SPETTRI A RIGHE

Nel 1666 Newton fece passare un fascio di luce solare (bianca) attraverso un prisma di vetro . 

Secondo la legge di Snell i raggi di luce vengono rifratti tutti secondo lo stesso angolo e dovrebbero formare una circonferenza bianca. Invece Newton osservò il raggio di luce scomporsi in un insieme di colori detto spettro. Newton dedusse che la luce è composta da diverse componenti cromatiche rifratte in modo diverso dal prisma. Ogni colore ha un indice di rifrazione diverso.
Con la scoperta della natura ondulatoria della luce, il termine spettro venne riferito all'intensità della luce in funzione della lunghezza d'onda o della frequenza (colore della luce).

Esistono 3 tipi di spettri:
- spettro continuo (quello del corpo nero)
- spettro di emissione a righe (sorgente un gas rarefatto)
- spettro di assorbimento (luce che attraversa un gas)

SPETTRO A RIGHE E SPETTRI DI ASSORBIMENTO
Quello che caratterizza lo spettro di emissione e una serie di righe colorate su sfondo nero tipo un codice a barre. Nello spettro di assorbimento le righe sono nere su uno sfondo colorato. Nello stesso spettro solare è possibile individuare queste righe. La serie di righe caratterizzano in modo univoco il gas (elemento chimico) che ha emesso o ha assorbito la radiazione.Ogni linea corrisponde ad un elemento chimico. Dallo studio dello spettro è così possibile risalire alla composizione di una stella.  

Nel 1802 Wollaston nota delle strane linee nere nello spettro solare. Nel 1814 un costruttore di lenti di nome Fraunhofer riuscì ad elencare più di 500 linee.

Intorno al 1850 Kirchhoff e Bunsen scoprono che lo stesso elemento che emette certe frequenze è anche capace di assorbire le stesse. Quindi lo spettro di emissione e spettro di assorbimento dello stesso elemento chimico sono complementari. 

Nel 1885 Balmer, fisico appassionato di numerologia, giunse a tentativi alla semplice formula che fornisce la lunghezza d'onda delle righe visibili dello spettro dell'idrogeno:

 con R=1,097x10^7 m⁻¹

La formula precedente dà la lunghezza d'onda maggiore, 656 nm, per n=3, e dà le altre lunghezze d'onda minori quando n arriva fino a 6. Infatti al crescere di n diminuisce 1/n² e quindi diminuisce la lunghezza d'onda e di conseguenza ci spostiamo verso il violetto. Inoltre al crescere di n le linee tendono a addensarsi verso il limite di 365 nm.

Non tutte le righe di emissione di un atomo di idrogeno sono descritte dalla serie di Balmer. Vi sono righe anche nell'ULTRAVIOLETTO che non è visibile e sono descritte dalla FORMULA DI LYMAN:

 Mentre nell'INFRAROSSO vale la FORMULA DI PASCHEN

  

PERCHE' l'idrogeno e tutti gli altri gas se eccitati emettono spettri a righe e non uno spettro di emissione continuo?

Il motivo è strettamente legato al modello atomico di Bohr.  Ed proprio il fisico danese Bohr che riesce a spiegare lo spettro a righe proponendo un nuovo modello di atomo quantistico. 

Secondo Bohr la frequenza precisa di ciascuna linea spettrale corrisponde all'energia di un salto quantico tra due livelli energetici di un certo atomo. 

Un elettrone posto in un livello eccitato Ei ritorna spontaneamente ad un livello più stabile Ef ed EMETTE un fotone di energia hf uguale alla differenza delle energie dei due livelli: Ei-Ef. Quindi l'atomo di un certo elemento è capace di emettere solo determinate frequenze discrete e questo spiega le linee di emissione dello spettro.

Viceversa un elettrone può passare da un livello meno eccitato Ei ad uno più eccitato Ef solo se ASSORBE l'energia di un fotone e questo avviene solo se la frequenza del fotone e tale che hf=Ei-Ef. Quindi l'atomo è capace di assorbire solo determinate frequenze e questo spiega le righe di assorbimento dello spettro di un elemento.

