariche dello stesso segno.
Le cariche indotte di segno opposto generano un campo che si oppone a quello prodotto dal
primo conduttore. Di conseguenza, il campo elettrico risultante attorno al primo conduttore
diminuisce.
Poiché il potenziale dipende dall'intensità del campo elettrico, una riduzione del campo
comporta una diminuzione del potenziale del conduttore carico.
$C = \frac{q}{V}$
Se il potenziale V diminuisce mentre la carica q rimane la stessa,
la capacità C aumenta. In pratica, il secondo conduttore “aiuta” il primo a
trattenere più carica riducendo la repulsione elettrica.
Questo è il principio di funzionamento del condensatore: due conduttori
vicini permettono di immagazzinare molta più carica rispetto a un conduttore isolato.
Capacità di un condensatore piano
Consideriamo un condensatore formato da due armature piane e parallele, di area A,
separate da una distanza d. Le due armature portano cariche uguali e opposte
+Q e -Q. Tra le armature si crea un campo elettrico uniforme.
$V = E \cdot d$
Il campo elettrico tra le armature vale:
$E = \frac{Q}{A} \cdot \frac{1}{\varepsilon}$
Sostituendo nella definizione di capacità si ottiene:
$C = \frac{Q}{V} = \varepsilon \frac{A}{d}$
La capacità di un condensatore piano è quindi direttamente proporzionale
alla superficie delle armature e inversamente proporzionale alla loro distanza.
Il dielettrico e l’aumento della capacità
Per aumentare la capacità di un condensatore si possono avvicinare le due armature
oppure inserire tra esse un materiale isolante chiamato dielettrico.
In un materiale isolante le cariche non sono libere di muoversi, ma le sue molecole
possono essere schematizzate come piccoli dipoli elettrici. In condizioni normali
questi dipoli sono orientati in modo casuale.
Quando il dielettrico viene inserito tra le armature del condensatore, il campo elettrico
presente induce un orientamento dei dipoli secondo le linee di campo. I dipoli vicini
all’armatura positiva mostrano la loro carica negativa, mentre quelli vicini all’armatura
negativa mostrano la loro carica positiva. I campi elettrici dei dipoli hanno verso contrario al campo E del condensatore e si sommano tra loro.
L'effetto è di ridurre il campo elettrico complessivo tra le armature. Se diminuisce l campo elettrico tra le armature allora diminuisce
il potenziale essendo V=Ed. Poiché la capacità è definita come:
$C = \frac{q}{V}$
una diminuzione del potenziale V comporta un aumento della capacità C.
$C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}$
La presenza del dielettrico aumenta quindi la capacità del condensatore di un fattore
pari alla costante dielettrica relativa ϵr del materiale. ϵr è adimensionale e si può anche definire come il rapporto tra il campo elettrico generato nel condensatore senza dielettrico e il campo elettrico generato con dielettrico.
applet: funzionamento del condensatore: clicca qui
Energia immagazzinata nel condensatore
L’energia del campo elettrico generato da un condensatore è uguale al lavoro necessario
per caricarlo. Per trasferire carica da un’armatura all’altra occorre compiere lavoro.
Se il potenziale rimanesse costante, il lavoro sarebbe L = qV.
In realtà il
potenziale aumenta proporzionalmente alla carica accumulata, quindi il lavoro totale
si ottiene come area sotto il grafico V(q).
