SFERA CELESTE E COORDINATE CELESTI

La sfera celeste è una costruzione geometrica: una grande sfera immaginaria sulla cui superficie vengono proiettati gli astri, osservati dal centro della Terra. Il cielo sembra ruotare attorno a noi compiendo il moto diurno, dovuto alla rotazione terrestre.

Gli astri visibili cambiano nel tempo a causa di:

• rotazione terrestre (nell’arco della giornata);
• rivoluzione terrestre (nel corso dell’anno);
• precessione dell’asse terrestre e moto proprio delle stelle (su tempi molto lunghi).

Poli Celesti ed Equatore Celeste

L’asse terrestre interseca la sfera celeste nei poli celesti, gli unici punti fissi del cielo nella rotazione apparente della volta celeste. L’equatore celeste è il cerchio massimo perpendicolare a questo asse.

Riferimenti che dipendono dalla posizione dell'Osservatore

• Zenit: punto della sfera celeste sopra la testa dell’osservatore.
• Nadir: punto opposto allo zenit, non visibile.
• Meridiano celeste: cerchio massimo che passa per zenit, nadir e poli celesti .
• Orizzonte astronomico: intersezione della sfera celeste con il piano orizzontale del luogo.
• l'intersezione del meridiano celeste con l'orizzonte celeste individua in SUD e NORD mentre l'intersezione dell'orizzonte celeste con l'equatore celeste individua l'EST e l'OVEST 

Eclittica e Punti Equinoziali

L’eclittica è il percorso apparente del Sole durante l’anno. È praticamente il piano dell’orbita della Terra attorno al Sole. Interseca l’equatore celeste nei punti:

• Punto d’Ariete (γ): equinozio di primavera;
• Punto della Bilancia (Ω): equinozio d’autunno.

L’eclittica è inclinata rispetto all’equatore celeste di 23° 26’, valore chiamato obliquità. E' praticamente l'angolo tra l'asse e l'eclittica.

Zodiaco

Attorno all’eclittica si trova la fascia zodiacale, dove si muovono Sole, Luna e pianeti. Oggi il Sole attraversa 13 costellazioni, inclusa l’Ofiuco.

Via Lattea e Coordinate Galattiche

La Via Lattea è un disco galattico: il suo piano definisce l’equatore galattico, visibile come la banda luminosa nel cielo. Da esso derivano le coordinate galattiche, basate su latitudine e longitudine galattica.

IL SISTEMA DI COORDINATE ALTAZIMUTALE

Il sistema di coordinate altazimutale, utilizzato per determinare la posizione di una stella in un preciso istante, prendendo come riferimento l'orizzonte dell'osservatore.

Consideriamo i tre piani fondamentali del sistema:

1) il piano dell'orizzonte astronomico, tangente alla superficie terrestre nel punto in cui si trova l'osservatore; è praticamente il piano individuato dall'orizzonte circolare visibile quando siamo il mare aperto. Il piano dell'orizzonte astronomico è un piano tangente alla Terra nel punto in cui ci troviamo; Per orizzonte astronomico si intende il cerchio che è intersezione tra il piano e la sfera celeste.

2)L'equatore celeste è la proiezione dell'equatore terrestre sulla sfera celeste. 

• 
  
  L' equatore celeste è ottenuto prolungando nello spazio il piano dell'equatore terrestre, perpendicolare all'asse di rotazione della Terra. E' quello perpendicolare all'asse della Terra. E' un piano inclinato rispetto al mio orizzonte di un angolo pari alla mia latitudine. A Venezia è inclinato di circa 45°. In altre parole, più ci si sposta verso i poli, più l’equatore celeste si abbassa sull’orizzonte; all’equatore terrestre, invece, è perpendicolare all’orizzonte.
  
  L'equatore celeste interseca l'orizzonte nei punti Est e Ovest, completando gli elementi necessari per definire il sistema di coordinate altazimutale.
  
  3) il piano meridiano, che passa per l'osservatore, lo zenit e la direzione nord-sud. 
• Come individuare il meridiano locale?
  
  E' sufficiente trovare la posizione del Nord o Sud. Il Sud si determina osservando il Sole quando raggiunge la massima altezza sull'orizzonte (culminazione);In generale tutti gli oggetti celesti raggiungono la massima altezza sull'orizzonte in corrispondenza del  meridiano celeste. Oppure per trovare il meridiano si cerca il Nord che si individua osservando la Stella Polare, che appare quasi immobile nel cielo.
  
