CAPACITA' ELETTRICA DI UN CONDUTTORE

Come varia il potenziale del conduttore al variare della carica q fornita?

Si dimostra che il potenziale aumenta in modo direttamente proporzionale all’aumentare della carica q presente sul conduttore. La costante di proporzionalità è la capacità elettrica C:

$C = \frac{q}{V}$

La capacità elettrica è una grandezza scalare e la sua unità di misura è il farad:
$1\,F = 1\,C / 1\,V$

Definizione di capacità elettrica

La capacità elettrica di un 1 farad è la quantità di carica che, aggiunta al conduttore, provoca un aumento di potenziale di 1 volt.

Se la capacità elettrica di un conduttore è molto grande, allora il suo potenziale aumenta lentamente. Se invece il potenziale è elevato, il lavoro necessario per aggiungere ulteriore carica portandola dall'infinito sul conduttore diventa molto grande, perché come è noto:

$L = qV$   (se la carica è portata dall’infinito)

Se pensiamo al conduttore come a un “contenitore di carica”, allora il valore del potenziale misura il livello di saturazione del conduttore. La capacità del conduttore diventa la capacità del “contenitore” di carica.
Maggiore è la capacità elettrica, maggiore sarà la quantità di carica che può contenere.

Analogia

• A parità di altezza h, un recipiente più largo contiene più acqua di uno stretto.
• A parità di differenza di potenziale V, un condensatore con grande capacità C può accumulare più carica di uno con capacità minore.

Se la carica è pensata come un liquido, allora il potenziale rappresenta il livello h raggiunto da questo liquido nel contenitore. In un contenitore con una sezione stretta il livello –potenziale aumenta molto velocemente (bassa capacità). Viceversa, un contenitore con sezione larga rappresenta un conduttore con alta capacità.

Da cosa dipende la capacità di un conduttore?

La capacità elettrica dipende prima di tutto dalle sue caratteristiche geometriche e poi dal mezzo dove è inserito il conduttore .

Capacità elettrica di una sfera conduttrice

Il potenziale di una sfera conduttrice di raggio R è:

$V = k \frac{q}{R}$

Da questa relazione si ricava la capacità elettrica:

$C = \frac{q}{V} = \frac{q}{\frac{kq}{R}} = 4 \pi \varepsilon R$

$C = 4 \pi \varepsilon R$

La capacità C è quindi direttamente proporzionale al raggio R della sfera.

Come possiamo aumentare la capacità elettrica di un conduttore? Un metodo consiste nel porre vicino un secondo conduttore: in questo modo diminuisce la capacità. Il sistema così ottenuto è detto condensatore elettrico.

Quando si avvicina un secondo conduttore, le cariche presenti su di esso si ridistribuiscono per induzione: sulla faccia rivolta verso il primo conduttore compaiono cariche di segno opposto, mentre sulla faccia opposta compaiono cariche dello stesso segno.

Le cariche indotte di segno opposto generano un campo che si oppone a quello prodotto dal primo conduttore. Di conseguenza, il campo elettrico risultante attorno al primo conduttore diminuisce.

Poiché il potenziale dipende dall'intensità del campo elettrico, una riduzione del campo comporta una diminuzione del potenziale del conduttore carico.

$C = \frac{q}{V}$

Se il potenziale V diminuisce mentre la carica q rimane la stessa, la capacità C aumenta. In pratica, il secondo conduttore “aiuta” il primo a trattenere più carica riducendo la repulsione elettrica.

Questo è il principio di funzionamento del condensatore: due conduttori vicini permettono di immagazzinare molta più carica rispetto a un conduttore isolato.

Capacità di un condensatore piano

Consideriamo un condensatore formato da due armature piane e parallele, di area A, separate da una distanza d. Le due armature portano cariche uguali e opposte +Q e -Q. Tra le armature si crea un campo elettrico uniforme.

$V = E \cdot d$

Il campo elettrico tra le armature vale:

$E = \frac{Q}{A} \cdot \frac{1}{\varepsilon}$

Sostituendo nella definizione di capacità si ottiene:

$C = \frac{Q}{V} = \varepsilon \frac{A}{d}$

La capacità di un condensatore piano è quindi direttamente proporzionale alla superficie delle armature e inversamente proporzionale alla loro distanza.

