IL SISTEMA DI COORDINATE ALTAZIMUTALE

Il sistema di coordinate altazimutale, utilizzato per determinare la posizione di una stella in un preciso istante, prendendo come riferimento l'orizzonte dell'osservatore.

Consideriamo i tre piani fondamentali del sistema:

1) il piano dell'orizzonte astronomico, tangente alla superficie terrestre nel punto in cui si trova l'osservatore; è praticamente il piano individuato dall'orizzonte circolare visibile quando siamo il mare aperto. Il piano dell'orizzonte astronomico è un piano tangente alla Terra nel punto in cui ci troviamo; Per orizzonte astronomico si intende il cerchio che è intersezione tra il piano e la sfera celeste.

2)L'equatore celeste è la proiezione dell'equatore terrestre sulla sfera celeste. 

• 
  
  L' equatore celeste è ottenuto prolungando nello spazio il piano dell'equatore terrestre, perpendicolare all'asse di rotazione della Terra. E' quello perpendicolare all'asse della Terra. E' un piano inclinato rispetto al mio orizzonte di un angolo pari alla mia latitudine. A Venezia è inclinato di circa 45°. In altre parole, più ci si sposta verso i poli, più l’equatore celeste si abbassa sull’orizzonte; all’equatore terrestre, invece, è perpendicolare all’orizzonte.
  
  L'equatore celeste interseca l'orizzonte nei punti Est e Ovest, completando gli elementi necessari per definire il sistema di coordinate altazimutale.
  
  3) il piano meridiano, che passa per l'osservatore, lo zenit e la direzione nord-sud. 
• Come individuare il meridiano locale?
  
  E' sufficiente trovare la posizione del Nord o Sud. Il Sud si determina osservando il Sole quando raggiunge la massima altezza sull'orizzonte (culminazione);In generale tutti gli oggetti celesti raggiungono la massima altezza sull'orizzonte in corrispondenza del  meridiano celeste. Oppure per trovare il meridiano si cerca il Nord che si individua osservando la Stella Polare, che appare quasi immobile nel cielo.
  
  
• La Stella Polare sembra fissa in cielo perché si trova molto vicina al prolungamento dell'asse di rotazione terrestre (circa 41 primi d'arco, meno di 1°), perciò descrive un arco piccolissimo durante la notte. La Stella Polare non è la più brillante del cielo e solo quella più ferma. In realtà la stella più luminosa visibile alle nostre latitudini è Sirio, che è circa 22 volte più luminosa della Stella Polare.
  
  Prendendo come esempio Venezia (latitudine di circa 45° N), si mostra che la Stella Polare appare a circa 45° sopra l'orizzonte nord, evidenziando che la sua altezza sull'orizzonte corrisponde approssimativamente alla latitudine dell'osservatore.
  
  Mentre la Stella Polare compie un movimento quasi impercettibile, tutte le altre stelle descrivono archi di cerchio sempre più grandi attorno al polo celeste a causa della rotazione terrestre.
  
  
  
  Per determinare la posizione di una stella si considerano le coordinate altazimutali che dipendono dalla posizione sulla Terra dell'osservatore.

Considerato un astro nella posizione T della sfera celeste si definiscono le coordinate :

Azimut (A): è l’arco o angolo di Orizzonte tra il punto Sud e il cerchio verticale (cerchio massimo passante per lo Zenit e il Nadir) passante per l’astro (T); è  misurato in senso orario ed è compreso tra 0° e 360°;

Altezza (h): è l’arco di cerchio verticale compreso fra l’Orizzonte e l‘astro; si conta da 0 a +90° verso lo Zenit e da 0 a -90° verso il Nadir

La Distanza Zenitale z = 90° – h  è la distanza dell’astro dallo Zenit ed è compresa tra 0° e 180°; vale sempre la relazione z + h = 90°.