Quindi la frequenza di ciascuna linea spettrale corrisponde all'energia di un SALTO QUANTICO tra due livelli energetici di un certo atomo. Se l'atomo è in un gas particolarmente CALDO (es: neon) gli elettroni sono in uno stato eccitato e tendono a tornare su orbitali più stabili perdendo energia ed emettendo fotoni con energia hf=Ei-Ef.(SPETTRO DI EMISSIONE). 

Come mostrato in figura ad ogni serie di righe corrisponde lo stato stazionario di arrivo. Nell'atomo di idrogeno gli elettroni che tornano al secondo orbitale formano la serie di Balmer mentre quelli che tornano al primo orbitale formano quella di Lyman. Maggiore è il salto, maggiore è l'energia emessa e quindi uno spostamento verso il violetto. GAS più freddi invece assorbono energia da una sorgente luminosa e spingono un elettrone in un livello più alto; ne risulta una linea di assorbimento scura nello spettro della sorgente retrostante.

Al posto del prisma per separare le diverse componenti della radiazione si possono usare i reticoli di diffrazione composti da una fila di fenditure parallele.

 con :

è l'angolo di diffusione che è maggiore per radiazioni con maggiore lunghezza d'onda (es. rosso)

COME COSTRUIRE UN CD SPETTROSCOPIO

IL MOTO BROWNIANO E NUMERO DI AVOGADRO

Nel 1827 il botanico Robert Brown aveva notato come il polline sospeso in acqua mostra un continuo moto casuale detto moto browniano.
La spiegazione di tale fenomeno venne data solo nel 1905 da Eistein: L'acqua è formata da molecole molto più piccole del granulo di polline. Il granulo si muove come risultato dei continui urti delle molecole che stanno intorno e che sono animate dall'agitazione termica. Le molecole d’acqua colpiscono molto spesso il granulo di polline  e gli urti avvengono, in media, con la stessa frequenza e la stessa forza da tutte le direzioni. Però può succedere che, a un certo istante, siano più forti e più numerosi gli urti che provengono da una parte e il granulo viene spostato dalla parte opposta. 

Così il granulo è spinto ora da una parte e ora dall’altra e segue una traiettoria molto irregolare.

Secondo Eistein il moto del granulo non era solo la prova dell'esistenza delle molecole che lo colpiscono ma anche che erano in numero finito. Se fossero state infinite le spinte casuali dovute agli urti si sarebbere annullate. Dal calcolo statistico dimostrò che lo spostamento quadratico medio era inversamente proporzionale proporzionale proprio al NUMERO DI AVOGADRO  Na. La teoria di Eistein venne confermata da Jean Perrin che dopo misure accurate del moto browniano riuscì anche a determinare il valore del NUMERO DI AVOGADRO. Na

 il video spiega il moto browniano con un semplice esperimento

trasmissione radio sulla storia del modello atomico e il moto browniano 

animazione del moto browniano

 video in inglese spiega il moto browniano con utili animazioni

 il video mostra il moto browniano al microscopio

 documentario in italiano

semplice esperimento sul moto browniano: dimostra come cambia l'agitazione molecolare in fuzione della temperatura

ESPERIMENTO DI MILLIKAN 1911

ESPERIMENTO DI ROBERT MILLIKAN PER LA DETERMINAZIONE DELLA CARICA ELEMENTARE

Delle goccioline di olio vengono nebulizzate e per strofinio si caricano con carica q. Le goccioline cariche vengono poi lasciate cadere tra due armature cariche dove è presente un campo elettrico E diretto verso il basso e subiscono una forza F diretta verso l'alto. A questo punto si varia l'intensità del campo E in modo che alcune goccioline rimangano sospese  : allora in questo caso la forza F è uguale e contraria al peso della gocciolina. 

e si ricava la carica della singola goccia:

Millikan ripete più volte l’esperimento e trova:
–le variazioni delle cariche ottenute sono multipli interi di una carica minima
–valore della carica minima 1,592·10^-19 C (incertezza relativa 1,8·10-3) 
Dato ufficiale più recente:
–1,60217733·10^-19C (incertezza relativa 0,30·10^-6)
NB: nell'esperimento reale le goccioline invece di fermarsi si muovono a velocità costante e per questo si deve considerare anche la forza viscosa. L'equazione diventa un più complessa:

 dove r è il raggio e v la velocità della gocciolina.

 esperimento di Millikan della PSSC

animazione dell'esperimento

applet per eseguire l'esperimento: clicca qui

 applet con Geogebra: clicca qui

 simulatore flash: clicca qui

SPAZIO TEMPO E INVARIANTI RELATIVISTICI

Come visto dalle trasformazioni di Lorentz, il tempo è una coordinata equivalente a quelle spaziali x,y e z. Il tempo non si può separare dallo spazio. 
Parleremo di SPAZIO-TEMPO e un punto dello spazio-tempo si chiamerà EVENTO e sarà del tipo A(ct,x,y,z) . Si considera il prodotto ct e non  solo t per ottenere coordinate dimensionalmente omogenee (in tal modo si possono sommare). Un esempio è l'evento A (ore10.00, stazione di Roma)

Si chiama DIAGRAMMA DI MINKOWSKY il grafico degli eventi rappresentati sul piano ponendo la coordinata ct sull'asse y e la coordinata spaziale sull'asse x (per semplicità consideriamo una sola coordinata spaziale x) . Un fenomeno fisico si rappresenta nello spazio di Minkowsky con una curva che unisce una successione di eventi . Questa curva è anche detta LINEA DI UNIVERSO. Ad esempio una linea che parte da A(ore10.00, stazione di Roma) e arriva a B(ore 11.10, stazione di Firenze) è l'insieme degli eventi possono rappresentare il viaggio con partenza alle 10.00 dalla stazione di Roma e arrivo alle ore 11.10 alla stazione di Firenze dando la posizione in ogni istante del viaggio. 

In particolare un oggetto in moto alla velocità della luce viene ad essere rappresentato da una linea inclinata di 45°rispetto agli assi. 

NB: tangenti con pendenze maggiori di 45° indicano velocità minori a c perchè gli assi s e t sono scambiati. Per questo motivo le linee di universo sono possibili solo sopra la linea di luce nel caso t>0.
Un esempio di rappresentazione è la seguente:

Come si spiega? Il sistema di riferimento è fissato in quiete rispetto al treno ed è quindi la stazione che si muove . Il punto-evento d'incontro è l'arrivo del treno in stazione.

Come è noto la distanza Euclidea tra due punti A e B in fisica classica mantiene lo stesso valore cambiando sistema di riferimento inerziale (è un invariante) mentre in relatività ristretta cambia valore (contrazione delle lunghezze). 
Le trasformazioni di Lorentz sono  trasformazioni dello spazio tempo che non conservano la classica distanza euclidea. Quindi nello spazio tempo cambia la metrica. La distanza tra due eventi A(ct1,x1) e B(ct2,x2) si calcola diversamente nel seguente modo:

La distanza tra due eventi è detta INTERVALLO SPAZIO-TEMPORALE .
Notare che non siamo in presenza di una metrica Euclidea e il segno della distanza può essere negativo.
La distanza tra eventi è come la velocità della luce, un INVARIANTE RELATIVISTICO. Cosa vuol dire?
Significa che il suo valore non cambia passando da un sistema inerziale S ad S' . Il valore è lo stesso in tutti i sistemi inerziali. 
E' quello che accade per le distanze tra due punti in fisica classica: la distanza rimane la stessa per tutti gli osservatori.
VERIFICA: per semplificare il calcolo consideriamo una distanza tra un evento O(0,0) e l'evento A (ct,x).