Il dielettrico e l’aumento della capacità

Per aumentare la capacità di un condensatore si possono avvicinare le due armature oppure inserire tra esse un materiale isolante chiamato dielettrico.

In un materiale isolante le cariche non sono libere di muoversi, ma le sue molecole possono essere schematizzate come piccoli dipoli elettrici. In condizioni normali questi dipoli sono orientati in modo casuale.

Quando il dielettrico viene inserito tra le armature del condensatore, il campo elettrico presente induce un orientamento dei dipoli secondo le linee di campo. I dipoli vicini all’armatura positiva mostrano la loro carica negativa, mentre quelli vicini all’armatura negativa mostrano la loro carica positiva. I campi elettrici dei dipoli hanno verso contrario al campo E del condensatore e si sommano tra loro.

L'effetto è di ridurre il campo elettrico complessivo tra le armature. Se diminuisce l campo elettrico tra le armature allora diminuisce il potenziale essendo V=Ed. Poiché la capacità è definita come:

$C = \frac{q}{V}$

una diminuzione del potenziale V comporta un aumento della capacità C.

$C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}$

La presenza del dielettrico aumenta quindi la capacità del condensatore di un fattore pari alla costante dielettrica relativa ϵ_r del materiale. ϵ_r è adimensionale e si può anche definire come il rapporto tra il campo elettrico generato nel condensatore senza dielettrico e il campo elettrico generato con dielettrico.

applet: funzionamento del condensatore: clicca qui

Energia immagazzinata nel condensatore

L’energia del campo elettrico generato da un condensatore è uguale al lavoro necessario per caricarlo. Per trasferire carica da un’armatura all’altra occorre compiere lavoro. Se il potenziale rimanesse costante, il lavoro sarebbe L = qV. 

In realtà il potenziale aumenta proporzionalmente alla carica accumulata, quindi il lavoro totale si ottiene come area sotto il grafico V(q).

$U = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}CV^2$

Nel caso di un condensatore piano, usando le espressioni del campo elettrico, si ottiene:

$U = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 A d$

L’energia è quindi proporzionale al quadrato del campo elettrico. La densità di energia, cioè l’energia per unità di volume, risulta:

$\mu = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$

Esperimenti:

come costruire un condensatore

condensatore variabile

APPLICAZIONE DEI CONDENSATORI:

primi condensatori: le bottiglie di Leida

video sul funzionamento della bottiglia di Leida

costruzione di un condensatore con materiale povero

Defibrillatore

 FLASH

condensatori elettrolitici

POTENZIALE ELETTRICO

POTENZIALE ELETTRICO

Il potenziale elettrico in un punto P si definisce come:

V = U / q

dove U è l'energia potenziale elettrica della carica di prova q. Il potenziale è una grandezza scalare e dipende solo dalla posizione del  punto P nel campo elettrico.

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Lavoro del campo elettrico e differenza di potenziale

Quando una carica q si sposta da A a B, l'energia potenziale cambia:

ΔU = U_B - U_A

Il lavoro compiuto dal campo elettrico è:

L_AB = - ΔU

Poiché U = qV, si ha:

ΔU = q (V_B - V_A) = q ΔV

Quindi:

L_AB = - q ΔV

oppure:

L_AB = q (V_A - V_B)

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Superfici equipotenziali

Una superficie equipotenziale è l'insieme dei punti in cui il potenziale V ha lo stesso valore.

Se una carica si muove da A a B sulla stessa superficie equipotenziale:

V_A = V_B → ΔV = 0

Allora:

L_AB = - q ΔV = 0

Quindi il lavoro del campo elettrico lungo una superficie equipotenziale è nullo.

Le linee equipotenziali sono analoghe alle linee di livello delle cartine topografiche e danno una idea di come agiscono le forze punto per punto. Ogni linea è formata da punti che hanno lo stesso livello. Dove le linee sono più addensate maggiore è il dislivello e maggiore la componente della forza peso che agisce su una massa. Allo stesso modo la forza elettrica su una carica positiva posta in un certo punto sarà maggiore se in quel punto le linee sono ravvicinate. La forza è diretta dal potenziale maggiore a quello minore. 