Nell’emisfero boreale il valore massimo dell’Altezza di un corpo celeste si ha quando, a causa del moto diurno, il corpo transita al meridiano in direzione Sud ( culminazione superiore), il valore minimo dell’Altezza si ha quando il corpo transita al meridiano in direzione Nord (culminazione inferiore).

LUMINOSITA' E FLUSSO LUMINOSO DI UNA STELLA

La luminosità di una stella, indicata con P, è l’energia totale emessa nell’unità di tempo (potenza luminosa P). Se una stella si trova a distanza d, il FLUSSO (INTENSITA') luminoso della stella misurato sulla Terra, indicato con F, è dato dalla relazione:

\( F = \frac{P}{4 \pi d^2} \)

Il flusso luminoso è l' intensità: energia al secondo su unità di superficie. Infatti devo dividere tutta l'energia emessa dalla stella in 1 secondo per la superficie della sfera di raggio d per trovare l'energia su unità di superficie nell'unità di tempo nell'ipotesi che la luce si propaghi in tutte le direzioni in modo uniforme. Infatti alla distanza d dalla stella l'energia si è distribuita sulla superficie di una sfera di raggio d. Per questo il flusso diminuisce con il quadrato della distanza. La situazione è molto simile a quella dell'intensità sonora. Infatti la magnitudine apparente non fornisce informazioni sulla luminosità reale di una stella. Due stelle con la stessa luminosità ma poste a distanze diverse avranno magnitudini apparenti differenti.

Le stelle come corpi neri

Le stelle si comportano, con buona approssimazione, come corpi neri, cioè oggetti ideali che assorbono tutta la radiazione incidente. La loro luminosità è descritta dalla legge di Stefan-Boltzmann:

\( P = 4 \pi R^2 \sigma T^4 \)

dove:  P è la potenza totale emessa dalla stella, cioè la sua luminosità: energia emessa per unità di tempo dall’intera superficie stellare.

• R è il raggio della stella;
• T è la temperatura della fotosfera (in Kelvin);
• σ è la costante di Stefan-Boltzmann.

La luminosità si misura in Watt (W), mentre il flusso si misura in \( \text{W}/\text{m}^2 \).

MAGNITUDO ASSOLUTA E APPARENTE

Magnitudine apparente

La magnitudine apparente è la luminosità con cui una stella ci appare dalla Terra. L’occhio umano percepisce una differenza di una magnitudine quando il rapporto fra la luminosità delle due stelle è pari a 2,5. Questi sono i passaggi matematici: $$ m - m_0 = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right) $$ $$ 1 = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right) $$ $$ \log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right) = \frac{1}{-2.5} $$ $$ \log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right) = -0.4 $$ $$ \frac{F}{F_0} = 10^{-0.4} $$ $$ \frac{F}{F_0} \approx 0.40 $$ Ossia il rapporto tra il più grande e il più piccolo è 1/0,4=2,5 cioè 2,5 di luminosità maggiore. Allo srtesso modo si pò dire che una differenza di 5 magnitudini corrisponde a un fattore 100 in flusso. E' questo che si intende quando si dice che la risposta del nostro occhio è logaritmica e non lineare. Tenendo conto di questo, la formula di Pogson esprime la differenza di magnitudine fra due stelle in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminosità. Questo si esprime scrivendo:

Dove m è la magnitudine apparente e mo è quella di una stella presa di riferimento, F è il flusso luminoso (intensità) della stella. La formula dice che vi è una differenza di una magnitudine se il rapporto dei flussi è di 2,5. Si deve risolvere l'equazioni logaritmica.

In altre parole, la magnitudine apparente indica quanto una stella sembra brillante all’osservatore terrestre in riferimento a una stella fissata .

Magnitudine assoluta

Finora abbiamo parlato di magnitudini di diverso tipo, ma erano tutte magnitudini apparenti, cioè un’espressione di quanto luminosi appaiono gli oggetti celesti osservati dalla Terra. In questo modo, però, non sappiamo quanto la loro luminosità sia intrinsecamente reale e quanto ciò sia invece dovuto alla loro distanza dalla Terra. Per valutare la luminosità intrinseca delle stelle è stata allora introdotta una nuova scala esprimere quella che viene detta magnitudine assoluta. La magnitudine assoluta è la luminosità che una stella avrebbe se fosse posta alla distanza standard di 10 parsec dalla Terra.

