RELATIVITA': CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE

Consideriamo due sistemi inerziali S e S' con S' che si muove a velocità v rispetto a S. Per facilità pensiamo a S come una stazione ed S' come il treno.

Consideriamo due punti A e B in quiete rispetto al sistema S. Per capire più facilmente la situazione pensiamo a due paletti posti in corrispondenza ai due punti A e B. La distanza Lₒ=AB misurata da S è data da |xA-xB| ed è detta lunghezza propria. 

La LUNGHEZZA PROPRIA è per definizione la distanza misurata tra due punti  in quiete rispetto al sistema di riferimento.
Consideriamo un riferimento T nel sistema S'. Sia:

tA =istante misurato da S con T allineato da A

tB=istante misurato da S con T allineato da B

t'A=istante misurato da S' con T allineato da A

t'B=istante misurato da S' con T allineato da B

S misura il tempo che il punto T impiega a passare dalla posizione A a quella B: 𝛥𝙩=tA-tB

e risulta : Lₒ=v𝛥𝙩

S' misura il tempo che il tempo impiegato da T per passare dalla posizione A a quella B è: 𝛥𝙩'=t'A-t'B. Questo è un TEMPO PROPRIO perché è il tempo tra due eventi che si verificano nello stesso punto rispetto al sistema S'. Per S' la lunghezza è data da L'=v𝛥𝙩'

Ma per la dilatazione dei tempi il tempo misurato da s è dilatato: 𝛥𝙩=𝛾𝛥𝙩' e quindi quello proprio di s' è : 𝛥𝙩'=𝛥𝙩/𝛾.

Sostituendo si ottiene:

L'=v𝛥𝙩/𝛾=Lₒ/𝛾 cioè L'=Lₒ/𝛾

Quindi la lunghezza propria misurata rispetto al sistema in quiete è quella più grande mentre le altre sono contratte di 𝛾≥1.

La contrazione delle lunghezze si verifica solo nella direzione del moto.

ESEMPIO:

Consideriamo questo esempio : L'astronauta Albert parte per la stella Vega distante 25,3 anni luce lasciando il gemello Bart sulla Terra. 

Albert viaggia a una velocità v=0,9c. 
Per Bart che è sulla Terra il viaggio è durato 𝞓t= 25,3c/0,9c=28,1 anni che è un tempo dilatato (non proprio) perchè per lui la partenza e l'arrivo avvengono in luoghi diversi. L'astronave è come il sistema treno S' visto sopra e la Terra e Vega sono i due paletti A e B.   Però per Bart sulla Terra la distanza è propria Lₒ perchè Terra e Vega sono in quiete rispetto a lui. 
Per Albert che è nella navicella, la durata del viaggio è un tempo proprio. Infatti Albert misura la durata del tempo tra  due eventi che avvengono sempre nello stesso punto (sono sempre  in quiete con lui): la partenza e l'arrivo. Dunque per lui il viaggio dura:
𝞓tₒ=𝞓t/𝜸=28,1/2,29=12,3 anni.
Albert e Bart sono d'accordo solo sul valore della velocità relativa v (spazio/tempo). Quindi per Albert è v=L/𝞓tₒ mentre per Bart la distanza è v=Lₒ/𝞓t.
Quindi :
Lₒ/𝞓t=L/𝞓tₒ e risulta che L=Lₒ∙𝞓t/𝞓tₒ=Lₒ/𝜸  . 
L si dice lunghezza contratta perchè 𝜸 è maggiore di 1 e quindi L>L₀.

CON LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ:

Consideriamo una BARRA di lunghezza L₀ posta lungo la direzione dell'asse delle x e con una estremità in O, in quiete rispetto ad un sistema S' che si muove con velocità relativa v nella direzione dell'asse x rispetto ad un sistema S. 
Ogni osservatore misura la stessa velocità relativa v. 
Dunque per ipotesi le coordinate degli estremi della barra in S' sono:
x'1=0 e x'2=Lo
Quanto vale la lunghezza L misurata da un osservatore posto in S?
L è la distanza delle coordinate degli estremi della barra x1 e x2 prese al tempo t: L=x2-x1
usando le trasformazioni di Lorentz:

Quindi per un osservatore in moto rispetto alla barra la sua lunghezza risulta inferiore rispetto alla lunghezza propria misurata dall'osservatore in quiete rispetto alla barra:

applet: clicca qui

Paradosso del treno di Einstein

lezione app Zanichelli su contrazione della lunghezza

videolezione : contrazione lunghezze

QUANTITA' DI MOTO ED ENERGIA RELATIVISTICA

In fisica classica la quantità di moto di un corpo di massa m che si muove con velocità v rispetto ad un sistema di riferimento S è così definita: p=mv dove p e v sono vettori.

Uno dei principi fondamentali della fisica è la legge di conservazione della quantità di moto : In un sistema isolato (somma delle forze esterne =0) la quantità di moto totale di un sistema di corpi si mantiene costante. 
Se m ed M sono le masse del sistema e vi,ui sono le loro velocità iniziali e vf, uf sono quelle finali, risulta:
mvi+Mui=mvf+Muf
Per il principio di relatività Galileiano la conservazione della quantità di moto vale in tutti i sistemi inerziali. 
Infatti passando ad un sistema inerziale  S' che si muove di velocità relativa Vt, secondo la legge di composizione delle velocità cambiano le velocità dei due corpi prima e dopo:

m(vi -Vt)+M(ui-Vt)=m(vf-Vt)+M(uf-Vt)

e questa è vera perché è equivalente alla precedente.