Se O è l'evento "qui ora", la retta bisettrice è la linea di universo di un raggio di luce che esce da O.
Passare da un sistema S ad un altro S' in moto relativo equivale ad una rotazione degli assi in modo simmetrico alla bisettrice del primo quadrante. (vedi animazione)

Consideriamo i seguenti casi al variare del segno dell'INTERVALLO SPAZIO-TEMPORALE tra due eventi ds²

1° caso: ds²>0 
L'intervallo si dice di GENERE TEMPO perchè prevale la componente tempo su quella spazio. I due eventi si possono connettere da una relazione di CAUSA - EFFETTO (si dice che sono casualmente connessi). L'evento A può essere la conseguenza dell'evento B.
Infatti si possono collegare con un segnale (la cui velocità è sempre minore o uguale a quella della luce) 

dove v è la velocità del segnale.
Tale relazione rimane la stessa rispetto a tutti i sistemi inerziali. Quindi non esiste un sistema inerziale dove si può invertire causa - effetto.


2°caso:ds²=0
Anche in questo caso i due eventi  si collegano ma solo con un segnale luminoso con velocità c.

3°caso: ds²<0
L'intervallo si dice di GENERE SPAZIO.
I due eventi non sono collegati . Non esiste nessun segnale che può collegare i due eventi. Non possono essere la causa o l'effetto dell'altro. Si dicono CASUALMENTE DISCONNESSI cioè si possono influenzare in nessun modo. Ad esempio due eventi simultanei.

Fissato un evento O , gli eventi  che sono divisi da O con un intervallo di genere tempo formano il FUTURO e il PASSATO di O nel senso di eventi su cui O può avere influenza o che possono influenzare O. Quelli con intervallo da O di tipo spazio formano il presente: eventi che non sono influenzati da O .
Si rappresenta graficamente nel DIAGRAMMA DI MINKOWSKY come un doppio cono detto CONO DI LUCE

Ad esempio consideriamo i due eventi : A(ore 10.00, stazione ) B(ore 11.00, scuola) e supponiamo che la velocità massima raggiungibile sia c=100Km/h. Se la scuola si trova a 90 km i due eventi sono separati da un intervallo di tipo tempo. Se invece la scuola si trova a 200Km l'evento B non sarà mai raggiungibile partendo dall'evento A.

EFFETTO DOPPLER RELATIVISTICO

L'effetto Doppler classico si verifica quando vi è un moto relativo tra l'osservatore e la sorgente di onde sonore. Il fenomeno consiste in una frequenza misurata dal ricevitore diversa da quella emessa dalla sorgente. Ricordiamo inoltre che il risultato non è simmetrico ossia è diverso quando si muove la sorgente rispetto a quando si muove l'osservatore- ricevitore.  (clicca qui).

dove u0 è la velocità dell'osservatore e us  è la velocità della sorgente sonora se si muove. Il segno + posto sopra si considera se c'è avvicinamento, quello sotto se c'è allontanamento relativo. Ricordiamo che nel caso di osservatore che si muove e sorgente ferma cambia la velocità del suono misurata dall'osservatore per la legge di composizione delle velocità (questo con la luce non accade), mentre nel caso di sorgente in movimento e osservatore fermo cambia la lunghezza d'onda misurata dall'osservatore e questo perché cambia la distanza tra i fronti d'onda emessi. Nel caso del suono è perciò possibile dedurre il nostro moto e il moto della sorgente rispetto al mezzo (rispetto all'aria) che è anch'esso un sistema di riferimento. Usando un'analogia, è come trovarsi in una barca in mare aperto e misurare la frequenza delle onde che investono la barca. Possiamo sicuramente capire se ci muoviamo rispetto al mare. Se  le onde sono generate da una sorgente (ad esempio una seconda nave che passa vicino) possiamo capire se siamo noi o è la sorgente a muoversi rispetto al mare. Quindi possiamo stabilire solo dei moti relativi tra sistemi inerziali.  Questo non contraddice il principio di relatività.