La magnitudo è una grandezza adimensionale ed è un numero reale. Per le stelle visibili arriva fino a 6. Il valore 0 di magnitudine è stato fissato per convenzione pari a quello della stella Vega posta a 10 pc. Maggiore è la magnitudine assoluta, più le stelle sono deboli; minore è la magnitudine assoluta, più le stelle sono luminose.

Serve per confrontare in modo oggettivo la luminosità reale delle stelle, eliminando l’effetto della distanza.

Tenendo conto di quanto già detto tra la differenza di magnitudine e rapporti tra i flussi luminosi deve essere definito come segue: $$ m - M = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F(r)}{F(10\,\text{pc})}\right) $$ (*)

F(10parsec) è il flusso che la stella avrebbe se si trovasse alla distanza di 10 parsec.

Tenuto conto che la quantità di energia luminosa generata dalla stella in 1 secondo rimane la stessa solo che si disperde su una superficie sferica di raggio r si ha che il flusso F(r) a una distanza r per la superficie della sfera di raggio r rimane la stessa al variare di r. Si ha:

$$F(r)\,\text{Area}(r) = F(10\,\text{pc})\,\text{Area}(10\,\text{pc})$$

$$ \frac{F(r)}{F(10\,\text{pc})} = \frac{4\pi (10\,\text{pc})^2}{4\pi r^2} $$ sostituendo nella precedente l'espressione (*) che corrisponde al rapporto dei flussi: 

$$ m - M = -2.5 \log_{10}\left(\frac{10\,\text{pc}}{r}\right)^2 $$ $$ m - M = 5 \log_{10}\left(\frac{r}{10\,\text{pc}}\right) $$ $$m - M = 5 \log_{10}(d) - 5$$

dove \(m\) è la magnitudine apparente, \(M\) la magnitudine assoluta e \(d\) la distanza in parsec.

Una stella ha magnitudine apparente che coincide con quella assoluta solo se è posta a una distanza di 10 parsec. Infatti log(10)=1 e risulta m-M=0.

Quindi se:

d = 10 pc → m = M
d > 10 pc → m > M 
d < 10 pc → m < M 

La scala deriva dalla classificazione di Ipparco, che suddivise le stelle visibili a occhio nudo in sei classi di magnitudine apparente: 1ª classe: stelle più luminose — 6ª classe: stelle meno luminose e appena percepibili a occhio.

Magnitudine astronomica: riassunto completo

La magnitudine è il numero che indica quanto un oggetto celeste appare luminoso. La scala è logaritmica e inversa: valori più bassi → oggetti più luminosi; valori più alti → oggetti più deboli. Può assumere anche valori negativi.

La magnitudine apparente (m) misura la luminosità osservata dalla Terra. La magnitudine assoluta (M) è la luminosità che un oggetto avrebbe a 10 parsec.

Pogson definì matematicamente la relazione tra magnitudine e flusso luminoso: 1 magnitudine → fattore 2.512 5 magnitudini → fattore 100

Formula di Pogson

\[ m_1 - m_2 = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F_1}{F_2}\right) \]

\[ m = -2.5 \log_{10}(F) + C \]

dove F è il flusso luminoso e C è una costante scelta in modo che Vega abbia magnitudine zero.

Relazione tra magnitudine e distanza

\[ m - M = 5 \log_{10}(d) - 5 \]

Questa formula permette di determinare la distanza di una sorgente se si conoscono m e M.

MOTO ARMONICO

Un moto si dice oscillatorio quando un corpo si muove avanti e indietro attorno a un punto di equilibrio. Il moto armonico è un particolare moto oscillatorio che può essere definito come:

La proiezione sull’asse x (o y) di un punto P che si muove di moto circolare uniforme di raggio R.

