RELATIVITA': CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE

Consideriamo due sistemi inerziali S e S' con S' che si muove a velocità v rispetto a S. Per facilità pensiamo a S come una stazione ed S' come il treno.

Consideriamo due punti A e B in quiete rispetto al sistema S. Per capire più facilmente la situazione pensiamo a due paletti posti in corrispondenza ai due punti A e B. La distanza Lₒ=AB misurata da S è data da |xA-xB| ed è detta lunghezza propria. 

La LUNGHEZZA PROPRIA è per definizione la distanza misurata tra due punti  in quiete rispetto al sistema di riferimento.
Consideriamo un riferimento T nel sistema S'. Sia:

tA =istante misurato da S con T allineato da A

tB=istante misurato da S con T allineato da B

t'A=istante misurato da S' con T allineato da A

t'B=istante misurato da S' con T allineato da B

S misura il tempo che il punto T impiega a passare dalla posizione A a quella B: 𝛥𝙩=tA-tB

e risulta : Lₒ=v𝛥𝙩

S' misura il tempo che il tempo impiegato da T per passare dalla posizione A a quella B è: 𝛥𝙩'=t'A-t'B. Questo è un TEMPO PROPRIO perché è il tempo tra due eventi che si verificano nello stesso punto rispetto al sistema S'. Per S' la lunghezza è data da L'=v𝛥𝙩'

Ma per la dilatazione dei tempi il tempo misurato da s è dilatato: 𝛥𝙩=𝛾𝛥𝙩' e quindi quello proprio di s' è : 𝛥𝙩'=𝛥𝙩/𝛾.

Sostituendo si ottiene:

L'=v𝛥𝙩/𝛾=Lₒ/𝛾 cioè L'=Lₒ/𝛾

Quindi la lunghezza propria misurata rispetto al sistema in quiete è quella più grande mentre le altre sono contratte di 𝛾≥1.

La contrazione delle lunghezze si verifica solo nella direzione del moto.

ESEMPIO:

Consideriamo questo esempio : L'astronauta Albert parte per la stella Vega distante 25,3 anni luce lasciando il gemello Bart sulla Terra. 

Albert viaggia a una velocità v=0,9c. 
Per Bart che è sulla Terra il viaggio è durato 𝞓t= 25,3c/0,9c=28,1 anni che è un tempo dilatato (non proprio) perchè per lui la partenza e l'arrivo avvengono in luoghi diversi. L'astronave è come il sistema treno S' visto sopra e la Terra e Vega sono i due paletti A e B.   Però per Bart sulla Terra la distanza è propria Lₒ perchè Terra e Vega sono in quiete rispetto a lui. 
Per Albert che è nella navicella, la durata del viaggio è un tempo proprio. Infatti Albert misura la durata del tempo tra  due eventi che avvengono sempre nello stesso punto (sono sempre  in quiete con lui): la partenza e l'arrivo. Dunque per lui il viaggio dura:
𝞓tₒ=𝞓t/𝜸=28,1/2,29=12,3 anni.
Albert e Bart sono d'accordo solo sul valore della velocità relativa v (spazio/tempo). Quindi per Albert è v=L/𝞓tₒ mentre per Bart la distanza è v=Lₒ/𝞓t.
Quindi :
Lₒ/𝞓t=L/𝞓tₒ e risulta che L=Lₒ∙𝞓t/𝞓tₒ=Lₒ/𝜸  . 
L si dice lunghezza contratta perchè 𝜸 è maggiore di 1 e quindi L>L₀.

CON LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ:

Consideriamo una BARRA di lunghezza L₀ posta lungo la direzione dell'asse delle x e con una estremità in O, in quiete rispetto ad un sistema S' che si muove con velocità relativa v nella direzione dell'asse x rispetto ad un sistema S. 
Ogni osservatore misura la stessa velocità relativa v. 
Dunque per ipotesi le coordinate degli estremi della barra in S' sono:
x'1=0 e x'2=Lo
Quanto vale la lunghezza L misurata da un osservatore posto in S?
L è la distanza delle coordinate degli estremi della barra x1 e x2 prese al tempo t: L=x2-x1
usando le trasformazioni di Lorentz:

Quindi per un osservatore in moto rispetto alla barra la sua lunghezza risulta inferiore rispetto alla lunghezza propria misurata dall'osservatore in quiete rispetto alla barra:

applet: clicca qui

Paradosso del treno di Einstein

lezione app Zanichelli su contrazione della lunghezza

videolezione : contrazione lunghezze

POSTULATI DELLA RELATIVITA SPECIALE

Il fallimento dell'esperimento di Michelson Morley dimostra che:
1)L'etere non esiste.
2)La misura della velocità della luce dà lo stesso risultato anche se eseguito in sistemi inerziali diversi. 
Quest'ultima conseguenza è in contrasto con le trasformazioni Galileiane e in particolare con il noto principio di composizione delle velocità.
Se ad esempio ci muoviamo con velocità v e misuriamo la velocità di un raggio di luce che ci viene incontro con velocità c, il risultato non è c+v ma sempre c. 
Cosa  è sbagliato della fisica classica? Il principio di relatività  non vale per le leggi dell'elettromagnetismo? Oppure è sbagliato il modo di passare da un sistema inerziale all'altro? 
Einstein capì per primo che l'errore stava nel concetto di tempo pensato come ASSOLUTO cioè  uguale per tutti gli osservatori inerziali. Passando dal tempo assoluto a quello relativo è necessario correggere le trasformazioni galileiane, la legge di composizione delle velocità e la dinamica.

I POSTULATI DELLA RELATIVITA': 1) Le leggi della dinamica e dell'elettromagnetismo sono le stesse in tutti i sistemi inerziali ( principio di relatività). 2) la velocità della luce ha lo stesso valore in tutti i sistemi inerziali e non dipende dalla velocità del sistema.

Il seguente video (tratto dalla trasmissione Superquark) spiega i postulati e il passaggio dalla fisica classica alla fisica relativistica e le conseguenze dei postulati.

CONSEGUENZE:
1)DILATAZIONE DEL TEMPO
2)CONTRAZIONI DELLE LUNGHEZZE
3)RELATIVITA' DELLA SIMULTANEITA' DEGLI EVENTI 

Una prima conseguenza del postulato della velocità della luce è la DILATAZIONE DEL TEMPO. La misura del tempo di un orologio posto in un sistema inerziale in moto rispetto a noi a una velocità vicina a quella della luce appare a noi scorrere lentamente.

Il seguente video spiega in modo semplice con animazioni il funzionamento dell'OROLOGIO A LUCE e la dilatazione del tempo. (ING)

ENTROPIA e TERZO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

 

L'entropia di un sistema è una grandezza fisica che misura il  DISORDINE del sistema.

ESEMPIO1: un mazzo di carte nuovo ha minima entropia perché ordinato mentre ha maggiore entropia quando viene mescolato.
 

ESEMPIO 2: un mucchio di mattoni ha maggiore entropia rispetto agli stessi mattoni che formano un muro.
 

ESEMPIO 3: il ghiaccio ha minore entropia rispetto all'acqua perché nel ghiaccio le molecole sono "ordinate".

ESEMPIO4: l'aria contenuta in un palloncino ha minore entropia rispetto alla stessa aria che si espande se il palloncino viene bucato.

Esistono due modi per definire l'Entropia:

1)Definizione macroscopica: descrive la variazione di entropia del sistema in termini di quantità di calore richiesta per innalzare la temperatura del sistema di un grado Kelvin.

In una macchina termica reversibile (ciclo di Carnot) che lavora con due sorgenti di temperatura,  il rapporto tra il calore ceduto alla sorgente fredda e il calore assorbito dalla sorgente calda è uguale al rapporto tra le temperature assolute delle due sorgenti :

quindi risulta:

Il rapporto tra il calore scambiato e la temperatura della sorgente con la quale avviene lo scambio rimane costante.

Possiamo sfruttare questa proprietà per definire una nuova grandezza fisica che dipende dallo stato termodinamico. 

Fissata una determinata trasformazione termodinamica reversibile dallo stato A allo stato B che scambia calore Q con una sorgente T definiamo La VARIAZIONE infinitesima di entropia: dS=dQ/T  dove dQ è il calore scambiato nella trasformazione reversibile con la sorgente a temperatura costante T. Se la trasformazione avviene a temperatura costante possiamo scrivere semplicemente 𝞓S=Q/T altrimenti per calcolare la variazione di entropia bisogna integrare :

Nel SI l'entropia si misura in joule su kelvin (J/K).
Osserviamo che la definizione è valida per una trasformazione reversibile con calore trasferito ad una temperatura T costante espressa in Kelvin.
Se il calore è assorbito Q>0 la variazione di entropia è positiva e l'entropia aumenta. Se il calore è ceduto l'entropia diminuisce. 

Si può dimostrare che la variazione di entropia  dipende soltanto dallo stato iniziale e finale del sistema e non dalla trasformazione effettuata per passare da uno stato all'altro.
Ne consegue che l'entropia è una FUNZIONE DI STATO, esattamente come l'energia interna.

la video lezione dimostra che l'entropia è funzione di stato. Calcola anche la variazione di entropia di una trasformazione isoterma

In altre parole, l'entropia dipende solo dallo stato del sistema e non da come il sistema ha raggiunto quello stato. 

