MOTO ARMONICO

Moto Armonico e Moto Circolare Uniforme

Un moto si dice oscillatorio quando un corpo si muove avanti e indietro attorno a un punto di equilibrio. Il moto armonico è un particolare moto oscillatorio che può essere definito come:

La proiezione sull’asse x (o y) di un punto P che si muove di moto circolare uniforme di raggio R.

Il punto blu sull’asse x e il punto rosso sull’asse y si muovono quindi di moto armonico. Esempi fisici di moto armonico sono:

• una massa collegata a una molla;
• un pendolo che oscilla per piccoli angoli.

Ampiezza, Periodo e Frequenza

L’ampiezza del moto è la massima distanza dal centro e coincide con il raggio $R$ del moto circolare.

Il periodo $T$ è il tempo necessario per compiere un’oscillazione completa. La frequenza $f$ è il numero di oscillazioni nell’unità di tempo.

Pulsazione

La velocità angolare del moto circolare si chiama pulsazione del moto armonico e si indica con $\omega$:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$

Poiché per definizione $\omega = \frac{\Delta \alpha}{\Delta t}$, lo spostamento angolare risulta:

$$\alpha = \omega t$$

Legge Oraria del Moto Armonico

Il vettore posizione del moto armonico è la proiezione sull’asse x del vettore posizione del moto circolare uniforme. Applicando il coseno otteniamo:

$$x = R\cos\alpha$$

Poiché $R$ coincide con l’ampiezza $A$, la legge oraria diventa:

$$x(t) = A\cos(\omega t)$$

Considerando la proiezione sull’asse y si ottiene:

$$y(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$

In generale la legge oraria del moto armonico è:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$

La fase $\varphi$ dipende dalla posizione iniziale del moto:

• se parte dall’estremo destro: $\varphi = 0$;
• se parte dal centro: $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

L’angolo $\alpha$ è espresso in radianti e rappresenta la posizione angolare del punto nel moto circolare associato.

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Velocità e Accelerazione del Moto Armonico

Velocità del moto armonico

Il vettore velocità del moto armonico è la proiezione sull’asse x del vettore velocità tangenziale del moto circolare uniforme.

La velocità è:

• nulla agli estremi;
• massima al centro, pari a $v_{\max} = \omega R = \omega A$.

Dal triangolo PRS si ricava:

$$v_x = v_t \sin\alpha = \omega A \sin(\omega t)$$

Tenendo conto del verso, la legge della velocità è:

$$v(t) = -A\omega \sin(\omega t)$$

Accelerazione del moto armonico

L’accelerazione del moto armonico è la proiezione dell’accelerazione centripeta del moto circolare sull’asse x.

L’accelerazione centripeta vale:

$$a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$$

Proiettandola otteniamo:

$$a(t) = -\omega^2 A \cos(\omega t)$$

Poiché $x(t) = A\cos(\omega t)$, segue immediatamente:

$$a(t) = -\omega^2 x(t)$$

Questa relazione è fondamentale: un moto è armonico se e solo se l’accelerazione è proporzionale alla posizione e diretta verso il centro.

• accelerazione massima agli estremi (dove $v=0$);
• accelerazione nulla al centro (dove $v$ è massima).