POTENZIALE ELETTRICO

POTENZIALE ELETTRICO

Il potenziale elettrico in un punto si definisce come:

V = U / q

dove U è l'energia potenziale elettrica della carica di prova q. Il potenziale è una grandezza scalare e dipende solo dalla posizione nel campo elettrico.

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Lavoro del campo elettrico e differenza di potenziale

Quando una carica q si sposta da A a B, l'energia potenziale cambia:

ΔU = U_B - U_A

Il lavoro compiuto dal campo elettrico è:

L_AB = - ΔU

Poiché U = qV, si ha:

ΔU = q (V_B - V_A) = q ΔV

Quindi:

L_AB = - q ΔV

oppure:

L_AB = q (V_A - V_B)

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Superfici equipotenziali

Una superficie equipotenziale è l'insieme dei punti in cui il potenziale V ha lo stesso valore.

Se una carica si muove da A a B sulla stessa superficie equipotenziale:

V_A = V_B → ΔV = 0

Allora:

L_AB = - q ΔV = 0

Quindi il lavoro del campo elettrico lungo una superficie equipotenziale è nullo.

Perpendicolarità tra campo elettrico e superfici equipotenziali

Consideriamo uno spostamento finito Δs lungo una linea equipotenziale. La variazione di potenziale lungo questo spostamento è ΔV= 0. Allora il lavoro fatto dalle forze del campo per spostare una carica q è 0:

L=qΔV =0

Ma il lavoro è dato anche da L=FΔx è questo risulta nullo solo se la F è perpendicolare allo spostamento.

Questo significa che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale.

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CAMPO ELETTRICO RADIALE GENERATO DA UNA CARICA PUNTIFORME Q

Campo elettrico

A distanza r da una carica puntiforme Q, il modulo del campo elettrico è:

E = k Q / r²

Potenziale 

La variazione di potenziale tra due punti lungo la direzione radiale si può scrivere come:

ΔV = - E Δr

Per una carica puntiforme, E diminuisce con 1 / r². Sommando le variazioni di potenziale per spostamenti successivi lungo la direzione radiale, si ottiene che il potenziale diminuisce come 1 / r. Il risultato noto è:

V(r) = k Q / r

Superfici equipotenziali

Poiché V dipende solo da r, tutte le posizioni con lo stesso r hanno lo stesso potenziale. Le superfici equipotenziali sono quindi sfere concentriche con centro nella carica.

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Campo elettrico uniforme

Consideriamo un campo elettrico uniforme diretto lungo l'asse x. La variazione di potenziale tra due punti A e B distanti Δx è:

ΔV = V_B - V_A = - E Δx

Se scegliamo come riferimento V = 0 in x = 0, allora:

V(x) = - E x

In un campo uniforme, le superfici equipotenziali sono piani perpendicolari alle linee di campo e quindi paralleli tra loro.

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SFERA CONDUTTRICE DI RAGGIO R E CARICA Q

Campo elettrico interno

In un conduttore in equilibrio elettrostatico, il campo elettrico all'interno è nullo:

E = 0 per r < R

Campo elettrico esterno (x legge di Gauss)

Consideriamo una superficie sferica immaginaria di raggio r > R, concentrica con la sfera conduttrice. Per simmetria:

• il campo elettrico è radiale;
• ha lo stesso valore in ogni punto della superficie;
• l'area della superficie è 4 π r².

Il flusso del campo elettrico attraverso questa superficie è:

Φ_E = E · 4 π r²

La legge di Gauss afferma:

Φ_E = Q / ε₀

Quindi:

E · 4 π r² = Q / ε₀

E = (1 / (4 π ε₀)) · Q / r² = k Q / r²

Potenziale esterno

All'esterno, la sfera si comporta come una carica puntiforme Q concentrata nel centro, quindi:

V(r) = k Q / r     per r ≥ R

Potenziale interno

All'interno del conduttore il campo è nullo, quindi non ci sono variazioni di potenziale:

ΔV = 0

Il potenziale è costante e uguale al valore sulla superficie:

V(r) = V(R) = k Q / R     per r ≤ R

La superficie del conduttore è quindi una superficie equipotenziale.