NB: Se una trasformazione è IRREVERSIBILE, per cui non vale la relazione Q/T, possiamo ugualmente calcolare la variazione di entropia  utilizzando una o più trasformazioni reversibili che collegano gli stessi stati iniziale e finale. 

TERZA LEGGE DELLA TERMODINAMICA: Una qualunque trasformazione irreversibile (quelle naturali) in un sistema isolato aumenta l'entropia del sistema. 

Poiché l’universo può essere considerato un sistema isolato, l’entropia totale dell’universo cresce nel tempo, portando a un aumento generale del disordine.

Esempio pratico: Se mescoli latte e caffè, non potrai più separarli spontaneamente: la loro entropia è aumentata e la trasformazione è irreversibile.

ESEMPIO : Consideriamo un cubetto di ghiaccio di  massa m che fonde a 0 °C. Per fondere deve assorbire un calore Q=Lm dove L è il calore latente di fusione (calore necessario per fondere 1kg di ghiaccio a 0°C)
Allora la variazione di entropia è data da Lm/T dove T=273K
ed è positiva . Allora l'entropia è aumentata.

 

Il calore non è tutto uguale. Calore ad alta temperatura è molto più pregiato del calore a bassa temperatura. Questo perché il calore fluisce spontaneamente dai corpi caldi ai corpi freddi producendo lavoro. Maggiore è il dislivello termico  maggiore è il lavoro prodotto dal calore. Con una analogia il calore è l'acqua di una cascata e la differenza di temperatura è il dislivello del salto .

2)DEFINIZIONE MICROSCOPICA probabilistica:
L'entropia viene definita come misura logaritmica della probabilità dello stato del sistema. 
S=k∙ln(C(n)) 
dove k è la costante di Boltzmann e C(n) è il numero di microstati favorevoli corrispondenti al macrostato considerato. (la probabilità p è proporzionale a C(n) perchè )

Ad esempio consideriamo  n=6 molecole poste di due contenitori comunicanti. Le molecole hanno la stessa probabilità di trovarsi nei due contenitori. Sia N1 il numero di molecole a destra e N2 il numero di molecole a sinistra.

p=n°casi favorevoli/n° casi possibili

Il n° di casi possibili è 2^6=64

Calcoliamo il numero di casi favorevoli ad ogni stato :

Ad esempio per calcolare quando N1=2 e N2=4 basta calcolare tutti i modi di scegliere 2 molecole su 6 da porre a destra con il coefficiente binomiale C(6,2)=15

Se il sistema parte da uno stato con minima probabilità corrispondente a quello con tutte le molecole dalla stessa parte  (N1=0, N2=6) allora evolve a stati con maggiore probabilità e maggiore entropia. Lo stato con massima probabilità e massimo entropia corrisponde a quello di una uniforme distribuzione delle molecole. Il questo caso lo stato iniziale si verifica in un solo modo mentre quello finale in 20 modi.

Se ora consideriamo N=100 abbiamo C(0)=1 mentre C(50)=C(100,50)=10^29. E' molto più probabile trovare le molecole uniformemente distribuite . Tenendo conto che le molecole in una stanza sono molte di più si capisce perchè non si verificano mai quei casi di molecole addensati da una sola parte.

 

L'aumento di entropia nei fenomeni naturali determina la freccia del tempo:

videolezione su entropia come misura del disordine

FLUIDODINAMICA

Per rappresentare il moto di un fluido, ad ogni  punto è associato un vettore che descrive la velocità degli elementi di fluido che istante per istante passano per quel punto .
Il fluido si dice STAZIONARIO se i vettori sono costanti nel tempo.

Per una rappresentazione più efficace si introducono le cosiddette linee di flusso, che sono linee tangenti in ogni punto al vettore velocità associato a quel punto in un dato istante.

La velocità del fluido è maggiore dove le linee sono più fitte. La velocità in un punto è proporzionale al numero di linee per unità di superficie. 
Le linee di flusso non si possono intersecare altrimenti avrei un punto con due velocità diverse del fluido. 
Un TUBO DI FLUSSO è l'insieme delle linee di flusso che attraversano una data superficie. Le linee di flusso non possono uscire dal tubo di flusso perchè andrebbero ad intersecare altre linee.

Quindi in condizioni di moto stazionario non vi può essere fuoriuscita di fluido dal tubo.

La quantità di fluido che attraversa nell’unità di tempo una sezione di un certo tubo di flusso è la stessa in qualunque punto del tubo ed è detta PORTATA e si musura in kg/s o in m³/s se il fluido è incomprimibile.

Per un fluido stazionario la portata è data dal prodotto della sezione per la velocità. 

