CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

La seconda legge del moto rotazionale in funzione del momento angolare è:

Un momento torcente applicato ad un corpo genera una variazione del momento angolare. E' del tutto analoga alla seconda legge della dinamica espressa nella forma F=∆p/∆t .

CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE: Se in particolare il momento totale M applicato al corpo è nullo risulta nulla anche la variazione del vettore momento angolare : 

M=0 → ∆L=0 e allora IL MOMENTO ANGOLARE SI CONSERVA.  

∆L=Lf -Li =0

Li=Lf
Bisogna precisare che se si conserva il momento angolare L allora si conserva la direzione , il verso e il modulo di L. Ricordando che L è per definizione un vettore perpendicolare al piano formato da p e r allora, se L si conserva il moto avviene su uno stesso piano.(moto piano)

Nel caso di un corpo rigido in rotazione il momento angolare si mantiene solo se si mantiene invariata la direzione del suo asse di rotazione.

Per un corpo rigido in rotazione intorno ad un certo asse vale anche che:

dove  il primo membro rappresenta il momento angolare iniziale e il secondo quello finale. 

Quindi se aumenta il momento d'inerzia deve necessariamente diminuire la velocità angolare. 

Ad esempio nel seguente esperimento la persona è seduta su uno sgabello ribero di ruotare. Ad un certo momento allarga le braccia tenendo in mano dei pesi di 5kg e in questo modo aumenta il suo momento d'inerzia rispetto all'asse verticale. La conseguenza della conservazione del momento angolare L è la diminuzione della velocità angolare in modo che I𝜔=costante  . Viceversa quando abbassa le braccia diminuisce I e aumenta 𝜔.

 

Quando il pattinatore distende la gamba aumenta il suo momento d'inezia rispetto all'asse verticale e quindi diminuisce la sua velocità angolare. Aumenta velocità quando raccoglie le braccia intorno al corpo perchè la massa è distribuita più vicina all'asse e il momento d'inerzia diminuisce.

 

CONDIZIONE PER LA CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE:

Abbiamo visto che il momento angolare si conserva solo se la risultante del momento torcente M è nullo.

Ricordando che:

M è nullo solo se Ftot =𝛴F=0 oppure Ftot // r

Quindi il momento angolare di un corpo di massa m si conserva solo se la risultante delle forze esterne applicate al corpo è nulla (SISTEMA ISOLATO) oppure le forze sono di TIPO CENTRALI (forze dirette verso il centro di rotazione).
Un esempio di forza centrale è la forza di gravità che il Sole esercita sulla Terra.

 

 

ESEMPIO: IL Pattinatore

Quando il pattinatore allunga la gamba aumenta il suo momento d'inezia rispetto all'asse verticale e quindi diminuisce la sua velocità angolare

MOTO DI ROTOLAMENTO

Un corpo ha un moto di rotolamento (rototraslatorio) se trasla ruotando intorno ad un asse. Esempio tipico è il moto di una ruota di bicicletta che rotola senza slittare.

Durante una rotazione completa l'asse trasla di una distanza pari a 2𝞹r in un tempo pari al periodo di rotazione T. La velocità v di traslazione  è uguale alla velocità della velocità tangenziale di rotazione : v=2𝞹r/T=𝞈r

Quindi il moto di un corpo che rotola è la combinazione di un moto di rotazione con velocità angolare 𝞈 e di un moto di traslazione con velocità lineare v= 𝞈∙r dove r è il raggio.

Consideriamo le velocità dei punti della ruota nei i due moti separati:

Nel moto puramente rotazionale il vettore velocità tangenziale cambia continuamente direzione e verso a seconda del punto considerato mentre in quello di sola traslazione ha sempre la stessa direzione e verso. Se ora componiamo i due moti sommando i rispettivi vettori punto per punto si ottiene:

Nel punto più in alto la velocità è massima pari a 2𝞈r mentre nel punto a contatto con il terreno è nulla. Il punto dell'asse come già noto si muove a velocità v=𝞈r.