  
• La Stella Polare sembra fissa in cielo perché si trova molto vicina al prolungamento dell'asse di rotazione terrestre (circa 41 primi d'arco, meno di 1°), perciò descrive un arco piccolissimo durante la notte. La Stella Polare non è la più brillante del cielo e solo quella più ferma. In realtà la stella più luminosa visibile alle nostre latitudini è Sirio, che è circa 22 volte più luminosa della Stella Polare.
  
  Prendendo come esempio Venezia (latitudine di circa 45° N), si mostra che la Stella Polare appare a circa 45° sopra l'orizzonte nord, evidenziando che la sua altezza sull'orizzonte corrisponde approssimativamente alla latitudine dell'osservatore.
  
  Mentre la Stella Polare compie un movimento quasi impercettibile, tutte le altre stelle descrivono archi di cerchio sempre più grandi attorno al polo celeste a causa della rotazione terrestre.
  
  
  
  Per determinare la posizione di una stella si considerano le coordinate altazimutali che dipendono dalla posizione sulla Terra dell'osservatore.

Considerato un astro nella posizione T della sfera celeste si definiscono le coordinate :

Azimut (A): è l’arco o angolo sul piano dell'orizzonte celeste tra il meridiano celeste e il piano individuato dal cerchio massimo passante per l’astro (T) e lo Zenit; è  misurato in senso orario ed è compreso tra 0° e 360°;

Altezza (h): è l’arco di cerchio verticale compreso fra l’Orizzonte e l‘astro; si conta da 0 a +90° verso lo Zenit e da 0 a -90° verso il Nadir

La Distanza Zenitale z = 90° – h  è la distanza dell’astro dallo Zenit ed è compresa tra 0° e 180°; vale sempre la relazione z + h = 90°.

Nell’emisfero boreale il valore massimo dell’Altezza di un corpo celeste si ha quando, a causa del moto diurno, il corpo transita al meridiano in direzione Sud ( culminazione superiore), il valore minimo dell’Altezza si ha quando il corpo transita al meridiano in direzione Nord (culminazione inferiore).

COME MISURARE L'AZIMUT DEL SOLE

Il metodo per misurare l’azimut del Sole si basa sul fatto che un bastoncino verticale (gnomone), la sua ombra e il Sole, si trovano tutti sullo stesso piano verticale (il piano del cerchio verticale del Sole).

Per ottenere l’azimut basta misurare l’angolo compreso tra la direzione dell’ombra dello gnomone e la linea meridiana.

LUMINOSITA' E FLUSSO LUMINOSO DI UNA STELLA

La luminosità di una stella, indicata con P, è l’energia totale emessa nell’unità di tempo (potenza luminosa P). Se una stella si trova a distanza d, il FLUSSO (INTENSITA') luminoso della stella misurato sulla Terra, indicato con F, è dato dalla relazione:

\( F = \frac{P}{4 \pi d^2} \)

Il flusso luminoso è l' intensità: energia al secondo su unità di superficie. Infatti devo dividere tutta l'energia emessa dalla stella in 1 secondo per la superficie della sfera di raggio d per trovare l'energia su unità di superficie nell'unità di tempo nell'ipotesi che la luce si propaghi in tutte le direzioni in modo uniforme. Infatti alla distanza d dalla stella l'energia si è distribuita sulla superficie di una sfera di raggio d. Per questo il flusso diminuisce con il quadrato della distanza. La situazione è molto simile a quella dell'intensità sonora. Infatti la magnitudine apparente non fornisce informazioni sulla luminosità reale di una stella. Due stelle con la stessa luminosità ma poste a distanze diverse avranno magnitudini apparenti differenti.

Le stelle come corpi neri

Le stelle si comportano, con buona approssimazione, come corpi neri, cioè oggetti ideali che assorbono tutta la radiazione incidente. La loro luminosità è descritta dalla legge di Stefan-Boltzmann:

\( P = 4 \pi R^2 \sigma T^4 \)

dove:  P è la potenza totale emessa dalla stella, cioè la sua luminosità: energia emessa per unità di tempo dall’intera superficie stellare.

• R è il raggio della stella;
• T è la temperatura della fotosfera (in Kelvin);
• σ è la costante di Stefan-Boltzmann.

La luminosità si misura in Watt (W), mentre il flusso si misura in \( \text{W}/\text{m}^2 \).

