IL LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE

In fisica si dice che una forza applicata ad un corpo compie un lavoro quando determina uno spostamento del corpo nella direzione della forza.

Sia per ipotesi  F una forza costante (ha lo stesso modulo e la stessa direzione e verso lungo tutto lo spostamento) che sposta un corpo di massa m.
Se la forza  ha la stessa direzione dello spostamento, il lavoro della forza F è semplicemente definito come prodotto della FORZA per lo SPOSTAMENTO.

In generale Il LAVORO compiuto da una forza F per spostare un corpo di un vettore spostamento s è il prodotto della componente di F lungo lo spostamento (che è la responsabile dello spostamento in quella direzione) per lo spostamento : 

In modo equivalente il lavoro si può definire come il prodotto scalare tra F e s:

L'unità di misura è il JOULE: 1J=1Nx1m
Il lavoro è una grandezza SCALARE.

Il lavoro è NEGATIVO quando la forza si oppone allo spostamento (F si dice forza frenante o resistente). Ad esempio il lavoro della forza d'attrito.  In questo caso l'angolo tra F e s è maggiore di 90°.  

Quando la forza è perpendicolare allo spostamento il lavoro è NULLO .

 

Video sulla definizione di lavoro (Zanichelli)

video in inglese sulla definizione di lavoro in fisica

video Treccani sul lavoro 

PROBLEMI:

 

 

 

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE

Nella fisica classica è possibile descrivere un oggetto, in modo completo, con la sua posizione e la sua quantità di moto (determinismo). Ma come noto le onde non sono localizzate nello spazio. Come conciliare la doppia natura ondulatoria e corpuscolare della luce e della materia? Come già osservato nell'esperimento d'interferenza degli elettroni (esperimento della doppia fenditura di Young eseguito con un elettrone alla volta) non è possibile prevedere l'esatta posizione di impatto dell'elettrone sullo schermo. Gli elettroni arrivano sullo schermo in modo casuale. Ogni volta che si ripete l'esperimento, l'elettrone cambia punto di arrivo. Questa incertezza è dovuta alla natura ondulatoria della materia. Possiamo dire che non si tratta di un fenomeno deterministico (come quelli della fisica classica) ma è probabilistico.


CALCOLO DELL'INCERTEZZA:

Consideriamo un fascio di elettroni che si muove lungo l'asse y e attraversa una singola fenditura di larghezza d. Sullo schermo viene a formarsi una figura di diffrazione con un massimo centrale dove è più probabile che arrivi l'elettrone. Se l'angolo 𝞱 esprime la posizione del primo minimo e quindi anche la larghezza del massimo centrale come è noto risulta che sen𝞱=𝞴/d (vedi qui)

Se gli elettroni si muovono con quantità di moto py allora la lunghezza d'onda associata è 𝞴=h/py .
Quando gli elettroni passano per la fenditura di larghezza d l'incertezza della loro posizione sull'asse x è 𝝙x=d.
Dopo aver attraversato la fenditura, però , il fascio si allarga per formare la figura di diffrazione e la quantità di moto di alcuni elettroni acquista una componente x dovuta alla deviazione subita.
Adesso abbiamo un'incertezza 𝝙px sulla componente x della quantità di moto dell'elettrone.
Se si vuole diminuire l'incertezza 𝝙x sulla posizione bisogna diminuire la larghezza della fenditura ma in tal caso aumenta l'angolo 𝞱 e conseguentemente aumenta l'incertezza
𝝙px sulla quantità di moto. Se si aumenta la larghezza della fenditura aumenta per diminuire l'incertezza 𝝙px conseguentemente aumenta l'incertezza sulla posizione
𝝙x.
La particella con lunghezza d'onda 𝞴=h/py ha un comportamento ondulatorio e viene DIFFRATTO con angolo dato da:

Ma l'angolo 𝞱 si esprime anche come rapporto :

per angoli molto piccoli si ha: 

Quindi il prodotto delle incertezze sulla posizione e sulla quantità di moto non può essere inferiore di una certa quantità che è circa la costante di Planck su 4𝝅.

videolezione  Politecnico Torino

Da una trattazione più rigorosa si ricava il seguente principio:

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE : in una misura simultanea lungo l'asse x, le indeterminazione di posizione e di quantità di moto della particella sono legate dalla relazione:



quindi se si diminuisce l'indeterminazione della posizione aumenta quella della quantità di moto e viceversa se diminuisce l'indeterminazione della quantità di moto aumenta quella della posizione.