Ad esempio nel caso del campo generato da una carica puntiforme le linee equipotenziali come vedremo sono circonferenze concentriche. Ci possiamo immaginare una "collina di potenziale" come nell'immagine. Posta una carica positiva in un certo punto questa carica verrà spinta versa l'esterno dalle forze del campo. Se la carica Q è negativa possiamo pensare a una "conca". La carica q positiva posta in un punto tende a cadere dentro avvicinandosi alla carica generatrice.

Vale questa importante proprietà: PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE Il potenziale in un punto è la somma algebrica dei potenziali dovuti alle singole cariche presenti.

Perpendicolarità tra campo elettrico e superfici equipotenziali

Consideriamo uno spostamento finito Δs lungo una linea equipotenziale. La variazione di potenziale lungo questo spostamento è ΔV= 0. Allora il lavoro fatto dalle forze del campo per spostare una carica q lungo una linea equipotenziale è 0:

L=qΔV =0

Ma il lavoro è dato anche da L=FΔx è questo risulta nullo solo se la F è perpendicolare allo spostamento.

Questo significa che le linee equipotenziali sono perpendicolari in ogni punto  al  campo elettrico .

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CAMPO ELETTRICO RADIALE GENERATO DA UNA CARICA PUNTIFORME Q

Campo elettrico

A distanza r da una carica puntiforme Q, il modulo del campo elettrico è:

E = k Q / r²

Potenziale 

V(r) =U/q=k Q / r

Superfici equipotenziali

Poiché V dipende solo da r, tutte le posizioni con lo stesso r hanno lo stesso potenziale. Le superfici equipotenziali sono quindi sfere concentriche con centro nella carica.

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Campo elettrico uniforme

Consideriamo un campo elettrico uniforme diretto lungo l'asse x. La variazione di potenziale tra due punti A e B distanti Δx è:

ΔV = V_B - V_A = - E Δx

Se scegliamo come riferimento V = 0 in x = 0, allora:

V(x) = - E x

In un campo uniforme, le superfici equipotenziali sono piani perpendicolari alle linee di campo e quindi paralleli tra loro.

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SFERA CONDUTTRICE DI RAGGIO R E CARICA Q

Campo elettrico interno

In un conduttore in equilibrio elettrostatico, il campo elettrico all'interno è nullo:

E = 0 per r < R

Campo elettrico esterno (x legge di Gauss)

Consideriamo una superficie sferica immaginaria di raggio r > R, concentrica con la sfera conduttrice. Per simmetria:

• il campo elettrico è radiale;
• ha lo stesso valore in ogni punto della superficie;
• l'area della superficie è 4 π r².

Il flusso del campo elettrico attraverso questa superficie è:

Φ_E = E · 4 π r²

La legge di Gauss afferma:

Φ_E = Q / ε₀

Quindi:

E · 4 π r² = Q / ε₀

E = (1 / (4 π ε₀)) · Q / r² = k Q / r²

Potenziale esterno

All'esterno, la sfera si comporta come una carica puntiforme Q concentrata nel centro, quindi:

V(r) = k Q / r     per r ≥ R

Potenziale interno

All'interno del conduttore il campo è nullo, quindi non ci sono variazioni di potenziale:

ΔV = 0

Il potenziale è costante e uguale al valore sulla superficie:

V(r) = V(R) = k Q / R     per r ≤ R

La superficie del conduttore è quindi una superficie equipotenziale.

Energia potenziale di una carica esterna

Una carica q posta a distanza r dalla sfera ha energia potenziale:

U = q V(r) = k Q q / r

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IL CAMPO ELETTRICO E LINEE DI FORZA

La forza elettrica e l’idea di campo

La forza elettrica, analogamente alla forza gravitazionale, è una forza che agisce a distanza. Questo solleva una domanda fondamentale: come può una carica risentire della presenza di un’altra carica posta lontano, senza alcun contatto diretto? L’interazione è istantanea oppure si propaga con una velocità finita?

