MOMENTO ANGOLARE DI UN CORPO RIGIDO

Il MOMENTO ANGOLARE di una massa m rispetto a un punto O è il prodotto vettoriale del vettore posizione r e del vettore quantità di moto p:

L'unità di misura è [Kgm²/s]

Il momento angolare è una grandezza analoga alla quantità di moto nel caso rotazionale. Si potrebbe dire che è "la quantità di moto rotazionale". 

 

Per definizione di prodotto vettoriale :

il modulo è :

la direzione è quella perpendicolare al piano contenente i vettori r e p
il verso è quello che si stabilisce con la regola della mano destra:

in particolare è sempre perpendicolare al piano di rotazione e dal suo verso positivo si vede il moto antiorario.

Il momento angolare è massimo quando la massa si muove in direzione perpendicolare al vettore posizione r. Il suo modulo è uguale all'area del parallelogramma con lati r e p.

 

Nel caso di un corpo rigido in rotazione (ad esempio un disco) lo consideriamo composto di tante masse puntiformi che si muovono di moto circolare a distanza ri dal centro di rotazione e con una velocità tangenziale v.
Il momento angolare della singola massa è :

mentre il momento angolare del corpo rigido è la somma dei momenti angolari delle singole masse:

 

Dunque il momento angolare di un corpo rigido che ruota rispetto ad un asse con momento d'inerzia I è dato dall'espressione :

è analoga alla relazione della quantità di moto: p=mv

simulazione di phet
 

video spiega come determinare il verso del momento angolare

Dunque per un corpo rigido in rotazione risulta L=I∙𝛚 e quindi anche: ∆L=I∙∆𝛚 e dividendo per il tempo ∆t si ottiene:

  

e quindi:

Ricordando che per la seconda legge del moto rotazionale:

allora possiamo scrivere la seconda legge in funzione del momento angolare:
II LEGGE DEL MOTO ROTAZIONALE: 

Un momento torcente genera una variazione del momento angolare. E' del tutto analoga alla seconda legge della dinamica espressa nella forma F=∆p/∆t .

CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE: Se in particolare il momento totale M applicato al corpo è nullo risulta nulla anche la variazione del vettore momento angolare : 

M=0 → ∆L=0 e allora IL MOMENTO ANGOLARE SI CONSERVA.  

∆L=Lf -Li =0

Li=Lf
Bisogna precisare che se si conserva il momento angolare L allora si conserva la direzione , il verso e il modulo di L. Ricordando che L è per definizione un vettore perpendicolare al piano formato da p e r allora se L si conserva il moto avviene su uno stesso piano.(moto piano)

Nel caso di un corpo rigido in rotazione il momento angolare si mantiene solo se si mantiene invariata la direzione del suo asse di rotazione.

Per un corpo rigido in rotazione intorno ad un certo asse vale anche che:

dove  il primo membro rappresenta il momento angolare iniziale e il secondo quello finale. Se aumenta il momento d'inerzia deve necessariamente diminuire la velocità angolare.

CONDIZIONE PER LA CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE:

Abbiamo visto che il momento angolare si conserva solo se la risultante del momento torcente M è nullo.

Ricordando che:

M è nullo solo se Ftot =𝛴F=0 oppure Ftot // r

Quindi il momento angolare di un corpo di massa m si conserva solo se la risultante delle forze esterne applicate al corpo è nulla (SISTEMA ISOLATO) oppure le forze sono di TIPO CENTRALI (forze dirette verso il centro di rotazione).
Un esempio di forza centrale è la forza di gravità che il Sole esercita sulla Terra.

 

 

ESEMPIO: IL Pattinatore

II LEGGE DELLA DINAMICA DEL MOTO ROTAZIONALE

 

Sia M il momento della forza  rispetto ad un certo punto O applicato ad una massa m che ruota intorno ad O. Il modulo è dato da: M=rF丄  .Per la II legge F=ma sostituendo risulta M=r∙(m∙a丄 ) dove  a丄 è l'accelerazione tangenziale data da a丄 =r∙𝜶 dove 𝜶 è l'accelerazione angolare. Sostituendo si ottiene:
M=r∙m∙(r∙𝜶)=m∙r²𝜶=I∙𝜶

