II LEGGE DELLA DINAMICA DEL MOTO ROTAZIONALE

 

Sia M il momento della forza  rispetto ad un certo punto O applicato ad una massa m che ruota intorno ad O. Il modulo è dato da: M=rF丄  .Per la II legge F=ma sostituendo risulta M=r∙(m∙a丄 ) dove  a丄 è l'accelerazione tangenziale data da a丄 =r∙𝜶 dove 𝜶 è l'accelerazione angolare. Sostituendo si ottiene:
M=r∙m∙(r∙𝜶)=m∙r²𝜶=I∙𝜶

Se vale per la singola massa m vale anche per un corpo rigido che ruota perchè si può sempre pensare costituito da tante masse elementari in moto circolare intorno allo stesso centro o asse. Quindi in generale per un corpo rigido in rotazione risulta: M=I∙𝜶 (II LEGGE DEL MOTO ROTAZIONALE)

Possiamo affermare che se ad un corpo rigido si applica un momento torcente M rispetto ad un suo centro (o asse) di rotazione O, il corpo ruota con accelerazione angolare direttamente proporzionale al momento applicato. La costante di proporzionalita è il momento d'inerzia I del corpo rispetto al centro di rotazione O. Vale perciò la seconda legge della dinamica del moto rotazionale:

è del tutto analoga a quella del moto traslatorio: F=ma

La seconda legge si può anche esprimere in funzione del momento angolare.

infatti:

II LEGGE DEL MOTO ROTAZIONALE: 

Un momento torcente genera una variazione del momento angolare. E' del tutto analoga alla seconda legge della dinamica espressa nella forma F=∆p/∆t .

Se in particolare il momento totale M applicato al corpo è nullo risulta ∆L=0 e allora IL MOMENTO ANGOLARE SI CONSERVA.

Li=Lf
e per un corpo rigido in rotazione intorno ad un certo asse vale:

dove  il primo membro rappresenta il momento angolare iniziale e il secondo quello finale.

 
 

APPLICAZIONI:
1) carrucola fatta girare tirando la fune con forza F:
M=Fr, I=1/2mr²

la carrucola gira con accelerazione angolare:

2) carrucola con due masse

momento totale rispetto al centro di rotazione della carrucola: 

Fissato un verso positivo (ad es. quello verso il basso di m1) Si applica II legge alle due masse e quella rotazionale alla carrucola :

dove : 

 essendo a l'accelerazione tangenziale.
 

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DINAMICA ROTAZIONALE DEL CORPO RIGIDO

La causa della variazione di moto traslatorio di un corpo è la forza secondo la legge: F=ma

La causa della rotazione e della variazione del momento angolare rispetto ad un certo asse è il momento della forza.

Consideriamo una massa m a distanza r dal centro di rotazione che ruota con velocità angolare 𝛚.
La sua energia cinetica è data da: 

K=1/2 m∙v²=1/2 m∙𝛚²∙r²
Posto con I=m∙r² diventa K=1/2∙I∙𝛚² che è analoga a K=1/2mv² dove I è detto momento d'inerzia ed ha un significato analogo a quello della massa m nel caso rotazionale.
In generale si definisce il  MOMENTO D'INERZIA I di un corpo  rispetto ad un punto fissato O il prodotto della sua massa per la distanza r da O al quadrato. I esprime l'inerzia rotazionale del corpo intorno al punto O ossia la resistenza che un corpo oppone al cambiamento della velocità angolare del moto rotatorio.  
Il momento di inerzia I dipende da come è distribuita la massa intorno all'asse di rotazione e dalla quantità di massa. I è proporzionale al quadrato della distanza dal punto O.
Per un corpo rigido il momento d'inerzia si determina considerando il corpo suddiviso in infinite masse elementari 𝞓m e sommando il momento d'inerzia di ogni singola componente: I= 𝚺𝞓m∙r² (in realtà si dovrebbe usare il simbolo d'integrale visto che è una somma di infiniti termini infinitesimi)

L'unità di misura è Kg∙m².



Un anello di massa m e raggio R ha un momento d'inerzia rispetto al centro dato da I=mR²
Per un disco (vale anche per un cilindro) di massa m e raggio R risulta I=1/2mR² rispetto al suo asse di simmetria. R è il raggio di base e m è la massa.

Il momento d'inerzia I cambia se calcolato rispetto ad un altro punto.
Al esempio il momento d'inerzia di un'asta cilindrica di lunghezza L e massa m rispetto ad una estremità è I=1/3mR².

 

LEGGE DI CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

Il momento angolare di una massa m rispetto ad un punto O di rotazione è un vettore perpendicolare al piano di rotazione definito come prodotto vettoriale dei r per la quantità di moto:
L=rxp

Se p è perpendicolare a r il modulo è dato da: L=mvr
Sostituendo v=wr si ottiene L=mr²w dove w è la velocità angolare.
Per definizione I=mr² è il MOMENTO D'INERZIA di un corpo di massa m rispetto ad un punto O di rotazione fissato.
Quindi otteniamo: L=Iw
Calcoliamo la variazione di momento angolare nel tempo:

 
si ottiene la 2° LEGGE del moto rotazionale in funzione della variazione del momento angolare.
Se il momento della forza applicato è NULLO (ad esempio quando la somma delle forze è nulla o quando la risultante della forza è centrale) risulta : Lf=Li
Il momento angolare rispetto al punto O di rotazione si conserva .
Si può scrivere anche:  

Se aumenta I (es: massa che si allontana dall'asse di rotazione ) allora deve diminuire la velocità angolare w ossia rallenta la sua rotazione (vedi pattinatore che allargando le braccia rallenta la sua rotazione).

Vedi degli esempi nei seguenti video:

 

ribaltando la direzione dell'asse di rotazione della ruota si varia il momento angolare da L a -L. Ma dovendo rimanere costante si deve innescare una rotazione contraria . Per questo la persona posta su un piano girevole ruota nel senso contrario al verso di rotazione della ruota.

 

basta una ruota di bicicletta e una sedia da ufficio

un'idea per dimostrare la conservazione del momento angolare con i geomag

La più importante applicazione della conservazione del momento angolare è il giroscopio.

Un corpo a struttura giroscopica è qualsiasi corpo rigido in rapida rotazione intorno a un suo asse di simmetria, come la trottola. La sua caratteristica principale è che una rapida rotazione le impedisce di cadere (cioè di variare bruscamente l’asse di rotazione). L'invenzione nacque dall'esigenza di dare stabilità alle bussole nelle navi che nel 1600 affrontavano l'oceano

.esperimenti proposti nel video: 1)giroscopio sul filo 2)giroscopio su un piano mantiene la propria posizione 3) uovo sodo e uovo fresco

Un esempio di conservazione del momento angolare lo si può osservare nel pattinaggio:

nel seguente esperimento si sfrutta la conservazione del momento angolare :