Il punto blu sull’asse x e il punto rosso sull’asse y si muovono quindi di moto armonico. Esempi fisici di moto armonico sono:

• una massa collegata a una molla;
• un pendolo che oscilla per piccoli angoli.

Ampiezza, Periodo e Frequenza

L’ampiezza del moto è la massima distanza dal centro e coincide con il raggio R del moto circolare.

Il periodo T è il tempo necessario per compiere un’oscillazione completa. La frequenza f è il numero di oscillazioni nell’unità di tempo.

Pulsazione

La velocità angolare del moto circolare si chiama pulsazione del moto armonico e si indica con \(\omega\):

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$

Poiché per definizione: $$\omega = \frac{\Delta \alpha}{\Delta t}$$, lo spostamento angolare risulta:

$$\alpha = \omega t$$

Legge Oraria del Moto Armonico

Il vettore posizione del moto armonico è la proiezione sull’asse x del vettore posizione del moto circolare uniforme. Applicando il coseno otteniamo:

$$x = R\cos\alpha$$

Poiché R coincide con l’ampiezza A, la legge oraria diventa:

$$x(t) = A\cos(\omega t)$$

Considerando la proiezione sull’asse y si ottiene:

$$y(t) = Acos(\omega t + \varphi)$$

In generale la legge oraria del moto armonico è:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$

La fase \(\varphi\) dipende dalla posizione iniziale del moto:

• se parte dall’estremo destro: \(\varphi\) = 0$;
• se parte dal centro: \(\varphi\) = \(\frac{\pi}{2}\) .

L’angolo \(\alpha\) è espresso in radianti e rappresenta la posizione angolare del punto nel moto circolare associato.

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Velocità e Accelerazione del Moto Armonico

Velocità del moto armonico

Il vettore velocità del moto armonico è la proiezione sull’asse x del vettore velocità tangenziale del moto circolare uniforme.

La velocità è:

• nulla agli estremi;
• massima al centro, pari a $$v_{\max} = \omega R = \omega A$$.

Dal triangolo PRS si ricava:

$$v_x = v_t \sin\alpha = \omega A \sin(\omega t)$$

Tenendo conto del verso, la legge della velocità è:

$$v(t) = -A\omega \sin(\omega t)$$

Accelerazione del moto armonico

L’accelerazione del moto armonico è la proiezione dell’accelerazione centripeta del moto circolare sull’asse x.

L’accelerazione centripeta vale:

$$a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$$

Proiettandola otteniamo:

$$a(t) = -\omega^2 A \cos(\omega t)$$

Poiché $$x(t) = A\cos(\omega t)$$, segue immediatamente:

$$a(t) = -\omega^2 x(t)$$

Questa relazione è fondamentale: un moto è armonico se e solo se l’accelerazione è proporzionale alla posizione e diretta verso il centro.

• accelerazione massima agli estremi (dove v=0);
• accelerazione nulla al centro (dove v è massima).

La costante è 𝝎² cioè il quadrato della pulsazione. Quindi per dimostrare che un certo moto è armonico e sufficiente mostrare che la sua accelerazione è direttamente proporzionale alla posizione. Inoltre dall'equazione a(t)=- 𝝎²A∙cos(𝝎∙t) possiamo dedurre che l'accelerazione è massima negli estremi dove la velocità è nulla ed è nulla al centro dove la velocità è massima. Il valore massimo dell'accelerazione si ottiene infatti quando il vettore accelerazione centripeta è verticale e la sua proiezione sull'asse y coincide con l'intero vettore.

LEGGE ORARIA

Se il punto parte da una posizione diversa cioè se nell'istante iniziale l'angolo è 𝞅 allora l'equazione diventa più in GENERALE: x(t)=A∙cos(𝝎t+𝞅)

𝞅 si dice FASE INIZIALE.