MAGNITUDO ASSOLUTA E APPARENTE

Magnitudine apparente

La magnitudine apparente è la luminosità con cui una stella ci appare dalla Terra. L’occhio umano percepisce una differenza di una magnitudine quando il rapporto fra la luminosità delle due stelle è pari a 2,5. Questi sono i passaggi matematici: $$ m - m_0 = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right) $$ $$ 1 = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right) $$ $$ \log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right) = \frac{1}{-2.5} $$ $$ \log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right) = -0.4 $$ $$ \frac{F}{F_0} = 10^{-0.4} $$ $$ \frac{F}{F_0} \approx 0.40 $$ Ossia il rapporto tra il più grande e il più piccolo è 1/0,4=2,5 cioè 2,5 di luminosità maggiore. Allo srtesso modo si pò dire che una differenza di 5 magnitudini corrisponde a un fattore 100 in flusso. E' questo che si intende quando si dice che la risposta del nostro occhio è logaritmica e non lineare. Tenendo conto di questo, la formula di Pogson esprime la differenza di magnitudine fra due stelle in funzione del logaritmo del rapporto delle loro luminosità. Questo si esprime scrivendo:

Dove m è la magnitudine apparente e mo è quella di una stella presa di riferimento, F è il flusso luminoso (intensità) della stella. La formula dice che vi è una differenza di una magnitudine se il rapporto dei flussi è di 2,5. Si deve risolvere l'equazioni logaritmica.

In altre parole, la magnitudine apparente indica quanto una stella sembra brillante all’osservatore terrestre in riferimento a una stella fissata .

Magnitudine assoluta

Finora abbiamo parlato di magnitudini di diverso tipo, ma erano tutte magnitudini apparenti, cioè un’espressione di quanto luminosi appaiono gli oggetti celesti osservati dalla Terra. In questo modo, però, non sappiamo quanto la loro luminosità sia intrinsecamente reale e quanto ciò sia invece dovuto alla loro distanza dalla Terra. Per valutare la luminosità intrinseca delle stelle è stata allora introdotta una nuova scala esprimere quella che viene detta magnitudine assoluta. La magnitudine assoluta è la luminosità che una stella avrebbe se fosse posta alla distanza standard di 10 parsec dalla Terra.

La magnitudo è una grandezza adimensionale ed è un numero reale. Per le stelle visibili arriva fino a 6. Il valore 0 di magnitudine è stato fissato per convenzione pari a quello della stella Vega posta a 10 pc. Maggiore è la magnitudine assoluta, più le stelle sono deboli; minore è la magnitudine assoluta, più le stelle sono luminose.

Serve per confrontare in modo oggettivo la luminosità reale delle stelle, eliminando l’effetto della distanza.

Tenendo conto di quanto già detto tra la differenza di magnitudine e rapporti tra i flussi luminosi deve essere definito come segue: $$ m - M = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F(r)}{F(10\,\text{pc})}\right) $$ (*)

F(10parsec) è il flusso che la stella avrebbe se si trovasse alla distanza di 10 parsec.

Tenuto conto che la quantità di energia luminosa generata dalla stella in 1 secondo rimane la stessa solo che si disperde su una superficie sferica di raggio r si ha che il flusso F(r) a una distanza r per la superficie della sfera di raggio r rimane la stessa al variare di r. Si ha:

$$F(r)\,\text{Area}(r) = F(10\,\text{pc})\,\text{Area}(10\,\text{pc})$$

$$ \frac{F(r)}{F(10\,\text{pc})} = \frac{4\pi (10\,\text{pc})^2}{4\pi r^2} $$ sostituendo nella precedente l'espressione (*) che corrisponde al rapporto dei flussi: 

$$ m - M = -2.5 \log_{10}\left(\frac{10\,\text{pc}}{r}\right)^2 $$ $$ m - M = 5 \log_{10}\left(\frac{r}{10\,\text{pc}}\right) $$ $$m - M = 5 \log_{10}(d) - 5$$

dove \(m\) è la magnitudine apparente, \(M\) la magnitudine assoluta e \(d\) la distanza in parsec.

Una stella ha magnitudine apparente che coincide con quella assoluta solo se è posta a una distanza di 10 parsec. Infatti log(10)=1 e risulta m-M=0.

