PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE

Nella fisica classica è possibile descrivere un oggetto, in modo completo, con la sua posizione e la sua quantità di moto (determinismo). Ma come noto le onde non sono localizzate nello spazio. Come conciliare la doppia natura ondulatoria e corpuscolare della luce e della materia? Come già osservato nell'esperimento d'interferenza degli elettroni (esperimento della doppia fenditura di Young eseguito con un elettrone alla volta) non è possibile prevedere l'esatta posizione di impatto dell'elettrone sullo schermo. Gli elettroni arrivano sullo schermo in modo casuale. Ogni volta che si ripete l'esperimento, l'elettrone cambia punto di arrivo. Questa incertezza è dovuta alla natura ondulatoria della materia. Possiamo dire che non si tratta di un fenomeno deterministico (come quelli della fisica classica) ma è probabilistico.


CALCOLO DELL'INCERTEZZA:

Consideriamo un fascio di elettroni che si muove lungo l'asse y e attraversa una singola fenditura di larghezza d. Sullo schermo viene a formarsi una figura di diffrazione con un massimo centrale dove è più probabile che arrivi l'elettrone. Se l'angolo 𝞱 esprime la posizione del primo minimo e quindi anche la larghezza del massimo centrale come è noto risulta che sen𝞱=𝞴/d (vedi qui)

Se gli elettroni si muovono con quantità di moto py allora la lunghezza d'onda associata è 𝞴=h/py .
Quando gli elettroni passano per la fenditura di larghezza d l'incertezza della loro posizione sull'asse x è 𝝙x=d.
Dopo aver attraversato la fenditura, però , il fascio si allarga per formare la figura di diffrazione e la quantità di moto di alcuni elettroni acquista una componente x dovuta alla deviazione subita.
Adesso abbiamo un'incertezza 𝝙px sulla componente x della quantità di moto dell'elettrone.
Se si vuole diminuire l'incertezza 𝝙x sulla posizione bisogna diminuire la larghezza della fenditura ma in tal caso aumenta l'angolo 𝞱 e conseguentemente aumenta l'incertezza
𝝙px sulla quantità di moto. Se si aumenta la larghezza della fenditura aumenta per diminuire l'incertezza 𝝙px conseguentemente aumenta l'incertezza sulla posizione
𝝙x.
La particella con lunghezza d'onda 𝞴=h/py ha un comportamento ondulatorio e viene DIFFRATTO con angolo dato da:

Ma l'angolo 𝞱 si esprime anche come rapporto :

per angoli molto piccoli si ha: 

Quindi il prodotto delle incertezze sulla posizione e sulla quantità di moto non può essere inferiore di una certa quantità che è circa la costante di Planck su 4𝝅.

videolezione  Politecnico Torino

Da una trattazione più rigorosa si ricava il seguente principio:

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE : in una misura simultanea lungo l'asse x, le indeterminazione di posizione e di quantità di moto della particella sono legate dalla relazione:



quindi se si diminuisce l'indeterminazione della posizione aumenta quella della quantità di moto e viceversa se diminuisce l'indeterminazione della quantità di moto aumenta quella della posizione.

Nel 1927 Werner Heisenberg scopre che la natura ondulatoria della materia poneva un problema della determinazione della posizione. Come poter localizzare un'onda? Per poter localizzare una particella bisogna interagire con essa. Di solito si usa la luce che interagendo (ad esempio riflettendosi) mostra la posizione della particella con un'incertezza che dipende dalla sua lunghezza d'onda. Per osservare una particella con dimensioni d serve una lunghezza d'onda più piccola di d.
 
Come visto nell'effetto Compton, nell'interazione con il fotone, la particella subisce una variazione della quantità di moto.

Se vogliamo migliorare la precisione della posizione dobbiamo diminuire la lunghezza d'onda e quindi aumentare la frequenza ma questo equivale ad aumentare l'energia e quindi la quantità di moto del fotone incidente ( p=hf/c ) con una conseguente variazione della quantità di moto della particella.

NB: l'indeterminazione di Heisenberg NON E' UN ERRORE di misura e non è dovuta ai limiti tecnici dello strumento di misura, ma afferma UN PRINCIPIO DI NATURA dovuto al comportamento ondulatorio della materia: non possiamo mai conoscere contemporaneamente e in modo preciso quantità di moto e posizione di una particella nello stesso istante e questo indipendentemente dalla precisione del nostro strumento. 

Per migliorare la precisione della posizione di una particella serve una luce con bassa lunghezza d'onda mentre per migliorare la precisione della sua velocità (quantità di moto) serve luce con bassa frequenza ( e quindi alta lunghezza d'onda) per non modificarla per effetto Compton.

 da Superquark spiega il principio di indeterminazione con cartoni animati