Infatti il volume del fluido che attraversa la sezione A è data da:

 e quindi:

Come già osservato la portata è la stessa in tutte le sezioni. Quindi in tutti i punti del tubo vale:

Ossia:

se la sezione diminuisce allora deve aumentare la velocità del fluido.

 

 

Un classico esempio è quello del rubinetto aperto: l'acqua cade con moto accelerato e quindi aumenta la sua velocità. Il tubo di flusso si restringe sempre di più. Se v cresce - A diminuisce. Vedi l'immagine sotto.

In un tubo orizzontale con fluido stazionario  e sezione costante il moto  è rettilineo uniforme. Allora ogni elemento di fluido è sottoposto ad una forza di pressione nulla. Di conseguenza ogni punto del tubo è sottoposto alla stessa pressione.

Se invece la sezione è variabile la risultante delle forze di pressione non è più nulla e vi è una variazione di pressione.

Sul fluido compreso tra A₁ e A₂ agiscono le forze F₁=p₁A₁ e F₂=p₂A₂

Il lavoro fatto da tali forze è:

ma per l'equazione di continuità :

e quindi:

Ma il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica del fluido:

Dove con la lettera 𝛒 (ro) indichiamo la densità del fluido. Semplificando si ha: 

In un tubo orizzontale in cui scorre un fluido perfetto, la pressione è maggiore là dove è più lento il fluido e quindi dove è grande la sezione del tubo.

Se il tubo non è orizzontale bisogna prendere in considerazione anche l'energia potenziale gravitazionale e si ottiene la LEGGE DI BERNOULLI (legge di conservazione dell'energia per i fluidi) (EFFETTO VENTURI)

data dall'equazione:

lezione su legge di Bernoulli

 

 

applet per lo studio della Legge di Bernoulli 

 

 

 simulazione con Geogebra

Questa legge potrebbe spiegare il fenomeno della PORTANZA delle ali di un aereo. Secondo il Teorema di Bernoulli : più veloce è un gas minore è la sua pressione. La forma delle ali di un aereo è tale da rendere più veloce lo scorrimento dell'aria nella parte superiore: dunque la pressione sulla parte inferiore delle ali è maggiore che su quella superiore, generando di conseguenza una forza diretta verso l'alto che sostiene l'aeromobile. Il realtà il fenomeno della portanza è molto più complesso.

Prova a soffiare tra due fogli di carta. Si avvicinano o si allontanano?

la portanza

 

TEOREMA DI TORRICELLI:
problema: Consideriamo un recipiente contenente un liquido e avente un foro a una profondità h rispetto al livello del fluido. Calcolare la velocità di uscita del liquido, sapendo che sul foro agisce la pressione atmosferica.

Per risolvere il problema si applica il teorema di Bernoulli alla sezione a e b (foro) del contenitore.  Sulla sezione a consideriamo v=0 (se a è molto più grande del foro il livello del liquido scende lentamente). Su entrambe le sezioni agisce la pressione atmosferica. Possiamo assumere nulla l'energia potenziale gravitazionale in prossimità del foro. Allora l'energia potenziale sulla sezione a è 𝛒gh  Quindi nell'applicazione del teorema di Bernoulli si può semplificare. Poniamo con v la velocità di uscita del fluido dal foro.

Alla fine risulta:

 

La velocità v di uscita del fluido è orizzontale ed è identica a quella di un grave che cade da un'altezza h. Ne risulta un moto parabolico con gittata data da :

dove h rappresenta l'altezza del foro dal suolo.

ESPERIMENTO: 

Palla in equilibrio su un getto d’acqua : In un altro artificio simile, una pallina viene tenuta in equilibrio su un getto d’acqua verticale A volte la palla può star ferma per parecchi secondi ma in generale saltella ed ondeggia. Perché questo ondeggiamento non fa sì che essa voli via dal getto? Che cosa la tiene lì? Ad essere onesti la pallina a volte sfugge dal getto, ma nel corso della sua caduta rientra nel getto e viene riportata alla sua posizione iniziale. Essa si comporterà così anche nel vuoto.

Che cosa attira la pallina in questo modo ?

La legge di Bernoulli spiega l'EFFETTO MAGNUS ciè quella spinta laterale che si manifesta nel tiro d'effetto.

La palla viene lanciata in modo da metterla in rotazione. Nella sua rotazione l'aria trascinata dalla superficie della palla  ha diverse velocità date dalla composizione dei due moti (vedi figura)

dalla parte dove l'aria è più lenta si genera una forza di pressione che spinge la palla lateralmente.

Video in inglese: progetto di una nave che si sposta per effetto Venturi e pallone che cade da una diga

 EFFETTO COANDA: il fluido che scorre con una verta velocità lungo una superficie viene spinta perso la superficie aderendo ad essa. Un esempio è un filo d'acqua che cadendo avvolge il cucchiaio