Energia potenziale di una carica esterna

Una carica q posta a distanza r dalla sfera ha energia potenziale:

U = q V(r) = k Q q / r

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IL CAMPO ELETTRICO E LINEE DI FORZA

La forza elettrica e l’idea di campo

La forza elettrica, analogamente alla forza gravitazionale, è una forza che agisce a distanza. Questo solleva una domanda fondamentale: come può una carica risentire della presenza di un’altra carica posta lontano, senza alcun contatto diretto? L’interazione è istantanea oppure si propaga con una velocità finita?

Newton non propose un meccanismo per spiegare l’azione a distanza e considerò l’interazione come istantanea. Con Faraday nasce invece un’idea rivoluzionaria: una carica elettrica modifica lo spazio circostante, creando una regione in cui altre cariche risentono della sua presenza. Questa regione prende il nome di campo elettrico.

Il campo elettrico è una proprietà dello spazio generata da una carica. In ogni punto dello spazio si può associare un vettore campo elettrico che indica direzione, verso e intensità della forza che agirebbe su una carica positiva posta in quel punto.

Per definizione:

\[ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \]

dove \(\vec{F}\) è la forza elettrica esercitata sulla carica di prova \(q\). La carica di prova, detta carica spia, è scelta positiva e sufficientemente piccola da non alterare il campo generato dalle altre cariche.

Il campo generato da una carica puntiforme \(Q\) a distanza \(r\) è:

\[ E = k \frac{Q}{r^2} \]

applet Colorado Phet : campo elettrico

Il campo elettrico obbedisce al principio di sovrapposizione: il campo totale in un punto è la somma vettoriale dei campi prodotti da ciascuna carica.

Linee di forza e visualizzazione del campo

Per rappresentare il campo elettrico si usano le linee di forza:

• la tangente alla linea indica la direzione del campo;
• la freccia indica il verso;
• la densità delle linee è proporzionale all’intensità del campo.

Le linee escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative. Per una carica puntiforme sono radiali.

Sperimentalmente si possono osservare usando semi di lino in olio: in presenza del campo elettrico i semi si polarizzano e si orientano secondo le linee di forza.

Il campo di un dipolo elettrico si ottiene come somma vettoriale dei campi generati dalle due cariche opposte.

Configurazioni particolari di campo elettrico

Superficie piana uniformemente carica

Per una superficie piana con densità superficiale di carica \(\sigma\):

• le linee di forza sono perpendicolari alla superficie;
• sono equidistanti, quindi il campo è uniforme;
• il modulo del campo è:

\[ E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \]

Se la superficie è carica negativamente le linee su uscenti.

Ora consideriamo due superfici uniformemente cariche con uguale carica di segno opposto e una affacciata all'altra. Tale configura si chiama condensatore piano e si può ottenere con due lastre conduttrici . Caricando la prima, la seconda si carica per induzione di segno opposto.

PRIMI ESPERIMENTI DI ELETTROSTATICA

La forza elettrica è quella forza che agisce tra corpi elettrizzati cioè che possiedono la carica. Come possiamo elettrizzare un corpo? 

1)La prima esperienza è quella di strofinare una bacchetta di vetro con un panno di seta oppure una bacchetta di plastica con un panno di pelliccia. Avvicinando la bacchetta a pezzettini di carta questi vengono attirati. Diremo che la bacchetta è elettrizzata. Nello strofinare la bacchetta si strappano cariche dal panno alla bacchetta o viceversa. Al posto dei pezzetti di carta possiamo usare un pendolino elettrostatico .