Newton non propose un meccanismo per spiegare l’azione a distanza e considerò l’interazione come istantanea. Con Faraday nasce invece un’idea rivoluzionaria: una carica elettrica modifica lo spazio circostante, creando una regione in cui altre cariche risentono della sua presenza. Questa regione prende il nome di campo elettrico.

Il campo elettrico è una proprietà dello spazio generata da una carica. In ogni punto dello spazio si può associare un vettore campo elettrico che indica direzione, verso e intensità della forza che agirebbe su una carica positiva posta in quel punto.

Per definizione:

\[ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \]

dove \(\vec{F}\) è la forza elettrica esercitata sulla carica di prova \(q\). La carica di prova, detta carica spia, è scelta positiva e sufficientemente piccola da non alterare il campo generato dalle altre cariche.

Il campo generato da una carica puntiforme \(Q\) a distanza \(r\) è:

\[ E = k \frac{Q}{r^2} \]

applet Colorado Phet : campo elettrico

Il campo elettrico obbedisce al principio di sovrapposizione: il campo totale in un punto è la somma vettoriale dei campi prodotti da ciascuna carica.

Linee di forza e visualizzazione del campo

Per rappresentare il campo elettrico si usano le linee di forza:

• la tangente alla linea indica la direzione del campo;
• la freccia indica il verso;
• la densità delle linee è proporzionale all’intensità del campo.

Le linee escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative. Per una carica puntiforme sono radiali.

Sperimentalmente si possono osservare usando semi di lino in olio: in presenza del campo elettrico i semi si polarizzano e si orientano secondo le linee di forza.

Il campo di un dipolo elettrico si ottiene come somma vettoriale dei campi generati dalle due cariche opposte.

Configurazioni particolari di campo elettrico

Superficie piana uniformemente carica

Per una superficie piana con densità superficiale di carica \(\sigma\):

• le linee di forza sono perpendicolari alla superficie;
• sono equidistanti, quindi il campo è uniforme;
• il modulo del campo è:

\[ E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \]

Se la superficie è carica negativamente le linee su uscenti.

Ora consideriamo due superfici uniformemente cariche con uguale carica di segno opposto e una affacciata all'altra. Tale configura si chiama condensatore piano e si può ottenere con due lastre conduttrici . Caricando la prima, la seconda si carica per induzione di segno opposto.

PRIMI ESPERIMENTI DI ELETTROSTATICA

La forza elettrica è quella forza che agisce tra corpi elettrizzati cioè che possiedono la carica. Come possiamo elettrizzare un corpo? 

1)La prima esperienza è quella di strofinare una bacchetta di vetro con un panno di seta oppure una bacchetta di plastica con un panno di pelliccia. Avvicinando la bacchetta a pezzettini di carta questi vengono attirati. Diremo che la bacchetta è elettrizzata. Nello strofinare la bacchetta si strappano cariche dal panno alla bacchetta o viceversa. Al posto dei pezzetti di carta possiamo usare un pendolino elettrostatico .

LA CARICA NON SI CREA MA SI TRASFERISCE

2) Per dimostrare sperimentalmente l’esistenza di due tipi di carica, che chiameremo positiva e negativa, e che cariche dello stesso tipo si respingono mentre cariche di tipo opposto si attraggono, possiamo procedere così: si strofina una bacchetta di plastica e la si pone su un supporto in modo che possa ruotare liberamente; successivamente si avvicinano prima una bacchetta di vetro strofinata e poi un’altra bacchetta di plastica strofinata. Si osserva una forza attrattiva nel primo caso e una forza repulsiva nel secondo.

3)ELETTROSCOPIO:  Un altro modo per verificare che un corpo è elettrizzato consiste nell’utilizzare un elettroscopio. Avvicinando una bacchetta carica al pomello dell’elettroscopio, le due foglioline metalliche si allontanano tra loro, indicando la presenza di carica.