Se vale per la singola massa m vale anche per un corpo rigido che ruota perchè si può sempre pensare costituito da tante masse elementari in moto circolare intorno allo stesso centro o asse. Quindi in generale per un corpo rigido in rotazione risulta: M=I∙𝜶 (II LEGGE DEL MOTO ROTAZIONALE)

Possiamo affermare che se ad un corpo rigido si applica un momento torcente M rispetto ad un suo centro (o asse) di rotazione O, il corpo ruota con accelerazione angolare direttamente proporzionale al momento applicato. La costante di proporzionalita è il momento d'inerzia I del corpo rispetto al centro di rotazione O. Vale perciò la seconda legge della dinamica del moto rotazionale:

è del tutto analoga a quella del moto traslatorio: F=ma

La seconda legge si può anche esprimere in funzione del momento angolare.

infatti:

II LEGGE DEL MOTO ROTAZIONALE: 

Un momento torcente genera una variazione del momento angolare. E' del tutto analoga alla seconda legge della dinamica espressa nella forma F=∆p/∆t .

Se in particolare il momento totale M applicato al corpo è nullo risulta ∆L=0 e allora IL MOMENTO ANGOLARE SI CONSERVA.

Li=Lf
e per un corpo rigido in rotazione intorno ad un certo asse vale:

dove  il primo membro rappresenta il momento angolare iniziale e il secondo quello finale.

 
 

APPLICAZIONI:
1) carrucola fatta girare tirando la fune con forza F:
M=Fr, I=1/2mr²

la carrucola gira con accelerazione angolare:

2) carrucola con due masse

momento totale rispetto al centro di rotazione della carrucola: 

Fissato un verso positivo (ad es. quello verso il basso di m1) Si applica II legge alle due masse e quella rotazionale alla carrucola :

dove : 

 essendo a l'accelerazione tangenziale.
 

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 APPLET : esperimento sul moto rotazionale clicca qui

MOMENTO DI UNA FORZA O MOMENTO TORCENTE

La grandezza fisica responsabile della rotazione di un corpo rigido è il MOMENTO DELLA FORZA M definita:

dove F è la forza applicata ad un corpo rigido, r è la distanza del punto di applicazione dal centro di rotazione e alfa è l'angolo formato tra la direzione di r e quella di F.

INFATTI: Se la forza F è pependicolare a r il momento è massimo ed  è dato dal prodotto di F per il braccio r:  M=Fr
Se la forza viene applicata nella direzione di un raggio cioè passante per il centro di rotazione non abbiamo nessuna rotazione e infatti il momento è nullo (alfa=0).

Se F forma un angolo alfa con il raggio è solo la componente di F perpendicolare al raggio che provoca rotazione: 
 

In modo equivalente possiamo definire il braccio della forza b come la distanza della direzione della forza dal centro di rotazione O (è la perpendicolare condotta da O alla retta che contiene F) . In questo modo il momento M è dato dal prodotto della forza F per il braccio.

Un corpo è in equilibrio quando la risultante delle forze è nulla e se la risultante di ciascuna forza è nulla. 
Se M>0 la rotazione è antioraria
se M<0 la rotazione è oraria

EQUILIBRIO DI UN CORPO

Un corpo pensato privo di dimensioni si dice PUNTO MATERIALE.

Un punto materiale si dice in equilibrio quando la somma di tutte le forze (RISULTANTE) ad esso applicate è NULLA.

Un libro appoggiato sul tavolo rimane fermo ed è quindi in equilibrio. Sul libro agisce la forza peso e una forza  uguale e contraria al suo peso dovuta alla presenza del tavolo (VINCOLO). Si chiama REAZIONE VINCOLARE quella forza che impedisce il moto di un corpo in una certa direzione o la sua rotazione.

La reazione vincolare del piano di appoggio è sempre uguale è contraria alla forza "premente" . 

Se non sono applicate altre forze la forza premente è la componente del peso perpendicolare al piano:

 Ad esempio nel caso del piano inclinato si ha:

 La reazione vincolare è Rv=-P┴

 Altro esempio di reazione vincolare è la TENSIONE di una fune. Consideriamo un corpo appeso:

Sulla corda agisce una reazione vincolare detta TENSIONE uguale e contraria al peso del corpo.

