EFFETTO DOPPLER RELATIVISTICO

L'effetto Doppler classico si verifica quando vi è un moto relativo tra l'osservatore e la sorgente di onde sonore. Il fenomeno consiste in una frequenza misurata dal ricevitore diversa da quella emessa dalla sorgente. Ricordiamo inoltre che il risultato non è simmetrico ossia è diverso quando si muove la sorgente rispetto a quando si muove l'osservatore- ricevitore.  (clicca qui).

dove u0 è la velocità dell'osservatore e us  è la velocità della sorgente sonora se si muove. Il segno + posto sopra si considera se c'è avvicinamento, quello sotto se c'è allontanamento relativo. Ricordiamo che nel caso di osservatore che si muove e sorgente ferma cambia la velocità del suono misurata dall'osservatore per la legge di composizione delle velocità (questo con la luce non accade), mentre nel caso di sorgente in movimento e osservatore fermo cambia la lunghezza d'onda misurata dall'osservatore e questo perché cambia la distanza tra i fronti d'onda emessi. Nel caso del suono è perciò possibile dedurre il nostro moto e il moto della sorgente rispetto al mezzo (rispetto all'aria) che è anch'esso un sistema di riferimento. Usando un'analogia, è come trovarsi in una barca in mare aperto e misurare la frequenza delle onde che investono la barca. Possiamo sicuramente capire se ci muoviamo rispetto al mare. Se  le onde sono generate da una sorgente (ad esempio una seconda nave che passa vicino) possiamo capire se siamo noi o è la sorgente a muoversi rispetto al mare. Quindi possiamo stabilire solo dei moti relativi tra sistemi inerziali.  Questo non contraddice il principio di relatività.

Anche per una sorgente di luce in movimento si verifica l'effetto Doppler con una sostanziale differenza rispetto al suono: Il suono si propaga nell'aria e la luce nel vuoto.
In questo caso la velocità dell'onda luminosa rimane la stessa : se l'osservatore si muove rispetto all'onda luminosa misura sempre una velocità c. Quindi l'effetto Doppler è solo dovuto a una variazione della misura della lunghezza d'onda dell'osservatore.
Il principio di relatività di Einstein vieta che sia possibile una distinzione tra sorgente  e osservatore. Nel caso delle onde elettromagnetiche nel vuoto non si deve poter stabilire se è in moto l'osservatore oppure l'emettitore e i due casi devono essere indistinguibili, cioè la formula per l'effetto Doppler deve essere la stessa nelle due situazioni. (per il principio di RELATIVITA').
Se osservatore A e sorgente si AVVICINANO con velocità v vale il seguente EFFETTO DOPPLER RELATIVISTICO:

la frequenza misurata aumenta. Ad esempio se una stella si avvicina la luce visibile si sposta verso frequenze più alte (BLU SHIFT). NB:Da questo fenomeno non è possibile evidenziare il moto del proprio sistema ma solo il moto relativo.
Se osservatore e sorgente si allontanano si sostituisce v con -v e si ottiene:

in questo caso la frequenza diminuisce. Un classico esempio del fenomeno è il così detto RED SHIFT : la frequenza della luce proveniente da tutte le stelle si sposta verso il rosso se misurata dalla Terra e ciò è la dimostrazione dell'espansione dell'universo.

Questo vale se il moto avviene nella direzione congiungente sorgente - osservatore altrimenti è più complesso.

DIMOSTRAZIONE :
Come già affermato la velocità dell'onda luminosa rimane sempre c a prescindere dal moto dei sistemi. Quindi si può verificare solo il caso della variazione della lunghezza d'onda. In questo caso, quando vi è avvicinamento relativo  con velocità vs tra sorgente e osservatore, si ha:

dove f₀ è la frequenza generata dalla sorgente e fₐ è la frequenza modificata per il moto relativo.

A sua volte fₐ è misurata con un valore diverso f' dall'osservatore. Infatti la sorgente è di fatto un orologio che misura un tempo proprio dato da TA=1/fA.

