Data un'onda che si propaga nello spazio, si definisce fronte d'onda l'insieme dei punti contigui che oscillano in fase (cioè concordemente. I fronti d'onda possono coincidere con le creste delle onde. Se si getta un sasso in acqua i fronti d'onda sono circolari. La distanza tra due fronti d'onda è la lunghezza d'onda.
Quando la sorgente di un suono è ferma i fronti d'onda sono sfere concentriche.
L'effetto Doppler è un fenomeno ondulatorio dovuto al moto relativo della SORGENTE e del RICEVITORE (osservatore) e consiste nella variazione della frequenza percepita dal ricevitore. Consideriamo il caso del suono.
La frequenza aumenta se sorgente e ricevitore si avvicinano . La frequenza diminuisce se la sorgente e ricevitore si allontanano.
La frequenza è data dal rapporto tra velocità del suono rispetto al ricevitore e la sua lunghezza d'onda.
Possiamo distinguere i seguenti casi:
OSSERVATORE IN MOVIMENTO e sorgente ferma
1) Osservatore che si avvicina con velocità u :
Per l'osservatore la velocità del suono è v+u (Legge di composizione delle velocità) e quindi la frequenza misurata è:
dove f è la frequenza generata e f' è la frequenza misurata. Risulta che f'>f.
2) Osservatore che si ALLONTANA con velocità u
Ora per l'osservatore la velocità del suono è v-u e quindi la frequenza percepita è:
e quindi quando l'osservatore si allontana la frequenza diminuisce. SORGENTE IN MOTO e osservatore fermo 1) sorgente che si avvicina
in questo caso la velocità del suono rispetto all'osservatore rimane la stessa dopo che è stata generata perchè si muove nel mezzo aria che è indipendente dal moto della sorgente. Quello che cambia per l'osservatore fermo è la lunghezza d'onda che risulta inferiore. Infatti se nel tempo di un periodo T una cresta dell'onda si è spostata di vt, nello stesso tempo la sorgente avanza di uT e genera una nuova cresta. Le due creste hanno quindi una distanza 𝜆₀=vT-uT=(v-u)T che è pari alla lunghezza d'onda misurata dall'osservatore.
e risulta f'>f.
2) sorgente che si allontana In modo analogo la lunghezza d'onda misurata dall'osservatore è vT+uT =T(u+v) e risulta :
la frequenza è:
FORMULA GENERALE DELL'EFFETTO DOPPLER
dove uₒ è la velocità dell'osservatore e uₛ è la velocità della sorgente e v è la velocità del suono ( o più in generale dell'onda).
Il segno sopra (+/-) si considera se c'è avvicinamento muovendosi una verso l'altro , il segno sotto (-/+) se si allontanano tra loro muovendosi in direzioni opposte.
Se la sorgente insegue l'osservatore si considera (-/-).
Se invece è l'osservatore ad inseguire la sorgente(+/+)
Ogni corpo possiede una propria frequenza caratteristica. Quando viene sollecitato da un’onda avente la stessa frequenza, o una sua frequenza multipla, inizia a vibrare con la massima energia secondo le configurazioni delle onde stazionarie. L’energia rimane localizzata solo in alcune zone. Numerosi eventi naturali possono essere spiegati attraverso il fenomeno della risonanza.
Esempi pratici:
Meccanica
1)Altalena: se spinta al ritmo giusto, aumenta l’ampiezza del moto. La persona che spinge è in risonanza con il moto armonico dell'altalena. Solo in tale condizione l'altalena si muove con la massima energia.
2) Ponti sospesi: possono oscillare pericolosamente se sollecitati da vento o passi sincronizzati . Un esempio famoso è il crollo del ponte di Tacoma 1940. Il ponte venne investito da raffiche di vento che si ripetono con una frequenza uguale a quella caratteristica del ponte circa 0.2Hz equivalenti a 12 oscillazioni al minuto.
Il ponte era lungo complessivamente 1600 m e presentava una campata di 850 m. Era stato progettato per resistere a venti di uragano fino a 200 km/h. Tuttavia, crollò quattro mesi dopo la sua apertura, sotto un vento di circa 68 km/h, molto inferiore al massimo previsto. Non si tratta di una contraddizione: nel caso della risonanza, infatti, l’energia si concentra in alcune zone specifiche e non sull’intera struttura. Nella progettazione di ponti e altre opere ingegneristiche è sempre necessario considerare il fenomeno della risonanza. Anche per questo motivo alle truppe militari viene imposto di attraversare i ponti in ordine sparso.
Edifici e terremoti: durante i terremoti, alcune strutture entrano in risonanza con le onde sismiche.
Acustica:
Bicchiere di cristallo: può rompersi se colpito da un suono alla sua frequenza naturale.
Strumenti musicali: le casse armoniche (chitarra, violino, pianoforte) amplificano il suono grazie alla risonanza.
Elettromagnetismo
Circuiti risonanti: nelle radio e nei telefoni, selezionano la frequenza desiderata.
