RELATIVITA' SPECIALE DI EISTEIN: LA DILATAZIONE DEL TEMPO

L'OROLOGIO DI LUCE è formato da due specchi paralleli posti ad una distanza L. L'intervallo di tempo elementare misurato è quello che un raggio di luce emesso da una sorgente posta nel primo specchio impiega per andare e tornare dopo aver subito una riflessione sul secondo specchio. 

E' detto TEMPO PROPRIO quello misurato rispetto al sistema a riposo con l'orologio ed è dato da:

Il TEMPO PROPRIO è inteso come tempo che separa due eventi che si verificano nello stesso punto dello spazio.
Se ad esempio vedo partire l'astronave che viaggia verso Vega a velocità v il tempo impiegato non è un tempo proprio perchè la partenza e l'arrivo avvengono in luoghi diversi. 

Per un un secondo osservatore inerziale che si muove con velocità v nella direzione x rispetto al sistema S dell'orologio la luce percorre un percorso a zig-zag come mostrato in figura:

Il percorso della luce è più lungo è viene percorso con la stessa velocità (per il II postulato). L'intervallo di tempo misurato è sicuramente maggiore. Tale fenomeno è detto DILATAZIONE DEI TEMPI. L'orologio visto da un qualunque osservatore in moto relativo  lo vede rallentare rispetto al suo.
Per il teorema di Pitagora risulta:

Dove t è il tempo misurato dall'orologio secondo l'osservatore in moto relativo. Si ricava:

dove 𝛄  è detto FATTORE DI LORENTZ ed è il fattore di dilatazione.

Il seguente grafico mostra come varia la dilatazione 𝛄(v) in funzione della velocità relativa v dei sistemi:

Dallo studio della funzione di vede che è definita per -c<v<c 

Se v=0 allora 

𝛄(0)=1

e quindi pone un limite al valore della velocità che non può mai superare la velocità della luce.

Vediamo il grafico costruito con Geogebra:

Si vede che fino a 0,1c la dilatazione è approssimabile a 1. Questo vuol dire che per velocità minori di 30000Km/s (circa 110 milioni di km/h velocità molto elevata per la nostra esperienza) non risentiamo di effetti relativistici e si può considerare valida la fisica Newtoniana. Se il sistema si muove a 0,7c il fattore vale 1,4 e quindi l'orologio in quiete rispetto al sistema è rallentato del 40%.

ATTENZIONE: Per il principio di relatività i sistemi inerziali devono essere equivalenti. Consideriamo due sistemi inerziali in moto relativo a velocità v. Siano O e O' i rispettivi osservatori . O vede l'orologio di O' rallentare rispetto al suo. Anche l'osservatore O' vede l'orologio di O rallentare nello stesso modo rispetto al suo orologio. Le situazioni sono sempre simmetriche . I due sistemi sono equivalenti. Ogni osservatore è convinto che il suo tempo scorra normalmente mentre quello dell'altro è rallentato.

Il seguente video tratto da "Super Quark" (ITA) spiega quali sono i paradossi relativistici e a quali velocità si possono osservare.  In particolare mostra la relazione tra la velocità del sistema , il tempo e lo spazio. 

Anche il seguente video spiega con animazioni e disegni la dilatazione del tempo e la contrazione delle distanze (ING)

semplice spiegazione  sulla dilatazione dei tempi

Una dimostrazione sperimentale della dilatazione dei tempi è uno storico esperimento del DECADIMENTO DEI MUONI. 

I muoni sono particelle che si generano con l'interazione tra i raggi cosmici e l'atmosfera terrestre e decadono in breve tempo.I muoni viaggiano verso la Terra ad una velocità molto vicina a quella della luce. Se T è il loro tempo di decadimento rispetto ad un sistema in quiete rispetto alla particella, il periodo in un sistema solidale con la Terra è dilatato cioè vivono di più. Tenendo conto del periodo T dovrebbero arrivare a terra un numero N di muoni. Invece il numero di muoni che arrivano a Terra senza decadere sono molti di più. E' la prova che il tempo è dilatato!

Il seguente video della pssc (ITA) descrive l'esperimento.

Segue un documentario di Rai - scuola sulla dilatazione del tempo.

Nel seguente video viene raccontato un'altro esperimento famoso che dimostra la dilatazione del tempo è quello del 1971 di Hafele-Keating. La velocità della terra intorno al proprio asse è di circa 1800 Km/h all'equatore. Due aeri di linea volano in direzione opposta (uno verso est e l'altro verso ovest) intorno all'equatore alla velocità di 1000 km/h. Allora la velocità  relativa alla Terra è di 1000+1800 =2800Km/h se l'aereo vola verso ovest e di 1800-1000 =800 km/h se vola verso est.