L'osservatore misura un tempo dilatato dato da T'=𝛶TA e quindi: f'=1/T'  ,   f'=1/𝛶TA=fA/𝛶

la frequenza è quindi contratta per effetto relativistico e risulta:

questo nel caso di avvicinamento. Nel caso di allontanamento dalla sorgente si sostituisce v con -v (cambiano i segni)

e quindi:

ATTENZIONE: per stabilire i segni bisogna capire se vi è avvicinamento tra sorgente e osservatore o allontanamento. Ad esempio vi è allontanamento se entrambi procedono verso destra con quello davanti più veloce e vi è avvicinamento se quello davanti è più lento.

Per velocità relative v piccole (v/c<<1) il calcolo della frequeza si può approssimare alla seguente :

infatti risulta:

per dimostrarlo basta ricordare che f(x)=f(0)+Df(0)x+....
(polinomio di Taylor)

PROBLEMI
Walker pag ?

 

RISOLUZIONE

 

EFFETTO DOPPLER

Data un'onda che si propaga nello spazio, si definisce fronte d'onda l'insieme dei punti contigui che oscillano in fase (cioè concordemente. I fronti d'onda possono coincidere con le creste delle onde. Se si getta un sasso in acqua i fronti d'onda sono circolari. La distanza tra due fronti d'onda è la lunghezza d'onda.

Quando la sorgente di un suono è ferma i fronti d'onda sono sfere concentriche.

L'effetto Doppler è un fenomeno ondulatorio dovuto al moto relativo della SORGENTE e del RICEVITORE (osservatore) e consiste nella variazione della frequenza percepita dal ricevitore. Consideriamo il caso del suono.

La frequenza aumenta se sorgente e ricevitore si avvicinano .
La frequenza diminuisce se la sorgente e ricevitore si allontanano. 

La frequenza è data dal rapporto tra velocità del suono rispetto al ricevitore e la sua lunghezza d'onda.

 Possiamo distinguere i seguenti casi:

OSSERVATORE IN MOVIMENTO e sorgente ferma

1) Osservatore che si avvicina con velocità u :

Per l'osservatore la velocità del suono è v+u (Legge di composizione delle velocità) e quindi la frequenza misurata è: 

dove f è la frequenza generata e f' è la frequenza misurata. Risulta che f'>f.

2) Osservatore che si ALLONTANA con velocità u

Ora per l'osservatore la velocità del suono è v-u e quindi la frequenza percepita è:

e quindi quando l'osservatore si allontana la frequenza diminuisce.

SORGENTE IN MOTO e osservatore fermo

1) sorgente che si avvicina

in questo caso la velocità del suono rispetto all'osservatore rimane la stessa dopo che è stata generata perchè si muove nel mezzo aria che è indipendente dal moto della sorgente.
Quello che cambia per l'osservatore fermo è la lunghezza d'onda che risulta inferiore.
Infatti se nel tempo di un periodo T una cresta dell'onda si è spostata di vt, nello stesso tempo la sorgente avanza di uT e genera una nuova cresta. Le due creste hanno quindi una distanza 𝜆₀=vT-uT=(v-u)T che è pari alla lunghezza d'onda misurata dall'osservatore.

e risulta f'>f.

2) sorgente che si allontana
In modo analogo la lunghezza d'onda misurata dall'osservatore è
vT+uT =T(u+v)
e risulta :

la frequenza è:

FORMULA GENERALE DELL'EFFETTO DOPPLER

dove uₒ è la velocità dell'osservatore e uₛ  è la velocità della sorgente e v è la velocità del suono ( o più in generale dell'onda). 

Il segno sopra (+/-) si considera se c'è avvicinamento muovendosi una verso l'altro , il segno sotto (-/+) se si allontanano tra loro muovendosi in direzioni opposte.
Se la sorgente insegue l'osservatore si considera (-/-).

Se invece è l'osservatore ad inseguire la sorgente(+/+)

applet sull'effetto Doppler

applet simulazione effetto Doppler clicca qui

 

video in inglese ma molto chiaro e semplice nella spiegazione

 caso limite: BOOM SONICO
Si verifica quando la sorgente raggiunge e supera la velocità del suono: 

ESPERIMENTI SULL'EFFETTO DOPPLER

semplice dimostrazione dell'effetto doppler: passaggio di una macchina che suona il clacson