Componenti principali dell'elettroscopio:
Pomello metallico: la parte superiore, che si tocca o si avvicina al corpo carico.
Asta metallica: collega il pomello alle foglioline.
Foglioline metalliche: sottili lamelle (spesso d’oro o alluminio) che possono aprirsi o chiudersi.
Contenitore isolante: protegge dalle correnti d’aria e riduce le dispersioni.
Cosa succede quando avvicini un corpo carico? Quando una bacchetta carica, supponiamo positivamente, viene avvicinata al pomello, le cariche positive nel metallo dell’elettroscopio si ridistribuiscono (fenomeno di induzione elettrostatica) allontanandosi il più possibile dalla bacchetta. 
E quindi  cariche dello stesso segno si accumulano sulle foglioline, che quindi:
si caricano entrambe con lo stesso tipo di carica, si respingono, e si allontanano visibilmente.
L’apertura delle foglioline indica che nell’elettroscopio è presente carica, quindi il corpo avvicinato è elettrizzato.

4)L'ELETTROFORO DI VOLTA: L’elettroforo di Volta è un semplice dispositivo che permette di ottenere ripetutamente cariche elettriche senza dover strofinare ogni volta i materiali.

Com’è fatto l'elettroforo:
Piastra di resina (o ebanite): si carica per strofinio. Disco metallico con manico isolante.
Come funziona?
Si strofina la piastra di resina, che si carica (di solito negativamente). Si appoggia il disco metallico sulla piastra: le cariche nel disco si ridistribuiscono per induzione, ma il disco nel complesso resta neutro. Si tocca il disco con un dito: le cariche dello stesso segno della piastra vengono respinte e scaricate a terra. Sul disco rimane la carica di un solo segno.
Si solleva il disco: ora è carico (di segno opposto alla piastra) e può dare una scintilla o caricare altri oggetti.

4)Il comportamento dei corpi rispetto alla carica elettrica è diverso. In alcuni materiali, come la plastica, la carica rimane localizzata nel punto in cui si è generata: ad esempio, strofinando una bacchetta di plastica, la carica resta nella zona di strofinio. Questi materiali vengono chiamati isolanti.
In altri materiali, invece, la carica può muoversi liberamente, come accade nei metalli: li definiamo conduttori. La carica che si sposta è sempre quella negativa, perché i portatori di carica sono gli elettroni.
Un corpo risulta carico positivamente se è in difetto di elettroni, mentre è carico negativamente se possiede un eccesso di elettroni.

Un possibile esperimento per osservare il diverso comportamento dei conduttori e degli isolanti è il seguente: Si carica per contatto l'elettroscopio. Si pone a contatto una sfera conduttrice scarica. Si osserva l'elettroscopio scaricarsi parzialmente. Ripetendo nuovamente con la sfera conduttrice scarica di continua a scaricare di una porzione uguale a quella precedente. E' come svuotare un recipiente di acqua con un bicchiere vuoto.

5)Un corpo si può elettrizzare nei seguenti modi: a) per strofinio b) per contatto c) per induzione. a)Per strofinio le cariche passano dal panno alla bacchetta. b)Per verificare l'elettrizzazione per contatto carichiamo un pomello con l'elettroforo di Volta e con questo tocchiamo un secondo pomello inizialmente scarico. Per controllare che è carico lo si può avvicinare all'elettroscopio. Oppure possiamo toccare direttamente il pomello dell'elettroscopio e osservare come le foglioline segnalano che questo è rimasto carico. Per scaricare è sufficiente toccare con un dito. Le cariche si disperdono attraverso il nostro corpo. c) Quando si avvicina un corpo carico a un conduttore, le cariche presenti nel conduttore si ridistribuiscono: quelle dello stesso segno del corpo esterno tendono ad allontanarsi il più possibile, mentre quelle di segno opposto si avvicinano. Si crea così una separazione di carica che rende il conduttore temporaneamente elettrizzato per induzione. Questa situazione scompare non appena il corpo carico viene allontanato. Per caricare in modo permanente un conduttore A tramite induzione, si procede così:

Si avvicina un corpo carico B al conduttore A. Le cariche in A si ridistribuiscono: quelle dello stesso segno di B vengono respinte e si accumulano nella parte più lontana.
Si collega A a Terra (messa a massa) mentre B è ancora vicino. Le cariche dello stesso segno di B, respinte verso il punto di contatto, si disperdono nel terreno.
Si interrompe il collegamento a Terra mantenendo ancora vicino il corpo B. A questo punto nel conduttore rimangono solo cariche di segno opposto rispetto a quelle di B.
Si allontana il corpo carico B. Ora il conduttore A rimane carico in modo permanente, con carica di segno opposto a quella del corpo B.