 

MOTO CIRCOLARE VARIO

 

Per studiare il moto circolare di un punto dobbiamo fissare sulla traiettoria una linea di riferimento (un raggio della circonferenza) da dove misurare gli angoli e un verso da considerare positivo (per convenzione è quello antiorario)

In ogni istante t si misura la posizione angolare ϑ in radianti del punto rispetto alla linea di riferimento. Se ϑ è l'angolo descritto nel tempo t allora la lunghezza dell'arco di circonferenza percorso è dato da l=ϑ∙r dove r è la misura del raggio (per definizione della misura in radianti di un angolo). Possiamo definire la VELOCITà ANGOLARE media come rapporto tra l'angolo descritto e il tempo impiegato:

Se la velocità angolare non è costante allora si definisce la velocità angolare istantanea come :

Nel caso particolare del moto circolare uniforme la velocità angolare è costante e quindi posso scegliere un qualunque angolo descritto e dividerlo per il tempo impiegato. Se prendo l'angolo giro 2ℼ lo divido per il periodo T e si ottiene che 𝛚=2ℼ/T.

Possiamo definire anche la VELOCITA' TANGENZIALE media  il rapporto tra lo spazio percorso lungo la circonferenza (e quindi  l'arco l) e il tempo impiegato:

Sostituendo :

si ottiene:

 

Se 𝛚<0 allora il moto è contrario a quello positivo e quindi orario.

In un moto circolare vario vi sono tre tipi di accelerazione :

1) ACCELERAZIONE CENTRIPETA : è dovuta alla variazione della direzione della velocità tangenziale, è diretta verso il centro di rotazione ed è data da:

 

dove v è la velocità tangenziale e che vale anche per valori di v e 𝛚 istantanei.

2)ACCELERAZIONE ANGOLARE: si indica con 𝛼 ed è dovuta alla variazione dell velocità angolare media e istantanea:

 e si misura in radianti al secondo quandrato.

Se  𝛼<0 e 𝛚>0 significa che vi è una decellerazione nel verso positivo.

3) ACCELERAZIONE TANGENZIALE: è dovuta alla variazione del modulo della velocità tangenziale. E' definita:

 

Risulta:

 

MOTO CIRCOLARE UNIFORMEMENTE ACCELERATO

In questo caso l'accelerazione angolare e quindi anche quella tangenziale sono costanti.

𝛼=costante

Le leggi del moto sono analoghe a quelle del moto rettilineo uniformente accelerato. Si ottengono con le seguenti sostituzioni:

alla posizione x ---> la posizione angolare 𝛝

alla velocità v ---> la velocità angolare 𝟂

all'accelerazione a ---> l'accelerazione angolare 𝛼.

CON LE DERIVATE:

 

CORRENTI PARASSITE

Esperimenti

TRASFORMATORE ELETTRICO

Il trasformatore elettrico è un dispositivo che serve a trasformare il potenziale e quindi la corrente in entrata. Funziona solo con corrente alternata perchè sfrutta il fenomeno di induzione elettromagnetica. 

E' infatti costituito da un nucleo di ferro, un circuito detto primario e un circuito detto secondario. Il circuito primario ha N₁ avvolgimenti intorno al nucleo , mentre il circuito secondare ne ha N₂. Quello che si mantiene costante è la potenza elettrica P=V∙i. Sia V₁ e i₁ rispettivamente il valore efficace della ddp e della corrente del circuito primario e V₂ e i₂ rispettivamente il valore efficace della ddp e della corrente del circuito secondario. NB: il valore efficace è il valore medio dato dal valore massimo diviso per la radice di 2. (vedi qui)
Possiamo scrivere che :
V₁∙i₁=V₂∙i₂ (*)
La corrente alternata i₁ che oscilla con frequenza f sul primario genera nel nucleo di ferro un campo magnetico variabile nel tempo con la stessa frequenza f. 

Le linee di forza del campo sono concatenate con le spire del secondario e per la legge di Faraday in esso si genera una fem indotta con la stessa frequenza f. 
Per la legge di Faraday deve risultare:

perchè ovviamente l'induzione è reciproca.
Per cui:

Da (*) risulta anche :

Dunque risulta:

se, ad esempio N₂ è il doppio di N₁ allora la corrente di uscita è la metà mentre il potenziale è il doppio.

Ricordiamo che i valori di tensione e di corrente sono variabili nel tempo . La relazione sopra vale per i valori in un dato istante o per i valori efficaci di tensione e di corrente.

Il valore efficace si ottiene dividendo il valore massimo per radice di 2. (clicca qui)

Ovviamente il trasformatore funziona solo con la corrente altenata cioè non è possibile trasformare i valori di una corrente continua. Questo è uno dei motivi che rende preferibile la corrente alternata a quella continua.