Due orologi atomici posti sugli aerei segneranno un tempo diverso tra loro e rispetto ad un orologio posto a terra. il ritardo o l'anticipo è dell'ordine del pico secondo.

Altra dimostrazione inconfutabile della dilatazione del tempo è il funzionamento del GPS. Il GPS è costituito da 24 satelliti in orbita intorno alla Terra con periodo di 12 ore e con una velocità di 3,9 Km/s (rispetto ai circa 0,5Km/s del suolo) . Ogni satellite usa un suo orologio atomico il cui tempo deve venir corretto perchè segni lo stesso tempo dell'orologio posta a terra.

segue una videolezione che spiega da un punto di vista matematico la dilatazione del tempo.

  

esperimento teorico spiega la dilatazione dei tempi 

Le velocità della nostra vita quotidiana sono relativamente molto piccole. Infatti la massima velocità che l'essere umano può raggiungere è quella di una stazione spaziale che è circa 7700m/s e in questo caso v/c=1/39000. Per valori di v/c<<1 si deve usare la seguente:

APPROSSIMAZIONE per 𝛄 se v/c<<1: 

sapendo che in generale per x<<1 vale :  

(sviluppo della potenza del binomio - gli altri termini sono piccoli perchè potenze maggiori di x)

Allora vale la seguente approssimazione:

 Ad esempio per v=7700m/s si ottiene 𝛄=(1+3,3∙10⁻¹º)

 applet: dilatazione tempo

 

ESERCIZI SULLA DILATAZIONE DEL TEMPO

IL MOTO ARMONICO

Un moto si dice oscillatorio se un corpo si muove avanti e dietro intorno ad un punto di equilibrio. Il moto armonico è un particolare moto oscillatorio che si può definire come segue:  

Il moto armonico è il moto della proiezione sull’asse x (oppure asse y) di un punto P che si muove di moto circolare uniforme di raggio R. 

il punto blu sull'asse x e il punto rosso sull'asse y si muovono di moto armonico

Una massa applicata ad una molla e un pendolo che oscilla sono esempi di moti armonici.

L'AMPIEZZA A del moto è la massima distanza dal centro e coincide con il raggio R della traiettoria circolare.

Il PERIODO del moto è il tempo necessario per un'oscillazione completa. La frequenza è il numero di oscillazione nell'unità di tempo. 

La velocità angolare del moto circolare è chiamata PULSAZIONE del moto armonico e si indica ancora con 𝝎 :

Per definizione la velocità angolare è 𝝎=𝞓𝛂/𝞓t. Quindi lo spostamento angolare è : 𝛂=𝝎t .
Il vettore posizione del moto armonico è la proiezione ortogonale sull'asse x del vettore posizione del moto circolare uniforme.
Quindi applicando cateto=ipotenusa x coseno dell'angolo adiacente:
x=Rcos𝛂 dove R è il raggio che coincide con l'ampiezza A del moto armonico
Possiamo scrivere la LEGGE ORARIA del moto armonico nella forma:  x(t)=A⋅cos(𝝎t)   

Ovviamente considerando la proiezione sull'asse y si otteneva in modo equivalente : y(t)=A⋅cos(𝝎t+𝛗)

E' facile mostrare che in generare la legge oraria è del tipo: x(t)=A⋅cos(𝝎t+𝛗) dove 𝛗 si chiama fase e il suo valore dipende dalla posizione di partenza (per t=0) del moto armonico. Se parte dall'estremità 𝛗=0 , se parte dal centro 𝛗=𝛑/2. 𝛗 è un angolo in radianti che corrisponde alla posizione angolare del raggio nel moto circolare associato.

Allo stesso modo il vettore velocità del moto armonico è la proiezione sull'asse x (o y) del vettore velocità tangenziale del moto circolare. Si deduce che la velocità v del moto armonico è nulla negli estremi ed è massima pari a vₚ=𝝎⋅R nel centro.

Applicando le solite formule sul triangolo rettangolo PRS si ricava che v=vₚ⋅sen𝛂

dove vₚ=𝝎⋅R=𝝎⋅A

Allora la legge della velocità del moto armonico è data da:
v(t)=-𝝎⋅A⋅sen(𝝎t)

il segno - è dovuto al verso del vettore che è sempre rivolto verso il centro O.

Allo stesso modo l'accelerazione del moto armonico  è la proiezione del vettore accelerazione centripeta sull'asse x . 
E' quindi nulla al centro ed è massima di valore 𝝎²R agli estremi.
Si deduce che dove la velocità è NULLA, l'accelerazione è MASSIMA e viceversa.