Per velocità molto elevate bisogna usare le trasformazioni di Lorentz ed è evidente che non vale più se non si cambia la definizione della quantità di moto .

Perché rimanga valido tale principio bisogna modificare la definizione della quantità di moto p che in relatività diventa:

dove m0 è detta MASSA A RIPOSO del corpo ed è la massa misurata nel sistema IN QUIETE con il corpo .

per valori di v<0,4c la definizione coincide con quella classica. 
In realtà, la stessa espressione potrebbe anche essere riscritta in una forma del tutto equivalente ma concettualmente diversa senza dover definire una massa dipendente dalla velocità. 

Basta considerare la velocità v=∆r/∆t₀ che appare nella definizione della quantità di moto come il rapporto fra lo spostamento  ∆r di un corpo in un dato riferimento S (lunghezza propria) e l'intervallo di tempo proprio ∆t₀ misurato nel sistema riferimento del corpo (tempo proprio). Quindi per la dilatazione dei tempi ∆t=𝛾∆t₀ e ∆t₀=∆t/𝛾

Osservazione : Per comprendere la situazione basta a pensare al corpo come al sistema S' treno e al sistema S come la stazione. Il tempo  misurato rispetto al sistema del treno  è proprio perchè compreso tra due eventi che si verificano nella stessa posizione.

Sostituendo nella definizione di quantità di moto:

Risulta la quantità di moto di un corpo di massa m che si muove con velocità v rispetto a un sistema S è data da : p=𝛾∙mv

Con tale definizione di quantità di moto di un corpo vale il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA' DI MOTO anche per velocità relativistiche.

Nel caso classico, l'equazione del moto di un corpo è data dalla II legge di Newton. Anche in relatività vale la seconda legge: F=dp/dt
dove p è la quantità di moto relativistica.

Allo stesso modo, perchè continui a valere la LEGGE DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA:

Per il momento non prendiamo in considerazione l'energia gravitazionale. In fisica classica un corpo con massa m e velocità v rispetto a un sistema S ha solo energia cinetica data da E=1/2mv². Se il corpo è fermo per v=0 la sua energia totale è nulla.  Ricordiamo che la legge di conservazione dell'energia rimane vera anche in relatività: l'energia totale si conserva.

Per questo motivo si deve ridefinire l'energia totale di un corpo di massa m e velocità v in questo modo :

ossia:

e nel caso v=0m/s (sistema SOLIDALE con il corpo e corpo FERMO rispetto al sistema di riferimento) l'energia non è nulla come in fisica classica ma è data da:

E0=mc²   (detta ENERGIA A RIPOSO)

Quindi un corpo possiede energia per il solo fatto di possedere una massa. La massa è quindi una forma di energia potenziale. ( EQUIVALENZA TRA MASSA E ENERGIA)
NB: l'energia a riposo ha un valore molto grande di energia . Ad esempio 1kg di massa possiede un'energia E=1kgc²=9∙10¹⁶J
Questa è l'energia è paragonabile con l'energia consumata dall'Italia in un anno.
Nella produzione di energia nucleare tramite fissione una piccola diminuzione di massa è trasformata in energia:
∆E= ∆m∙c²

L'energia cinetica è invece data dalla differenza tra l'energia totale e quella a riposo:

Se v=c l'energia cinetica diverge a infinito. Dunque un corpo può raggiungere la velocità della luce solo se gli viene fornita un'energia cinetica infinita. Quindi è IMPOSSIBILE per un corpo dotato di massa raggiungere la velocità della luce che rimane la massima velocità possibile.
LIMITE DI VELOCITA' DEL COSMO = c
Questo si spiega anche in questo modo:
Un corpo aumentando la sua velocità aumenta anche la sua massa relativistica e quindi la sua inerzia. Per aumentare ulteriormente la sua velocità necessiterebbe di una sempre maggiore energia.

per velocità <0,4c l'energia relativistica si può approssimare a : 

In fisica relativistica la massa non si conserva ma continua a conservarsi l'energia. Infatti una certa quantità di massa può essere persa perché trasformata in energia:

 

UNITA' DI MISURA PER L'ENERGIA e MASSA IN FISICA NUCLEARE:

Per l'energia si usa l'elettrovolt: 1eV=1,6∙10⁻¹⁹J

per la massa si usa 1eV/c²=1,6∙10⁻¹⁹J/3∙10⁸=1,78∙10⁻³⁶ Kg

 

Segue una video lezione di dinamica relativistica:

Segue una semplice, chiara discussione sull'equivalenza MASSA - ENERGIA di una nota trasmissione radio:

Altro invariante relativistico è dato da: E²-p²c²

Infatti dal calcolo risulta:

dove m (massa a riposo) e c sono invarianti. Quindi:

e da questa si ricava un'espressione dell'energia in funzione della quantità di moto:

In particolare possiamo calcolare l'energia del fotone (massa a riposo nulla):

ENERGIA DEL FOTONE:    E=pc