6)Quando carichiamo un conduttore isolato, ad esempio per contatto, la carica trasferita si distribuisce sempre sulla superficie esterna. In un conduttore, infatti, le cariche sono libere di muoversi e tendono ad allontanarsi il più possibile le une dalle altre, disponendosi quindi sulla superficie. All’interno del conduttore non rimane carica, perché il campo elettrico interno deve essere nullo.

Per verificarlo sperimentalmente si utilizzano dei gusci emisferici conduttori che ricoprono una sfera precedentemente caricata. Quando i gusci vengono applicati, la carica presente sulla sfera si ridistribuisce e passa completamente sulla copertura. Al termine dell’esperimento i gusci risultano carichi, mentre la sfera conduttrice interna risulta scarica.

7)Esperimento del pozzetto di Faraday: Serve per dimostrare l'induzione completa cioè quando la carica indotta è uguale alla carica inducente. Si cala una sferetta conduttrice carica nel pozzetto collegato con l'elettroscopio e si osserva la presenza di carica data dalle foglioline che divergono. In questa fase non si deve toccare il pozzetto con la sferetta carica. Successivamente di inserisce fino a toccare il fondo. In questo modo si allontana la carica presente per induzione sulla superficie interna al pozzetto e l'elettroscopio+ pozzetto rimane carico con carica di segno opposto alla sferetta.

8)Potere delle punte

 Dove la superficie è molto curva, le cariche si “ammassano”

Su un conduttore le cariche libere cercano sempre di stare il più lontano possibile le une dalle altre.  

Se la superficie è piatta, hanno molto spazio per distribuirsi.  

Se invece c’è una punta, la superficie disponibile è piccola e molto curva: è come un angolo stretto. In un angolo stretto:

- le cariche hanno meno spazio per separarsi;  

- finiscono per concentrarsi molto di più;  

- la loro "densità locale" aumenta.

È come mettere molte persone che vogliono scappare in un corridoio stretto: si comprimono e la pressione cresce.

La forte concentrazione crea una “spinta” verso l’esterno . Quando tante cariche dello stesso segno sono costrette in poco spazio, la loro repulsione reciproca diventa molto intensa.  

Questa repulsione produce una "spinta verso l’esterno", cioè una tendenza delle cariche a uscire dalla punta.

Più la punta è affilata, più la concentrazione è grande, più la spinta aumenta.

Quando la spinta supera la resistenza dell’aria

L’aria normalmente blocca il passaggio delle cariche: è un isolante.  

Ma se la spinta delle cariche concentrate sulla punta diventa abbastanza forte, l’aria non riesce più a resistere.

Succede allora che:

- alcune molecole d’aria vengono “spezzate”;  

- si formano ioni ed elettroni liberi;  

- l’aria smette di essere isolante e diventa un "mezzo che può trasportare carica".

A quel punto le cariche trovano una via di fuga e nasce la "scarica".

9)Gabbia di Faraday

Una gabbia di Faraday può essere vista come un semplice **coperchio di rete metallica** che circonda un oggetto. Per verificarne l’effetto si usa un elettroscopio posto all’interno della gabbia e un conduttore carico tenuto all’esterno.

Quando il conduttore carico viene avvicinato alla gabbia o addirittura la tocca:

- le cariche presenti sulla rete metallica si ridistribuiscono;  

- questa ridistribuzione rimane confinata solo sulla superficie esterna della gabbia;  

- all’interno non compare alcuna carica.

L’elettroscopio, infatti, non mostra alcuna deviazione delle foglioline, mentre senza la gabbia reagirebbe immediatamente alla presenza del conduttore carico.

In questo modo l’interno della gabbia rimane completamente isolato dalle influenze elettriche esterne.

Per questo motivo si dice che una gabbia metallica "scherma" le azioni elettriche provenienti dall’esterno.