Anche per una sorgente di luce in movimento si verifica l'effetto Doppler con una sostanziale differenza rispetto al suono: Il suono si propaga nell'aria e la luce nel vuoto.
In questo caso la velocità dell'onda luminosa rimane la stessa : se l'osservatore si muove rispetto all'onda luminosa misura sempre una velocità c. Quindi l'effetto Doppler è solo dovuto a una variazione della misura della lunghezza d'onda dell'osservatore.
Il principio di relatività di Einstein vieta che sia possibile una distinzione tra sorgente  e osservatore. Nel caso delle onde elettromagnetiche nel vuoto non si deve poter stabilire se è in moto l'osservatore oppure l'emettitore e i due casi devono essere indistinguibili, cioè la formula per l'effetto Doppler deve essere la stessa nelle due situazioni. (per il principio di RELATIVITA').
Se osservatore A e sorgente si AVVICINANO con velocità v vale il seguente EFFETTO DOPPLER RELATIVISTICO:

la frequenza misurata aumenta. Ad esempio se una stella si avvicina la luce visibile si sposta verso frequenze più alte (BLU SHIFT). NB:Da questo fenomeno non è possibile evidenziare il moto del proprio sistema ma solo il moto relativo.
Se osservatore e sorgente si allontanano si sostituisce v con -v e si ottiene:

in questo caso la frequenza diminuisce. Un classico esempio del fenomeno è il così detto RED SHIFT : la frequenza della luce proveniente da tutte le stelle si sposta verso il rosso se misurata dalla Terra e ciò è la dimostrazione dell'espansione dell'universo.

Questo vale se il moto avviene nella direzione congiungente sorgente - osservatore altrimenti è più complesso.

DIMOSTRAZIONE :
Come già affermato la velocità dell'onda luminosa rimane sempre c a prescindere dal moto dei sistemi. Quindi si può verificare solo il caso della variazione della lunghezza d'onda. In questo caso, quando vi è avvicinamento relativo  con velocità vs tra sorgente e osservatore, si ha:

dove f₀ è la frequenza generata dalla sorgente e fₐ è la frequenza modificata per il moto relativo.

A sua volte fₐ è misurata con un valore diverso f' dall'osservatore. Infatti la sorgente è di fatto un orologio che misura un tempo proprio dato da TA=1/fA.

L'osservatore misura un tempo dilatato dato da T'=𝛶TA e quindi: f'=1/T'  ,   f'=1/𝛶TA=fA/𝛶

la frequenza è quindi contratta per effetto relativistico e risulta:

questo nel caso di avvicinamento. Nel caso di allontanamento dalla sorgente si sostituisce v con -v (cambiano i segni)

e quindi:

ATTENZIONE: per stabilire i segni bisogna capire se vi è avvicinamento tra sorgente e osservatore o allontanamento. Ad esempio vi è allontanamento se entrambi procedono verso destra con quello davanti più veloce e vi è avvicinamento se quello davanti è più lento.

Per velocità relative v piccole (v/c<<1) il calcolo della frequeza si può approssimare alla seguente :

infatti risulta:

per dimostrarlo basta ricordare che f(x)=f(0)+Df(0)x+....
(polinomio di Taylor)

PROBLEMI
Walker pag ?

 

RISOLUZIONE

 

TRASFORMAZIONI DI LORENTZ e COMPOSIZIONE VELOCITA'

Consideriamo un sistema inerziale S' che si muove con velocità v rispetto ad un sistema inerziale S. Per comodità consideriamo un moto nella direzione dell'asse x che al tempo t=t'=0 coincidano.

Se v/c è piccolo per passare da un sistema all'altro si usano le trasformazioni Galileiane:

dove il tempo t è per ipotesi lo stesso in tutti i sistemi inerziali (tempo assoluto)
Da questo consegue la legge di composizione delle velocità. Se un corpo ha una velocità wx rispetto al sistema S la velocità misurata nel sistema S' è : w'x=wx-v
La luce non si comporta in questo modo. La velocità della luce è la stessa per S e per S' (II POSTULATO della relatività). La differenza si nota quando la velocità relativa dei due sistemi si avvicina a c.