Una importante applicazione del trasformatore è nel trasporto della corrente elettrica a distanza. La corrente alternata prodotta in una centrale ha sempre una bassa tensione efficace e una corrente relativamente alta. Se si inviasse direttamente questa corrente nei conduttore della linea elettrica che collega la centrale ai luoghi di utilizzazione si avrebbe una enorme perdita di energia per effetto Joule essendo data da P=Ri². Per ridurre il più possibile questa perdita, la corrente prodotta viene inviata ad un trasformatore che elevatore in modo tc la corrente trasportata risulti a bassa intensità i e ad elevata tensione V. Una corrente ad elevata tensione però a causa della sua pericolosità, non può essere direttamente utilizzata nelle case. Perciò la linea ad alta tensione prima di essere utilizzata viene nuovamente trasformata con V bassa a 220V.

ONDE ELETTROMAGNETICHE

Dalle quattro equazioni di Maxwell nel vuoto si può dedurre l'esistenza di onde elettromagnetiche.

Infatti le equazioni ci dicono che un campo elettrico variabile genera un campo magnetico variabile che a sua volta genera un campo elettrico variabile e così si ripete all'infinito nello spazio con propagazione di energia intrinseca nei campi.

Campo elettrico e campo magnetico risultano sempre perpendicolari tra loro.
Maxwell ricava le quattro equazioni e scopre le onde elettromagnetiche nel 1861.

Le quatto equazioni insieme all'equazione :


descrivono tutti i fenomeni elettromagnetici.
Maxwell riesce anche a ricavare la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto:


Sostituendo i valori delle due costanti si ottiene:


che è lo stesso valore della velocità della luce misurata da Faucoult qualche anno prima (1859) con il famoso esperimento dello specchio rotante. LO STESSO VALORE delle onde elettromagnetiche. E’ solo una coincidenza? Maxwell deduce quindi( ma non dimostra ) che la LUCE È UN’ONDA ELETTROMAGNETICA. L’ottica confluisce nella teoria dell’elettromagnetismo.
Si ottiene così un grande risultato di sintesi pari solo a quello ottenuto da Newton nella meccanica.
Maxwell deve ancora risolvere due problemi:
1)In quale mezzo si propagano le onde elettromagnetiche.
2)Dimostrare la loro esistenza.
Il primo problema viene momentaneamente risolto da Maxwell ipotizzando l'esistenza di una sostanza invisibile che riempiva tutto spazio tipo la quintessenza di Aristotele. Prese il nome di ETERE. Successivamente l'idea dell'esistenza dell'etere viene abbandonata accettando la propagazione nel vuoto delle onde elettromagnetiche che a differenza delle onde elastiche,non hanno bisogno di un mezzo di propagazione.
Il secondo problema è risolto dal fisico Hertz che nel 1888 dimostra sperimentalmente l'esistenza delle onde elettromagnetiche prodotte da uno spinterometro.

Come già osservato nelle onde elettromagnetiche il campo elettrico E e il Campo magnetico B oscillano in fase perpendicolari tra loro e perpendicolari alla direzione di propagazione.
Questo ci dice che l'onda elettromagnetica è un'onda TRASVERSALE.

L'onda si propaga con la velocità della luce c e il modulo del campo elettrico è dato in ogni istante da: E=cB

Quindi la componente del campo elettrico è molto più grande della componente del campo magnetico B.

Ricordando l'equazione dell'onda possiamo scrivere:


dove k è il numero d'onda e 𝝎 è la pulsazione. Il campo E oscilla nella direzione y mentre il campo B nella direzione dell'asse z. L'asse x è la direzione di propagazione. Naturalmente si possono anche esprimere con la funzione coseno. 

I versi dei vettori E e B sono dati dal vettore di Poynting S definito come :

Il vettore di Poynting fornisce la direzione e il verso della propagazione dell'onda ed è dato dal prodotto vettoriale di E con B. Quindi si applica la regola della mano destra: il pollice è la direzione di propagazione, l'indice del vettore E e il medio del vettore B. Il modulo del vettore di Poynting rappresenta l’intensità istantanea dell’onda elettromagnetica.
Come si possono produrre le onde elettromagnetiche?
Servono campi elettrici e magnetici variabili. Questi si possono ottenere quando sono presenti CARICHE ACCELERATE.
Possiamo quindi dire che cariche accelerate (scariche , urti di particelle cariche oppure circuiti LC come le antenne DIPOLO) generano onde elettromagnetiche.

 ENERGIA TRASPORTATA DALLE OEM