Nel 1927 Werner Heisenberg scopre che la natura ondulatoria della materia poneva un problema della determinazione della posizione. Come poter localizzare un'onda? Per poter localizzare una particella bisogna interagire con essa. Di solito si usa la luce che interagendo (ad esempio riflettendosi) mostra la posizione della particella con un'incertezza che dipende dalla sua lunghezza d'onda. Per osservare una particella con dimensioni d serve una lunghezza d'onda più piccola di d.
 
Come visto nell'effetto Compton, nell'interazione con il fotone, la particella subisce una variazione della quantità di moto.

Se vogliamo migliorare la precisione della posizione dobbiamo diminuire la lunghezza d'onda e quindi aumentare la frequenza ma questo equivale ad aumentare l'energia e quindi la quantità di moto del fotone incidente ( p=hf/c ) con una conseguente variazione della quantità di moto della particella.

NB: l'indeterminazione di Heisenberg NON E' UN ERRORE di misura e non è dovuta ai limiti tecnici dello strumento di misura, ma afferma UN PRINCIPIO DI NATURA dovuto al comportamento ondulatorio della materia: non possiamo mai conoscere contemporaneamente e in modo preciso quantità di moto e posizione di una particella nello stesso istante e questo indipendentemente dalla precisione del nostro strumento. 

Per migliorare la precisione della posizione di una particella serve una luce con bassa lunghezza d'onda mentre per migliorare la precisione della sua velocità (quantità di moto) serve luce con bassa frequenza ( e quindi alta lunghezza d'onda) per non modificarla per effetto Compton.

 da Superquark spiega il principio di indeterminazione con cartoni animati

CAMPO GRAVITAZIONALE

La gravità è una forza che agisce a distanza (senza contatto) per la presenza del campo gravitazionale. Il campo gravitazionale dovuto ad una massa M in un punto P dello spazio ad una distanza r da M è un vettore. 
Per determinare il suo valore si pensa di porre una massa m "di prova" in P e si considera la forza gravitazionale che m subisce per la presenza di M:

il campo gravitazionale è definito come rapporto tra la forza e la massa di prova (è quindi la forza su unità di massa che agisce in quel punto) ed ha la direzione della forza . Quindi ad ogni punto dello spazio possiamo associare un vettore:

questi vettori campo descrivono il CAMPO GRAVITAZIONALE.

In particolare in prossimità della superficie della Terra il campo coincide con l'accelerazione di gravità: 

g=F/m=P/m=9,81m/s² 

e l'energia potenziale gravitazionale era data da U=mgh.

 alcuni problemi sulla legge di gravitazione
 

Allontandosi dal centro della Terra il valore di g diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza.

Il campo gravitazionale è un CAMPO CONSERVATIVO è quindi il lavoro fatto dalle forze del campo per portare una massa da un punto A ad un punto B non dipende dal percorso ma solo dal punto iniziale A e da quello finale B.

Si può quindi definire una grandezza fisica associata al punto detta energia potenziale.

La variazione di energia potenziale gravitazionale tra un punto B e un punto A è definita  come il lavoro che compie la forza gravitazionale per portare la massa m dal punto A a B.

Fissata l'energia potenziale zero in un punto a distanza infinita dalla massa M che genera il campo gravitazionale possiamo definire l'energia potenziale in un punto P come il lavoro fatto dalle forze del campo per portare la massa dal punto P all'infinito . L'energia potenziale è negativa perchè la forza gravitazionale è contraria allo spostamento.    

In prossimità della superficie la forza peso F è costante e il lavoro è semplicemente dato dal prodotto forza per spostamento L=mg(hA-hB) e U=mgh

Nel caso generale l'espressione di U non è facile da calcolare  perché il valore di F varia con la distanza (serve il calcolo integrale) Si ottiene che :

Fissato U=0 all'infinito risulta :

 

 Video Treccani sull'energia potenziale gravitazionale

Dunque l’energia totale  di un corpo di massa m a una distanza r da un pianeta di massa M è data da: 

L'energia si conserva.

Un corpo con energia uguale a zero posto a una distanza x dal centro di gravità deve avere una energia cinetica uguale all'energia potenziale. Per la legge di conservazione dell'energia un corpo in caduta  aumenta la sua velocità e quindi la sua energia cinetica e allora aumenta in negativo la sua energia potenziale in negativo . Possiamo immaginare come una buca di potenziale in prossimità del centro di gravità.