Esempio: Se il moto  parte dall'estremità sinistra verso destra allora la fase è 180° e cos (𝝎t+180°)=-cos(𝝎t). Se invece parte dal punto O e si muove verso sinistra allora la fase
𝞅=90°.  cos(𝝎t+90°)=sen(𝝎t)

Quindi il moto armonico si può esprimere  anche con la funzione seno se parte dal centro o si considera la proiezione sull'asse y. La legge oraria in funzione del seno è: y=A∙sen(𝝎t+𝞅)

 

 

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LETTURA DEI GRAFICI:

Dal grafico x-t possiamo dedurre l'ampiezza del moto e il suo periodo.

L'ampiezza è il massimo valore di y mentre il periodo è l'ampiezza dell'intervallo tra due picchi consecutivi.

Il moto del SISTEMA MASSA MOLLA (detto oscillatore armonico) è un esempio di moto armonico.

il video della pssc mostra come ricavare il grafico del moto armonico. (ITA)
 

per dimostrare che è un moto armonico devo mostrare che l'accelerazione è proporzionale allo spostamento a=-kx .

Nell'oscillatore armonico la forza che agisce è la forza elastica F=-k∙x dove k è la costante elastica della molla. Applicando la II legge della dinamica F=m∙a si ottiene l'equivalenza ma=-kx e quindi a=-(k/m)∙x . 
L'accelerazione è dunque proporzionale allo spostamento.(cvd) 

Inoltre la costante di proporzionalità è: 𝝎²=(k/m)

Quindi la pulsazione di un oscillatore armonico dipende solo dalla costante elastica della molla e dalla massa applicata. 

E sostituendo 𝝎=2𝝅/T trovo il periodo del moto:

Per aumentare il periodo (e quindi rallentare il moto) bisogna aumentare la massa oppure diminuire la costante della molla.

ANALISI DELL'ENERGIA:

Nel moto armonico dell'oscillatore massa- molla l'energia si conserva. Nell'estremità l'energia totale è data solo dall'energia potenziale : E=U=1/2 k A²

Infatti v=0 e quindi l'energia cinetica è nulla.

Al centro avviene il contrario. L'energia potenziale è nulla mentre l'energia cinetica è massima data da E=1/2 m v²=(1/2)m∙(𝝎∙A)².

Per la legge di conservazione dell'energia si deduce che: 

e quindi 𝝎²=k/m che è vera.

Per dimostrare che l'energia totale si mantiene costante si esegue il seguente calcolo:

 

 

Esercizio:

Osserva il seguente grafico del moto armonico di un corpo.

Dal grafico ricava il valore del periodo T, dell'ampiezza A,la fase e la legge oraria del moto.Ricordando che la velocità in un istante t è uguale alla pendenza della retta tangente nel punto (t,y), ricavare i valori della velocità per t=0s, t=0,5s, t=1s, t=1,5s e t=2s . Disegnare il grafico della velocità.

[y=2cos(𝜋t)]
Esercizio:

ripetere l'esercizio precedente con il seguente grafico:

[T=4s,A=3, fase=𝜋, y=-3cos(𝜋t/2)]
  

 

 

Nel seguente video della pssc si studia il moto di un oscillatore armonico mostrando che ha un moto armonico semplice.

Altro esempio di moto armonico semplice è quello del pendolo:

ogni pendolo ha una lunghezza diversa e quindi un periodo e una frequenza diversa di oscillazione. 

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MOTO DEL PENDOLO SEMPLICE PER PICCOLE OSCILLAZIONI

Il pendolo semplice è costituito da una massa m appesa a un filo di lunghezza l. Indichiamo con $$\alpha$$ l’angolo in radianti che il filo forma con la verticale, e con x la lunghezza dell’arco percorso dalla massa. Per geometria vale:

$$\alpha = \frac{x}{l}$$

La forza responsabile del moto è la componente perpendicolare del peso:

$$P_{\perp} = mg\,\sin(\alpha)$$

Applicando la seconda legge della dinamica lungo la direzione del moto:

$$-mg\,\sin\alpha = ma \quad\Rightarrow\quad a = -g\,\sin\alpha$$

Per piccole oscillazioni possiamo sostituire $$\sin\alpha \approx \alpha$$ ottenendo:

$$a = -g\alpha = -g\frac{x}{l} = -\frac{g}{l}x$$

e quindi:

$$a = -\frac{g}{l}\,x$$

Il moto diventa quindi armonico, con costante:

$$\omega^2 = \frac{g}{l}$$

Da cui il periodo delle piccole oscillazioni:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