Essere dentro una gabbia di Faraday significa essere protetti da scariche o accumuli di carica esterni. Questo principio è alla base di:

- parafulmini, che convogliano le cariche verso terra evitando che entrino negli edifici;  

- scocche metalliche degli elettrodomestici, che impediscono che cariche o disturbi elettrici raggiungano le parti interne;  

- abitacolo delle automobili, che protegge i passeggeri durante un fulmine.

MOTO DEL PENDOLO

Consideriamo un pendolo di lunghezza l e massa m. Sia 𝜶 l'angolo in radianti che forma con la verticale.  Sia x la lunghezza dell'arco di oscillazione. Risulta 𝜶=x/l.

La forza di richiamo è data dalla componente perpendicolare del peso data da P⟂=mg∙sen𝜶 mentre la componente di P//=mgcos𝜶 parallela al filo è equilibrata dalla tensione della corda.

Applicando la II legge della dinamica F=ma si ottiene: -mg∙sen𝜶=m∙a

a= -g∙sen𝜶

Ricordiamo che un moto è armonico se e solo se l'accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento.

Se consideriamo piccole oscillazioni possiamo sostituire a sen𝜶 l'angolo 𝜶=x/l

Per piccole oscillazioni si ottiene:

a= -(g/l)∙x

Quindi per piccole oscillazioni il moto del pendolo è armonico perchè l'accelerazione è direttamente proporzionale a x. La costante di proporzionalità è -g/l.

Ricordando che in generale in un moto armonico la costante è data da 𝝎² allora possiamo ricavare il periodo del pendolo dato da:

I MIEI LIBRI DIVULGATIVI DI FISICA CHE CONSIGLIO

1) Sette brevi lezioni di fisica .

Autore: Carlo Rovelli

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2) Dal Bing Bang ai buchi neri. 

Autore: Stephen Hawking

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3)Le 5 equazioni che hanno cambiato il mondo. -

Autore: Michael Guillen

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4)L' uomo dal naso d'oro. Tycho Brahe e Giovanni Keplero: la strana coppia che rivoluzionò la scienza -  Manjit Kumar

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Racconta in forma di romanzo storico la nascita della scienza moderna e dell’astronomia, con protagonisti Galilei, Keplero e Tycho Brahe. Ho trovato particolarmente affascinante la figura di Tycho Brahe, con il suo castello‑osservatorio sull’isola danese di Uraniborg e il suo carattere diffidente, soprattutto nei confronti dei suoi collaboratori. Colpisce in particolare il rapporto teso con Keplero, determinato a ottenere i preziosi dati astronomici raccolti da Tycho, gli stessi che gli avrebbero poi permesso di formulare le sue celebri leggi sul moto dei pianeti.

5)Buchi bianchi 

Autore: Carlo Rovelli

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6) La  misura del tempo 

Daniel Kehlmann

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7) Il senso delle cose 

di Richard Feyman

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8) L'ordine del tempo 

di Carlo Rovelli

9) L'incredibile cena dei fisici quantistici

di Gabriella Greison

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10) La fisica dei supereroi 

James kakalios

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11) Le mie invenzioni. L'autobiografia di un genio. Nikola Tesla

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12)La particella mancante. Vita e mistero di Ettore Majorana, genio della fisica -

di João Magueijo 

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Racconta la vita di Ettore Majorana come un romanzo avvincente, capace di intrecciare il fulgore del suo genio, le asperità del suo carattere e l’enigma insondabile della sua scomparsa. Le pagine scorrono rapide, trascinando il lettore dentro la mente di uno dei fisici più misteriosi del Novecento, fino a un finale che lascia senza fiato e con il desiderio di ricominciare da capo.

13)Quantum  di Manjit Kumar

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Questo libro ricostruisce con rigore storico e scientifico la nascita e l’evoluzione della fisica quantistica. È estremamente interessante perché mostra come le idee siano maturate attraverso il confronto tra grandi scienziati e come siano state influenzate dal contesto socio‑politico dell’epoca, segnato dalle due guerre mondiali. Si comprende così non solo lo sviluppo della disciplina, ma anche l’intreccio profondo tra ricerca, personalità e storia.