La VELOCITA' DI FUGA di un pianeta è la minima velocità per uscire dalla gravità di quel pianeta cioè è quella velocità che consente di arrivare ad una distanza infinita con velocità nulla (E=0). Si pone:

Per esempio, per uscire dall'attrazione terrestre un razzo deve avere una velocità minima:

calcolo della velocità di fuga

Problemi risolti sulla velocità di fuga

Raggio di Schwarzschild: è il raggio che deve avere un corpo celeste sferico di massa M per impedire la fuga della luce dalla sua gravità (condizione per avere un BUCO NERO)
Per ottenere il suo valore basta porre l'espressione della velocità di fuga uguale a c. 

per il Sole si ottiene un valore di circa 3 km.

PROBLEMI DI GRAVITAZIONE

1) Calcolate l’accelerazione di gravità sulla superficie del pianeta Mercurio, sapendo che ha un raggio R = 5,140*10⁶ m, una massa M = 2,5*10²⁴ kg .

[g = 6,312 m/ s².]

2) Calcolate il periodo di rivoluzione di un corpo che si muove su una traiettoria circolare che sfiora la superficie del Sole. Applica la terza legge di Keplero sapendo che il raggio del Sole misura 696.000 km e la distanza Terra Sole è 1,49x10⁸ Km. [2h 48m ]

3) Un satellite viaggia su un’orbita circolare a 500km dalla superficie terrestre. Determinare la velocità e il periodo dell’orbita applicando la terza legge di Keplero. [7.6 km/s, T=1h 35m]

4) Calcolare il valore dell’accelerazione di gravità alla superficie del pianeta Venere, sapendo che la sua massa vale 4.87x10^24 kg ed il raggio è di 6052km. [8.87m/s²]

5) A che altezza dal livello del mare l’accelerazione di gravità si riduce dell’1% rispetto al suo valore alla superficie? [32.1km]

6) Deimos, satellite di Marte, percorre un’orbita circolare di raggio 23460km in 30,3h . Calcolare la massa di Marte. 
[6,5X10^23 kg] [suggerimento : calcolare la costante di Keplero di Marte e...]
Utilizzando le leggi di Keplero, determinare il semiasse maggiore dell’orbita del secondo satellite, Phobos, il quale percorre un giro completo in sole 7.66h. (9380km).

7) Calcolare la velocità di fuga di Mercurio sapendo che ha un raggio R = 5,140*10⁶ m, una massa M = 2,5*10²⁴ kg . [4,13 km/s]

8) Che velocità deve avere un satellite per descrivere un'orbita perfettamente circolare ad una quota di 230 km rispetto alla superficie della Terra? [v = 7,8 km/s]

9) Un meteorite di massa m=10³kg  si trova a 3 10⁷ m dal centro della Terra con velocità v = 8 km/s rispetto ad essa. Ammesso che il meteorite non punti proprio verso il nostro pianeta, riuscirà a sfuggire all'attrazione terrestre oppure rimarrà intrappolato nel campo gravitazionale? In altre parole, la traiettoria del meteorite sarà un'orbita aperta o chiusa? [orbita aperta E=1,87 10¹⁰ J]

    

10) Se la massa di un corpo celeste rimane costante mentre il suo raggio diminuisce (come accade alle stelle quando ha esaurito il suo combustibile nucleare) , la velocità di fuga aumenta e può essere anche superiore alla velocità della luce. In questo caso la luce non può sfuggire e abbiamo un buco nero.

Calcolare il raggio che dovrebbe avere il Sole e poi la Terra per diventare buchi neri.       [3km e 9 mm]

11) Europa è un satellite di Giove che, approssimando la sua orbita a una circonferenza, dista mediamente circa 6*1O⁵ km dalla superficie di Giove. Calcola il suo periodo di rivoluzione intorno a Giove. Sappiamo che Mg=318 Mt con Mt=5,97*10²⁴ Kg  Rg=71492 Km  [3,6giorni]

12) Supponiamo che un corpo di massa m=1kg si tiene a distanza 4R dal centro di Marte, in cui R=3390Km è il raggio di Marte. Quanto vale il lavoro che si deve compiere per  spostare l'oggetto ad una distanza 6R sapendo che  M=639×10²¹ Kg è la massa di Marte? [1,05 10⁶ J]

13)Calcolare la forza con cui si attraggono due sfere della massa di 100g poste alla distanza di 1 m. [6,67 10-13N]

14)Sapendo che la distanza della Luna dal centro della Terra è pari 60 volte il diametro terrestre e che la Luna compie una rotazione in 27,32 giorni, calcolare, usando la terza legge di Keplero, la quota h rispetto alla superficie terrestre di un satellite artificiale avente un periodo di 48 ore. [6,4 10^7m]

15)Calcola il periodo di un satellite che ruota intorno alla Luna su un’orbita circolare a un’altezza dalla superficie lunare di 500 km. [9,51 10^3 s]