LA CARICA NON SI CREA MA SI TRASFERISCE

2) Per dimostrare sperimentalmente l’esistenza di due tipi di carica, che chiameremo positiva e negativa, e che cariche dello stesso tipo si respingono mentre cariche di tipo opposto si attraggono, possiamo procedere così: si strofina una bacchetta di plastica e la si pone su un supporto in modo che possa ruotare liberamente; successivamente si avvicinano prima una bacchetta di vetro strofinata e poi un’altra bacchetta di plastica strofinata. Si osserva una forza attrattiva nel primo caso e una forza repulsiva nel secondo.

3)ELETTROSCOPIO:  Un altro modo per verificare che un corpo è elettrizzato consiste nell’utilizzare un elettroscopio. Avvicinando una bacchetta carica al pomello dell’elettroscopio, le due foglioline metalliche si allontanano tra loro, indicando la presenza di carica.

Componenti principali dell'elettroscopio:
Pomello metallico: la parte superiore, che si tocca o si avvicina al corpo carico.
Asta metallica: collega il pomello alle foglioline.
Foglioline metalliche: sottili lamelle (spesso d’oro o alluminio) che possono aprirsi o chiudersi.
Contenitore isolante: protegge dalle correnti d’aria e riduce le dispersioni.
Cosa succede quando avvicini un corpo carico? Quando una bacchetta carica, supponiamo positivamente, viene avvicinata al pomello, le cariche positive nel metallo dell’elettroscopio si ridistribuiscono (fenomeno di induzione elettrostatica) allontanandosi il più possibile dalla bacchetta. 
E quindi  cariche dello stesso segno si accumulano sulle foglioline, che quindi:
si caricano entrambe con lo stesso tipo di carica, si respingono, e si allontanano visibilmente.
L’apertura delle foglioline indica che nell’elettroscopio è presente carica, quindi il corpo avvicinato è elettrizzato.

4)L'ELETTROFORO DI VOLTA: L’elettroforo di Volta è un semplice dispositivo che permette di ottenere ripetutamente cariche elettriche senza dover strofinare ogni volta i materiali.

Com’è fatto l'elettroforo:
Piastra di resina (o ebanite): si carica per strofinio. Disco metallico con manico isolante.
Come funziona?
Si strofina la piastra di resina, che si carica (di solito negativamente). Si appoggia il disco metallico sulla piastra: le cariche nel disco si ridistribuiscono per induzione, ma il disco nel complesso resta neutro. Si tocca il disco con un dito: le cariche dello stesso segno della piastra vengono respinte e scaricate a terra. Sul disco rimane la carica di un solo segno.
Si solleva il disco: ora è carico (di segno opposto alla piastra) e può dare una scintilla o caricare altri oggetti.

4)Il comportamento dei corpi rispetto alla carica elettrica è diverso. In alcuni materiali, come la plastica, la carica rimane localizzata nel punto in cui si è generata: ad esempio, strofinando una bacchetta di plastica, la carica resta nella zona di strofinio. Questi materiali vengono chiamati isolanti.
In altri materiali, invece, la carica può muoversi liberamente, come accade nei metalli: li definiamo conduttori. La carica che si sposta è sempre quella negativa, perché i portatori di carica sono gli elettroni.
Un corpo risulta carico positivamente se è in difetto di elettroni, mentre è carico negativamente se possiede un eccesso di elettroni.

Un possibile esperimento per osservare il diverso comportamento dei conduttori e degli isolanti è il seguente: Si carica per contatto l'elettroscopio. Si pone a contatto una sfera conduttrice scarica. Si osserva l'elettroscopio scaricarsi parzialmente. Ripetendo nuovamente con la sfera conduttrice scarica di continua a scaricare di una porzione uguale a quella precedente. E' come svuotare un recipiente di acqua con un bicchiere vuoto.