RESISTENZA E LEGGI DI OHM

⚡ Le leggi di Ohm 

1. Quando applichiamo una differenza di potenziale

Quando ai capi di un conduttore applichiamo una differenza di potenziale (d.d.p.), nel materiale si genera una corrente elettrica: le cariche libere (negli stessi metalli: gli elettroni) vengono spinte dal campo elettrico interno.

Corrente elettrica: è il flusso ordinato di cariche. Si misura in Ampere (A).
Tensione (d.d.p.): è l’energia fornita a ogni carica per muoversi nel circuito. Si misura in Volt (V).

2. Materiali ohmici e Prima Legge di Ohm

In alcuni materiali, detti ohmici, la corrente prodotta è direttamente proporzionale alla tensione applicata. In questi casi vale la Prima Legge di Ohm:

V = R · I

La costante di proporzionalità è la resistenza R, che misura quanto un conduttore si oppone al passaggio della corrente. L’unità di misura è l’Ohm (Ω).

Definizione operativa di 1 Ohm: è la resistenza di un conduttore che, in corrispondenza di una d.d.p. di 1 V, fa passare una corrente di 1 A.

3. Interpretazione microscopica della resistenza

A livello microscopico gli elettroni si muovono in modo caotico nel reticolo cristallino del conduttore. Quando applichiamo una d.d.p., gli elettroni acquisiscono una velocità di deriva diretta, ma continuano a urtare gli ioni del reticolo.

Questi urti generano una sorta di “attrito elettrico” interno: l’energia persa dagli elettroni si trasforma in calore (effetto Joule). La resistenza è quindi legata a questi urti e alla struttura microscopica del materiale.

4. Il grafico caratteristico I–V

Il grafico che rappresenta la relazione tra corrente I e tensione V si chiama grafico caratteristico.

Conduttori ohmici

• Il grafico I–V è una retta passante per l’origine.
• La pendenza della retta è data da 1/R, che si chiama conducibilità.
• Maggiore è la pendenza della retta, minore è la resistenza.

Conduttori non ohmici

• Il grafico I–V non è lineare.
• La resistenza varia con la corrente o con la tensione.
• Esempi: lampadine a incandescenza, diodi, LED.

5. Seconda Legge di Ohm

La resistenza di un filo conduttore dipende da:

• Lunghezza L: più il filo è lungo, più la resistenza è grande.
• Superficie della sezione A: più la sezione è grande, più la resistenza è piccola.
• Materiale, tramite una grandezza chiamata resistività ρ.

R = ρ · L / A

La resistività ρ è una costante caratteristica del materiale: dipende dalla struttura microscopica, dal tipo di legame tra gli atomi e dalla temperatura. È bassa nei metalli (buoni conduttori) e molto alta negli isolanti

6. Collegamenti di resistenze

Resistenze in serie

La resistenza totale è la somma delle singole resistenze:

R_tot = R₁ + R₂ + ...

Resistenze in parallelo

L’inverso della resistenza totale è la somma degli inversi:

1 / R_tot = 1 / R₁ + 1 / R₂ + ...

7. Cosa ricordare

• La legge di Ohm vale solo per i materiali ohmici.
• La resistenza dei metalli aumenta con la temperatura.
• Il grafico caratteristico I–V è fondamentale per capire il comportamento di un componente.

• La resistività spiega perché i cavi elettrici sono di rame e con sezione adeguata.

Colorado Phet