Quindi se:

d = 10 pc → m = M
d > 10 pc → m > M 
d < 10 pc → m < M 

La scala deriva dalla classificazione di Ipparco, che suddivise le stelle visibili a occhio nudo in sei classi di magnitudine apparente: 1ª classe: stelle più luminose — 6ª classe: stelle meno luminose e appena percepibili a occhio.

Magnitudine astronomica: riassunto completo

La magnitudine è il numero che indica quanto un oggetto celeste appare luminoso. La scala è logaritmica e inversa: valori più bassi → oggetti più luminosi; valori più alti → oggetti più deboli. Può assumere anche valori negativi.

La magnitudine apparente (m) misura la luminosità osservata dalla Terra. La magnitudine assoluta (M) è la luminosità che un oggetto avrebbe a 10 parsec.

Pogson definì matematicamente la relazione tra magnitudine e flusso luminoso: 1 magnitudine → fattore 2.512 5 magnitudini → fattore 100

Formula di Pogson

\[ m_1 - m_2 = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F_1}{F_2}\right) \]

\[ m = -2.5 \log_{10}(F) + C \]

dove F è il flusso luminoso e C è una costante scelta in modo che Vega abbia magnitudine zero.

Relazione tra magnitudine e distanza

\[ m - M = 5 \log_{10}(d) - 5 \]

Questa formula permette di determinare la distanza di una sorgente se si conoscono m e M.

MOTO ARMONICO

Un moto si dice oscillatorio quando un corpo si muove avanti e indietro attorno a un punto di equilibrio. Il moto armonico è un particolare moto oscillatorio che può essere definito come:

La proiezione sull’asse x (o y) di un punto P che si muove di moto circolare uniforme di raggio R.

Il punto blu sull’asse x e il punto rosso sull’asse y si muovono quindi di moto armonico. Esempi fisici di moto armonico sono:

• una massa collegata a una molla;
• un pendolo che oscilla per piccoli angoli.

Ampiezza, Periodo e Frequenza

L’ampiezza del moto è la massima distanza dal centro e coincide con il raggio R del moto circolare.

Il periodo T è il tempo necessario per compiere un’oscillazione completa. La frequenza f è il numero di oscillazioni nell’unità di tempo.

Pulsazione

La velocità angolare del moto circolare si chiama pulsazione del moto armonico e si indica con \(\omega\):

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$

Poiché per definizione: $$\omega = \frac{\Delta \alpha}{\Delta t}$$, lo spostamento angolare risulta:

$$\alpha = \omega t$$

Legge Oraria del Moto Armonico

Il vettore posizione del moto armonico è la proiezione sull’asse x del vettore posizione del moto circolare uniforme. Applicando il coseno otteniamo:

$$x = R\cos\alpha$$

Poiché R coincide con l’ampiezza A, la legge oraria diventa:

$$x(t) = A\cos(\omega t)$$

Considerando la proiezione sull’asse y si ottiene:

$$y(t) = Acos(\omega t + \varphi)$$

In generale la legge oraria del moto armonico è:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$

La fase \(\varphi\) dipende dalla posizione iniziale del moto:

• se parte dall’estremo destro: \(\varphi\) = 0$;
• se parte dal centro: \(\varphi\) = \(\frac{\pi}{2}\) .

L’angolo \(\alpha\) è espresso in radianti e rappresenta la posizione angolare del punto nel moto circolare associato.

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Velocità e Accelerazione del Moto Armonico

Velocità del moto armonico

Il vettore velocità del moto armonico è la proiezione sull’asse x del vettore velocità tangenziale del moto circolare uniforme.

La velocità è:

• nulla agli estremi;
• massima al centro, pari a $$v_{\max} = \omega R = \omega A$$.

Dal triangolo PRS si ricava:

$$v_x = v_t \sin\alpha = \omega A \sin(\omega t)$$

Tenendo conto del verso, la legge della velocità è:

$$v(t) = -A\omega \sin(\omega t)$$

Accelerazione del moto armonico

L’accelerazione del moto armonico è la proiezione dell’accelerazione centripeta del moto circolare sull’asse x.

L’accelerazione centripeta vale:

$$a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$$

Proiettandola otteniamo:

$$a(t) = -\omega^2 A \cos(\omega t)$$

Poiché $$x(t) = A\cos(\omega t)$$, segue immediatamente:

$$a(t) = -\omega^2 x(t)$$

Questa relazione è fondamentale: un moto è armonico se e solo se l’accelerazione è proporzionale alla posizione e diretta verso il centro.