Ricordando che l'accelerazione centripeta è data da :
a=v²/R=𝝎²∙R
l'equazione dell'accelerazione del moto armonico è data da:

a(t)=- 𝝎²A∙cos(𝝎∙t) 

essendo: x(t)=A⋅cos(𝝎t)

RISULTA:

a(t)= - 𝝎²∙x(t)

Quindi il moto di un punto è armonico se e solo se l'accelerazione in valore assoluto è direttamente proporzionale alla posizione x(t). Questa condizione si può assumere come definizione del moto armonico. La costante è 𝝎² cioè il quadrato della pulsazione. Quindi per dimostrare che un certo moto è armonico e sufficiente mostrare che la sua accelerazione è direttamente proporzionale alla posizione. Inoltre dall'equazione a(t)=- 𝝎²A∙cos(𝝎∙t) possiamo dedurre che l'accelerazione è massima negli estremi dove la velocità è nulla ed è nulla al centro dove la velocità è massima. Il valore massimo dell'accelerazione si ottiene infatti quando il vettore accelerazione centripeta è verticale e la sua proiezione sull'asse y coincide con l'intero vettore.

LEGGE ORARIA

Se il punto parte da una posizione diversa cioè se nell'istante iniziale l'angolo è 𝞅 allora l'equazione diventa più in GENERALE: x(t)=A∙cos(𝝎t+𝞅)

𝞅 si dice FASE INIZIALE.

Esempio: Se il moto  parte dall'estremità sinistra verso destra allora la fase è 180° e cos (𝝎t+180°)=-cos(𝝎t). Se invece parte dal punto O e si muove verso sinistra allora la fase
𝞅=90°.  cos(𝝎t+90°)=sen(𝝎t)

Quindi il moto armonico si può esprimere  anche con la funzione seno se parte dal centro o si considera la proiezione sull'asse y. La legge oraria in funzione del seno è: y=A∙sen(𝝎t+𝞅)

 

 

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LETTURA DEI GRAFICI:

Dal grafico x-t possiamo dedurre l'ampiezza del moto e il suo periodo.

L'ampiezza è il massimo valore di y mentre il periodo è l'ampiezza dell'intervallo tra due picchi consecutivi.

Il moto del SISTEMA MASSA MOLLA (detto oscillatore armonico) è un esempio di moto armonico.

il video della pssc mostra come ricavare il grafico del moto armonico. (ITA)
 

per dimostrare che è un moto armonico devo mostrare che l'accelerazione è proporzionale allo spostamento a=-kx .

Nell'oscillatore armonico la forza che agisce è la forza elastica F=-k∙x dove k è la costante elastica della molla. Applicando la II legge della dinamica F=m∙a si ottiene l'equivalenza ma=-kx e quindi a=-(k/m)∙x . 
L'accelerazione è dunque proporzionale allo spostamento.(cvd) 

Inoltre la costante di proporzionalità è: 𝝎²=(k/m)

Quindi la pulsazione di un oscillatore armonico dipende solo dalla costante elastica della molla e dalla massa applicata. 

E sostituendo 𝝎=2𝝅/T trovo il periodo del moto:

Per aumentare il periodo (e quindi rallentare il moto) bisogna aumentare la massa oppure diminuire la costante della molla.

ANALISI DELL'ENERGIA:

Nel moto armonico dell'oscillatore massa- molla l'energia si conserva. Nell'estremità l'energia totale è data solo dall'energia potenziale : E=U=1/2 k A²

Infatti v=0 e quindi l'energia cinetica è nulla.

Al centro avviene il contrario. L'energia potenziale è nulla mentre l'energia cinetica è massima data da E=1/2 m v²=(1/2)m∙(𝝎∙A)².

Per la legge di conservazione dell'energia si deduce che: 

e quindi 𝝎²=k/m che è vera.

Per dimostrare che l'energia totale si mantiene costante si esegue il seguente calcolo:

 

 

Esercizio:

Osserva il seguente grafico del moto armonico di un corpo.

Dal grafico ricava il valore del periodo T, dell'ampiezza A,la fase e la legge oraria del moto.Ricordando che la velocità in un istante t è uguale alla pendenza della retta tangente nel punto (t,y), ricavare i valori della velocità per t=0s, t=0,5s, t=1s, t=1,5s e t=2s . Disegnare il grafico della velocità.

[y=2cos(𝜋t)]
Esercizio:

ripetere l'esercizio precedente con il seguente grafico:

[T=4s,A=3, fase=𝜋, y=-3cos(𝜋t/2)]
  

 

 

Nel seguente video della pssc si studia il moto di un oscillatore armonico mostrando che ha un moto armonico semplice.

Altro esempio di moto armonico semplice è quello del pendolo:

ogni pendolo ha una lunghezza diversa e quindi un periodo e una frequenza diversa di oscillazione. 

apple moto armonico: CLICCA QUI

I RAGGI CATODICI

Il video spiega la vera natura dei raggi catodici (elettroni) e come si generano. (ITA)