Le trasformazioni Galileiane sono da modificare perché non più valide per sistemi che si muovono con velocità relative prossime a quella della luce.
Ricaviamo le trasformazioni:
Sicuramente è ancora y'=y perché il moto è nella direzione dell'asse x
Posto:
x'=k(x-vt)
x=k(x'+vt') è l'inversa che si deve ottenere per simmetria sostituendo :
v con -v
x con x'
t con t'
per il principio di relatività il k è lo stesso per i due osservatori.
Un raggio di luce che esce dall'origine O al tempo t=t'=0s percorre uno spazio :
x=ct   calcolato da S
x'=ct'  calcolato da S'
infatti la velocità della luce è la stessa per S e per S'. Sostituendo si ha:
ct'=k(ct-vt)
ct=k(ct'+vt')
se le moltiplico insieme ottengo:
c²tt'=k²tt'(c-v)(c+v)
Semplificato tt' risulta :

detto FATTORE DI LORENTZ.
NB: k =1 per v molto più piccolo della velocità della luce e in questo caso si trasforma nelle trasformazioni Galileiane classiche.
Inoltre si nota che v deve essere sempre minore di 1. Esiste un limite al valore della velocità ed è c.
Determiniamo ora come varia il tempo:
devo ricavare t' in funzione di t. Partiamo dall'equazione : x=k(x'+vt')
x/k=k(x-vt)+vt'
e ricavando t' ottengo:

Quindi le TRASFORMAZIONI dette DI LORENTZ sono:

oppure in forma più compatta:

LEGGE DI COMPOSIZIONE DELLE VELOCITA':

Sia u la velocità di un corpo misurata in un sistema S. Per ora supponiamo che il corpo si muova nella direzione dell'asse x.

Se u' è la velocità misurata dal sistema S' in moto con velocità v rispetto ad S è data da:

Quindi:

è la legge di composizione delle velocità.
NB: se il corpo che si muove è la luce e u=c allora sostituendo si ottiene che :

e quindi le leggi di trasformazione della velocità sono in accordo con il postulato (la velocità della luce è la stessa per ogni sistema di riferimento e non dipende dalla velocità relativa)

Esempio:
Supponiamo un'astronave si avvicini alla Terra a metà della velocità della luce e spari un missile ad una velocità di 0,750 c. (a) A quale velocità un osservatore legato alla Terra vedrà il missile se viene sparato verso la Terra? (b) Se viene sparato in direzione contraria?

a) posto con S' il sistema del missile e con S il sistema Terra , v=0,5c è la velocità relativa allora se u'=0,75c

b)nel caso b il missile ha velocità u'=-0,75c e sostituendo si ottiene: u=0,4c

ATTENZIONE: per stabilire i segni delle velocità u e u' bisogna capire se vi è avvicinamento o allontanamento del corpo considerato dall'origine del sistema. Il verso della velocità non basta. Infatti vi può essere avvicinamento anche se entrambi procedono nello stesso verso e quello davanti è più lento. 

COME CALCOLARE UNA LUNGHEZZA :Per calcolare la lunghezza di un missile che si muove rispetto al sistema S devo determinare le coordinate x1 e x2 delle estremità prese nello stesso istante t1=t2 rispetto al sistema S. Quindi la lunghezza si ottiene con due eventi  (x1,t1) e (x2,t1) SIMULTANEI rispetto al sistema S.
Per misurare la lunghezza del missile rispetto ad un sistema di riferimento S' che si muove di moto relativo rispetto a S posso usare la contrazione delle lunghezze se anche rispetto a S' i due eventi sono simultanei altrimenti devo applicare le trasformazioni di Lorentz dei due eventi :
𝛥x'=|x2'-x1'|
Ricordiamo che due eventi simultanei rispetto ad un sistema S non lo sono rispetto a un sistema S'

COME CALCOLARE UN INTERVALLO DI TEMPO : Per calcolare la durata di un fenomeno rispetto ad un sistema S è importante che il fenomeno si verifichi nello STESSO PUNTO x1=x2 : allora
𝛥t=|t2-t1|
La durata del fenomeno rispetto ad un sistema S' che si muove di moto relativo è dato da 
𝛥t'=𝛄𝛥t 
se anchè rispetto a S' si svolge nello stesso punto (x1'=x2') altrimenti per trovare 𝛥t' bisogna trovare i trasformati dei due eventi con le trasformazioni di Lorentz.