Microonde: sfruttano la risonanza delle molecole d’acqua per riscaldare i cibi.
Natura
Canto degli insetti: cavità corporee amplificano il suono.
Onde marine: possono entrare in risonanza con bacini o porti, amplificando il moto ondoso.
Consideriamo una sorgente che oscilla di moto armonico semplice con equazione y=Asen(𝛚t) dove A è l'ampiezza e 𝛚 è la pulsazione. Fissato un sistema di riferimento con origine in O dove è posta la sorgente S e con verso positivo che coincide con quello di propagazione dell'onda, sia P un punto del mezzo con ascissa x (e quindi distante x dalla sorgente). Se v è la velocità dell'onda, il punto P inizia ad oscillare con un certo ritardo to rispetto alla sorgente dato dal tempo che l'onda impiega a propagarsi di una distanza x e quindi to=x/v
Il punto P si muove con equazione data da: y=Asen𝛚(t-to)
e quindi : y=Asen𝛚(t-x/v)
L'equazione dell'onda si può scrivere nella forma:
L'equazione descrive la posizione y di ogni punto del mezzo con posizione x rispetto alla sorgente in un ogni istante t.
Il fenomeno della riflessione avviene quando l'onda incontra un ostacolo.
L'onda riflessa sull'estremità fissa di una corda risulta ribaltata per la terza legge della dinamica. Se la seconda estremità è libera di muoversi l'onda riflessa non è più ribaltata.
INTERFERENZA : quando due onde si "incontrano" si sommano algebricamente e proseguono inalterate (stessa ampiezza, stessa frequenza , stessa velocità). Questo è un tipico comportamento ondulatorio ben diverso da quello corpuscolare : infatti due particelle dopo lo scontro cambiano il loro moto. Possiamo avere interferenza costruttiva oppure interferenza distruttiva.
interferenza costruttiva d'impulsi
interferenza distruttiva d'impulsi
esperimento per verificare l'interferenza di onde trasversali
ONDE STAZIONARIE: sono generate dall'interferenza tra l'onda generata e l'onda riflessa. Solo per alcune particolari frequenze (frequenze armoniche) l'onda appare ferma (l'energia rimane "stazionaria" in determinate zone dette VENTRI) L'onda stazionaria è anche caratterizzata da punti fermi detti nodi.
esperimento di onde stazionarie su una corda tesa
Queste configurazioni si ottengono solo per determinate frequenze dette frequenze armoniche. La prima armonica (detta anche FONDAMENTALE) è quella con un solo ventre e 2 nodi (le estremità). La sua lunghezza d'onda è il doppio della lunghezza della corda (lo si vede graficamente) 𝜆=2L e la frequenza è data da v=𝜆f e f₁=v/𝜆=v/2L. La seconda armonica è formata da due ventri e tre nodi. Allora : 𝜆=L e f₂=v/L=2f₁ In generale le armoniche hanno frequenze multiple della fondamentale. fₙ=nf₁ Questo è uno dei pochi esempi di grandezze discrete della fisica classica.
ONDE STAZIONARIE SONORE IN UN TUBO 1° CASO : tubo aperto ad entrambe le estremità
Sia L la lunghezza del tubo. Alle estremità aperte vi saranno sicuramente dei ventri. La prima armonica è caratterizzata da un nodo centrale. 𝜆=2L e quindi f=v/2L Per n=2 ho due nodi e 𝜆=L allora f=v/L =2f₁ 2° CASO : tubo chiuso ad un'estremità
La parte chiusa è un nodo. La prima armonica è formata da un nodo e un ventre: L=𝜆/4 e 𝜆=4L e f₁=v/4L La seconda armonica: L=(3/4)𝜆 e quindi 𝜆=(4/3)L e f₂=(3v/4)L=3f₁ Le armoniche sono multipli dispari della fondamentale.
ANALISI ALGEBRICA: Data l'onda generata e l'onda riflessa con equazioni:
l'interferenza è data dalla somma algebrica delle equazioni:
ricordando le formule di prostaferesi del seno:
si ottiene: e quindi:
In questa equazione lo spazio e il tempo risultano separati: significa che l'onda è ferma. Fissato un punto P della corda di ascissa x questo oscilla con ampiezza :
Consideriamo una sorgente che oscilla di moto armonico semplice con equazione y=Asen(𝛚t) dove A è l'ampiezza e 𝛚 è la pulsazione. Fissato un sistema di riferimento con origine in O dove è posta la sorgente S e con verso positivo che coincide con quello di propagazione dell'onda, sia P un punto del mezzo con ascissa x (e quindi distante x dalla sorgente). Se v è la velocità dell'onda, il punto P inizia ad oscillare con un certo ritardo to rispetto alla sorgente dato dal tempo che l'onda impiega a propagarsi di una distanza x e quindi to=x/v
l'interferenza è data dalla somma algebrica delle equazioni:
e quindi: 
