Come varia il potenziale del conduttore al variare della carica q fornita?
Si dimostra che il potenziale aumenta in modo direttamente proporzionale all’aumentare della carica q presente sul conduttore. La costante di proporzionalità è la capacità elettrica C:
$C = \frac{q}{V}$
La capacità elettrica è una grandezza scalare e la sua unità di misura è il
farad:
$1\,F = 1\,C / 1\,V$
Definizione di capacità elettrica
La capacità elettrica di un conduttore è la quantità di carica che, aggiunta al conduttore, provoca un aumento di potenziale di 1 volt.
Se la capacità elettrica di un conduttore è molto grande, allora il suo potenziale aumenta lentamente. Se invece il potenziale è elevato, il lavoro necessario per aggiungere ulteriore carica portandola dall'infinito sul conduttore diventa molto grande, perché come è noto:
$L = qV$ (se la carica è portata dall’infinito)
Se pensiamo al conduttore come a un “contenitore di carica”, allora il valore del
potenziale misura il livello di saturazione del conduttore. La capacità del
conduttore diventa la capacità del “contenitore” di carica.
Maggiore è la capacità elettrica, maggiore sarà la quantità di carica che può contenere.
Analogia
- A parità di altezza h, un recipiente più largo contiene più acqua di uno stretto.
- A parità di differenza di potenziale V, un condensatore con grande capacità C può accumulare più carica di uno con capacità minore.
Da cosa dipende la capacità di un conduttore?
La capacità elettrica dipende prima di tutto dalle sue caratteristiche geometriche e poi dal mezzo dove è inserito il conduttore .
Capacità elettrica di una sfera conduttrice
Il potenziale di una sfera conduttrice di raggio R è:
$V = k \frac{q}{R}$
Da questa relazione si ricava la capacità elettrica:
$C = \frac{q}{V} = \frac{q}{\frac{kq}{R}} = 4 \pi \varepsilon R$
$C = 4 \pi \varepsilon R$
La capacità C è quindi direttamente proporzionale al raggio R della sfera.
Come possiamo aumentare la capacità elettrica di un conduttore? Un metodo consiste nel porre vicino un secondo conduttore: in questo modo diminuisce la capacità. Il sistema così ottenuto è detto condensatore elettrico.
Quando si avvicina un secondo conduttore, le cariche presenti su di esso si ridistribuiscono per induzione: sulla faccia rivolta verso il primo conduttore compaiono cariche di segno opposto, mentre sulla faccia opposta compaiono cariche dello stesso segno.
Le cariche indotte di segno opposto generano un campo che si oppone a quello prodotto dal primo conduttore. Di conseguenza, il campo elettrico risultante attorno al primo conduttore diminuisce.
Poiché il potenziale dipende dall'intensità del campo elettrico, una riduzione del campo comporta una diminuzione del potenziale del conduttore carico.
$C = \frac{q}{V}$
Se il potenziale V diminuisce mentre la carica q rimane la stessa, la capacità C aumenta. In pratica, il secondo conduttore “aiuta” il primo a trattenere più carica riducendo la repulsione elettrica.
Questo è il principio di funzionamento del condensatore: due conduttori vicini permettono di immagazzinare molta più carica rispetto a un conduttore isolato.
Capacità di un condensatore piano
Consideriamo un condensatore formato da due armature piane e parallele, di area A, separate da una distanza d. Le due armature portano cariche uguali e opposte +Q e -Q. Tra le armature si crea un campo elettrico uniforme.
$V = E \cdot d$
Il campo elettrico tra le armature vale:
$E = \frac{Q}{A} \cdot \frac{1}{\varepsilon}$
Sostituendo nella definizione di capacità si ottiene:
$C = \frac{Q}{V} = \varepsilon \frac{A}{d}$
La capacità di un condensatore piano è quindi direttamente proporzionale alla superficie delle armature e inversamente proporzionale alla loro distanza.
Il dielettrico e l’aumento della capacità
Per aumentare la capacità di un condensatore si possono avvicinare le due armature oppure inserire tra esse un materiale isolante chiamato dielettrico.
In un materiale isolante le cariche non sono libere di muoversi, ma le sue molecole possono essere schematizzate come piccoli dipoli elettrici. In condizioni normali questi dipoli sono orientati in modo casuale.
Quando il dielettrico viene inserito tra le armature del condensatore, il campo elettrico presente induce un orientamento dei dipoli secondo le linee di campo. I dipoli vicini all’armatura positiva mostrano la loro carica negativa, mentre quelli vicini all’armatura negativa mostrano la loro carica positiva. I campi elettrici dei dipoli hanno verso contrario al campo E del condensatore e si sommano tra loro.
L'effetto è di ridurre il campo elettrico complessivo tra le armature. Se diminuisce l campo elettrico tra le armature allora diminuisce il potenziale essendo V=Ed. Poiché la capacità è definita come:
$C = \frac{q}{V}$
una diminuzione del potenziale V comporta un aumento della capacità C.
$C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}$
La presenza del dielettrico aumenta quindi la capacità del condensatore di un fattore pari alla costante dielettrica relativa ϵr del materiale. ϵr è adimensionale e si può anche definire come il rapporto tra il campo elettrico generato nel condensatore senza dielettrico e il campo elettrico generato con dielettrico.
Energia immagazzinata nel condensatore
L’energia del campo elettrico generato da un condensatore è uguale al lavoro necessario per caricarlo. Per trasferire carica da un’armatura all’altra occorre compiere lavoro. Se il potenziale rimanesse costante, il lavoro sarebbe L = qV.
In realtà il potenziale aumenta proporzionalmente alla carica accumulata, quindi il lavoro totale si ottiene come area sotto il grafico V(q).
$U = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}CV^2$
Nel caso di un condensatore piano, usando le espressioni del campo elettrico, si ottiene:
$U = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 A d$
L’energia è quindi proporzionale al quadrato del campo elettrico. La densità di energia, cioè l’energia per unità di volume, risulta:
$\mu = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$
Esperimenti:
APPLICAZIONE DEI CONDENSATORI:
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| Defibrillatore |
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