LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE

 documentario History

 Isaac Newton

Ragionamento Isaac Newton (1643-1727) : La Luna come la mela è sicuramente attirata dalla Terra . Perchè, a differenza della mela, la Luna non cade? Il motivo è sicuramente da ricondurre al  moto circolare della Luna intorno alla Terra. Pensiamo ad un proiettile sparato orizzontalmente da un cannone posto sulla cima di un monte come mostrato nel disegno di Newton. 

Se aumentiamo progressivamente la velocità iniziale dello sparo, lo spazio di caduta del proiettile aumenterà fino ad essere infinito. In questo caso il proiettile continuerà a cadere all'infinito o meglio entrerà nell'orbita della Terra.  La stessa cosa accade alla Luna.

Assumiamo la Luna in moto circolare intorno alla Terra. Sia R la distanza tra il centro massa della Terra e quello della Luna.

L'accelerazione centripeta è data da:

dove T è il periodo di rivoluzione. 

Per la terza legge di Keplero il rapporto tra il quadrato del periodo e il cubo del raggio è una costante che dipende da centro di gravità (in questo caso la Terra) risulta:

sostituendo nella prima espressione:

quindi la forza di attrazione Terra-Luna è:

La forza è direttamente proporzionale all'inverso del quadrato della distanza. L'espressione rimane la stessa per un qualunque satellite di massa M a distanza R dalla Terra e con costante YT.
La  costante di Keplero della Terra YT si determina considerando il periodo della Luna che è di 27,5 giorni che corrispondono a 2,36 milioni di secondi:

Ora consideriamo come centro di gravità il Sole e la Terra come pianeta che orbita intorno. Il moto della Terra si può considerare con buona approssimazione circolare uniforme. In modo analogo al caso precedente si trova che il Sole attira la Terra con una forza:

dove mT è la massa della Terra e YS è la costante di Keplero relativa al Sole.
Per la III legge della dinamica anche il Sole è attirato dalla Terra con una forza uguale e contraria  data dallo stesso ragionamento precedente:

dove ora è la Terra il centro di gravità. Ponendo uguali le due forze FTS=FST si ottiene:

Questa relazione vale per qualsiasi pianeta/stella dell'universo. Quindi il prodotto massa per costante di Keplero è una COSTANTE UNIVERSALE.

Per comodità poniamo  come costante di gravitazione universale G :

Il valore è di 6,67x10⁻¹¹Nm²/kg². Un valore molto piccolo che ci fa capire che la forza è molto debole.Sono necessarie masse molto grandi come quelle dei pianeti o delle stelle per poter osservare qualche effetto. 
Da un punto di vista teorico la massa gravitazionale responsabile della forza gravitazionale è diversa dalla massa inerziale che esprime l'inerzia dinamica dei corpi. Esperimenti molto accurati hanno dimostrato che i due valori coincidono (ESPERIMENTO DI CAVENDISH).

Se ora prendiamo in considerazione il sistema Terra - Sole possiamo ripetere il ragionamento precedente e ricavare la forza di attrazione data da:

Per introdurre la costante universale moltiplichiamo e dividiamo per la massa della Terra:

In generale si ricava la legge di gravitazione:

Si poteva anche prendere in considerazione la forza che attira il Sole che si moltiplica e si divide per la costante della Terra:

e si ottiene la  LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE.

La forza gravitazionale è sempre attrattiva e diretta lungo la congiungente le due masse, direttamente proporzionale all'inverso del quadrato della distanza e al prodotto delle masse. Per rendersi conto di quanto è debole la forza di gravità calcoliamo la forza tra due persone di 100kg poste a 1m di distanza: F=6,67 10^-7N pari al peso di un corpo di 6 millesimi di grammo.

 videolezione sulla legge di gravitazione

  video lezione del PSSC (Physical Science Study Committee)

 video della Zanichelli sulla determinazione della costante G

video Rai sulla storia del concetto di gravità

Usa la seguente app per la misura della forza gravitazionale tra due masse:

clicca qui

CAMPO GRAVITAZIONALE

Il valore della costante G è stata ricavata nel celebre esperimento di Cavendish intorno al 1800 con la bilancia di torsione. Grazie al valore di G è stato possibile calcolare il valore della massa della Terra.

Video realizzato da PSSC : esperimento di Cavendish

La forza gravitazionale è una forza che agisce a distanza. Se una massa posta in un punto P dello spazio risente di una forza F, diremo che nel punto P è presente un CAMPO GRAVITAZIONALE.
Il campo gravitazionale è una proprietà fisica dello spazio descritta associando ad ogni suo punto P un vettore uguale a g=F/m dove g è il vettore campo dato dal rapporto tra la forza che subisce una massa posta in P e il valore della sua massa. La direzione e il verso sono quelli della forza. 

Il campo in prossimità della superficie terrestre è il vettore g perpendicolare a terra, uniforme e con valore 9,81m/s². L'energia potenziale gravitazionale di un corpo di massa m posto ad un'altezza h da terra vale U=mgh.
Se ci allontaniamo dalla Terra g diminuisce con il quadrato della distanza ed è diretto verso il centro del pianeta.
In questo caso l'ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE si calcola con la seguente espressione:

dove M è la massa del pianeta che genera il campo e x è la distanza del corpo dal centro del pianeta. L'espressione si ricava calcolando il lavoro che le forze del campo compiono sulla massa m per portarla in quella posizione. Infatti anche in questo caso si tratta di un CAMPO CONSERVATIVO: il lavoro svolto dalle forze del campo su una massa m non dipende dal percorso ed è dato dalla differenza dell'energia potenziale nella posizione iniziale e quella finale.

L'energia potenziale gravitazionale è negativa e la massima energia vale zero ad una distanza infinita.

 
In modo analogo a quanto visto in prossimità della superficie della Terra vale la LEGGE DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA:

è costante.