Un esempio di applicazione dell'equilibrio è quello con CARRUCOLE.

 In questo caso si deve porre l'equilibrio sulla carrucola:

T2=2T1

E poi sul secchio: T1=P 

equilibrio in un piano inclinato 


 
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Quando un corpo è posto su un piano inclinato la forza peso si può scomporre nella componente parallela al piano P// e in quella perpendicolare P^ .
Simulazione del piano inclinato: si può variare l'inclinazione del piano e si ottengono le componenti della forza peso parallela al piano e perpendicolare.

COME SCOMPORRE LA FORZA PESO

 

CAMPO ELETTRICO E LINEE DI CAMPO

APPLET CAMPO
CAMPO UNIFORME

ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA

Il campo elettrostatico è un campo conservativo. Infatti il lavoro L fatto dalle forze del campo per spostare una carica da un punto A ad un punto B non dipende dal cammino ma solo dal punto iniziale A e da quello finale B. In modo equivalente possiamo dire che il lavoro fatto su un cammino chiuso è sempre nullo. 
Per questo motivo ad ogni punto P del campo si può associare un valore UP di energia in modo tale che il lavoro fatto dalle forze del campo per spostare una carica da A a B si può esprimere come differenza:
L=UA-UB

 

L'energia potenziale in un punto P dipende dalla carica posta in P ed è definita a meno di una costante che dipende da dove poniamo uguale a zero U. (è analogo al caso gravitazionale)

Il POTENZIALE ELETTRICO  in un punto P del campo è l'energia potenziale su unità di carica e questo valore non dipende più dalla carica posta nel punto P ma solo dalla posizione.

L'unità di misura è il Volt : 1V=1J/1C 

In questo modo il lavoro svolto dalle forze del campo per spostare la carica q dal punto A al punto B si esprime con la formula:

Una linea (o superficie) si dice EQUIPOTENZIALE se è formata da tutti punti con lo stesso potenziale. Il lavoro per spostare una carica su una linea equiponteziale è zero e infatti le linee equipontenziali sono  perpendicolari in tutti i loro punti al campo elettrico .

Una carica positiva tende a muoversi dal potenziale maggiore a quello minore (questo è quindi il verso del campo elettrico). Quella negativa in verso opposto.

E' analogo al caso di una "collina" per il campo generato da una carica positiva e di un "buco" per quello generato da una carica negativa.

La superficie esterna di un corpo conduttore è sempre una superficie equipotenziale e il campo elettrico è sempre perpendicolare alla superficie ed è sempre nullo nella parte interna.
  
Anche per il potenziale in un punto vale il principio di SOVRAPPOSIZIONE: 

Il potenziale elettrico totale in un punto P  dovuto a due o più cariche è uguale alla somma algebrica dei potenziali dovuti a ogni singola carica separatamente.

CAMPO RADIALE

Nel caso del campo radiale generato da una carica puntiforme Q , l'energia potenziale in un punto P a distanza r  dove è posta una carica q è data da : 

se r tende ad infinito l'energia potenziale tende a zero. 
Allora l'energia potenziale è posta uguale a zero all'infinito e U(r) è equivalente al lavoro fatto contro le forze del campo per portare una carica dall'infinito fino ad una distanza r dalla carica Q che genera il campo.

Infatti  la carica q è respinta da Q e quindi bisogna compiere un lavoro per avvicinarla fino ad una distanza r e questo lavoro si accumula sotto forma di energia potenziale U. Usando l'analogia con il campo gravitazionale è simile a quando si compie un lavoro per sollevare una massa m da terra. La situazione è anche simile a quella di una molla che viene compressa e che accumula energia potenziale elastica. 

L'energia potenziale elettrica di un sistema di cariche è uguale al lavoro per portare le cariche dall'infinito alla loro posizione. Per portare la prima carica Q il lavoro è nullo, per portare la seconda q ad una distanza r dalla prima il lavoro è dato da  :

 

per portare una terza carica q' si deve compiere un lavoro dovuto alla singola presenta della carica Q e della carica q

In totale l'energia del sistema è la somma di questi lavori:

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applet : simula il moto delle cariche in un campo rappresentato dalle linee equipotenziali come dislivelli gravitazionali CLICCA QUI

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