• accelerazione massima agli estremi (dove v=0);
• accelerazione nulla al centro (dove v è massima).

La costante è 𝝎² cioè il quadrato della pulsazione. Quindi per dimostrare che un certo moto è armonico e sufficiente mostrare che la sua accelerazione è direttamente proporzionale alla posizione. Inoltre dall'equazione a(t)=- 𝝎²A∙cos(𝝎∙t) possiamo dedurre che l'accelerazione è massima negli estremi dove la velocità è nulla ed è nulla al centro dove la velocità è massima. Il valore massimo dell'accelerazione si ottiene infatti quando il vettore accelerazione centripeta è verticale e la sua proiezione sull'asse y coincide con l'intero vettore.

LEGGE ORARIA

Se il punto parte da una posizione diversa cioè se nell'istante iniziale l'angolo è 𝞅 allora l'equazione diventa più in GENERALE: x(t)=A∙cos(𝝎t+𝞅)

𝞅 si dice FASE INIZIALE.

Esempio: Se il moto  parte dall'estremità sinistra verso destra allora la fase è 180° e cos (𝝎t+180°)=-cos(𝝎t). Se invece parte dal punto O e si muove verso sinistra allora la fase
𝞅=90°.  cos(𝝎t+90°)=sen(𝝎t)

Quindi il moto armonico si può esprimere  anche con la funzione seno se parte dal centro o si considera la proiezione sull'asse y. La legge oraria in funzione del seno è: y=A∙sen(𝝎t+𝞅)

 

 

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LETTURA DEI GRAFICI:

Dal grafico x-t possiamo dedurre l'ampiezza del moto e il suo periodo.

L'ampiezza è il massimo valore di y mentre il periodo è l'ampiezza dell'intervallo tra due picchi consecutivi.

Il moto del SISTEMA MASSA MOLLA (detto oscillatore armonico) è un esempio di moto armonico.

il video della pssc mostra come ricavare il grafico del moto armonico. (ITA)
 

per dimostrare che è un moto armonico devo mostrare che l'accelerazione è proporzionale allo spostamento a=-kx .

Nell'oscillatore armonico la forza che agisce è la forza elastica F=-k∙x dove k è la costante elastica della molla. Applicando la II legge della dinamica F=m∙a si ottiene l'equivalenza ma=-kx e quindi a=-(k/m)∙x . 
L'accelerazione è dunque proporzionale allo spostamento.(cvd) 

Inoltre la costante di proporzionalità è: 𝝎²=(k/m)

Quindi la pulsazione di un oscillatore armonico dipende solo dalla costante elastica della molla e dalla massa applicata. 

E sostituendo 𝝎=2𝝅/T trovo il periodo del moto:

Per aumentare il periodo (e quindi rallentare il moto) bisogna aumentare la massa oppure diminuire la costante della molla.

ANALISI DELL'ENERGIA:

Nel moto armonico dell'oscillatore massa- molla l'energia si conserva. Nell'estremità l'energia totale è data solo dall'energia potenziale : E=U=1/2 k A²

Infatti v=0 e quindi l'energia cinetica è nulla.

Al centro avviene il contrario. L'energia potenziale è nulla mentre l'energia cinetica è massima data da E=1/2 m v²=(1/2)m∙(𝝎∙A)².

Per la legge di conservazione dell'energia si deduce che: 

e quindi 𝝎²=k/m che è vera.

Per dimostrare che l'energia totale si mantiene costante si esegue il seguente calcolo:

 

 

Esercizio:

Osserva il seguente grafico del moto armonico di un corpo.

Dal grafico ricava il valore del periodo T, dell'ampiezza A,la fase e la legge oraria del moto.Ricordando che la velocità in un istante t è uguale alla pendenza della retta tangente nel punto (t,y), ricavare i valori della velocità per t=0s, t=0,5s, t=1s, t=1,5s e t=2s . Disegnare il grafico della velocità.

[y=2cos(𝜋t)]
Esercizio:

ripetere l'esercizio precedente con il seguente grafico:

[T=4s,A=3, fase=𝜋, y=-3cos(𝜋t/2)]
  

 

 

Nel seguente video della pssc si studia il moto di un oscillatore armonico mostrando che ha un moto armonico semplice.

Altro esempio di moto armonico semplice è quello del pendolo:

ogni pendolo ha una lunghezza diversa e quindi un periodo e una frequenza diversa di oscillazione. 

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