5)Un corpo si può elettrizzare nei seguenti modi: a) per strofinio b) per contatto c) per induzione. a)Per strofinio le cariche passano dal panno alla bacchetta. b)Per verificare l'elettrizzazione per contatto carichiamo un pomello con l'elettroforo di Volta e con questo tocchiamo un secondo pomello inizialmente scarico. Per controllare che è carico lo si può avvicinare all'elettroscopio. Oppure possiamo toccare direttamente il pomello dell'elettroscopio e osservare come le foglioline segnalano che questo è rimasto carico. Per scaricare è sufficiente toccare con un dito. Le cariche si disperdono attraverso il nostro corpo. c) Quando si avvicina un corpo carico a un conduttore, le cariche presenti nel conduttore si ridistribuiscono: quelle dello stesso segno del corpo esterno tendono ad allontanarsi il più possibile, mentre quelle di segno opposto si avvicinano. Si crea così una separazione di carica che rende il conduttore temporaneamente elettrizzato per induzione. Questa situazione scompare non appena il corpo carico viene allontanato. Per caricare in modo permanente un conduttore A tramite induzione, si procede così:

Si avvicina un corpo carico B al conduttore A. Le cariche in A si ridistribuiscono: quelle dello stesso segno di B vengono respinte e si accumulano nella parte più lontana.
Si collega A a Terra (messa a massa) mentre B è ancora vicino. Le cariche dello stesso segno di B, respinte verso il punto di contatto, si disperdono nel terreno.
Si interrompe il collegamento a Terra mantenendo ancora vicino il corpo B. A questo punto nel conduttore rimangono solo cariche di segno opposto rispetto a quelle di B.
Si allontana il corpo carico B. Ora il conduttore A rimane carico in modo permanente, con carica di segno opposto a quella del corpo B.

6)Quando carichiamo un conduttore isolato, ad esempio per contatto, la carica trasferita si distribuisce sempre sulla superficie esterna. In un conduttore, infatti, le cariche sono libere di muoversi e tendono ad allontanarsi il più possibile le une dalle altre, disponendosi quindi sulla superficie. All’interno del conduttore non rimane carica, perché il campo elettrico interno deve essere nullo.

Per verificarlo sperimentalmente si utilizzano dei gusci emisferici conduttori che ricoprono una sfera precedentemente caricata. Quando i gusci vengono applicati, la carica presente sulla sfera si ridistribuisce e passa completamente sulla copertura. Al termine dell’esperimento i gusci risultano carichi, mentre la sfera conduttrice interna risulta scarica.

7)Esperimento del pozzetto di Faraday: Serve per dimostrare l'induzione completa cioè quando la carica indotta è uguale alla carica inducente. Si cala una sferetta conduttrice carica nel pozzetto collegato con l'elettroscopio e si osserva la presenza di carica data dalle foglioline che divergono. In questa fase non si deve toccare il pozzetto con la sferetta carica. Successivamente di inserisce fino a toccare il fondo. In questo modo si allontana la carica presente per induzione sulla superficie interna al pozzetto e l'elettroscopio+ pozzetto rimane carico con carica di segno opposto alla sferetta.

8)Potere delle punte

 Dove la superficie è molto curva, le cariche si “ammassano”

Su un conduttore le cariche libere cercano sempre di stare il più lontano possibile le une dalle altre.  

Se la superficie è piatta, hanno molto spazio per distribuirsi.  

Se invece c’è una punta, la superficie disponibile è piccola e molto curva: è come un angolo stretto. In un angolo stretto:

- le cariche hanno meno spazio per separarsi;  

- finiscono per concentrarsi molto di più;  

- la loro "densità locale" aumenta.

È come mettere molte persone che vogliono scappare in un corridoio stretto: si comprimono e la pressione cresce.

La forte concentrazione crea una “spinta” verso l’esterno . Quando tante cariche dello stesso segno sono costrette in poco spazio, la loro repulsione reciproca diventa molto intensa.  

Questa repulsione produce una "spinta verso l’esterno", cioè una tendenza delle cariche a uscire dalla punta.

Più la punta è affilata, più la concentrazione è grande, più la spinta aumenta.

Quando la spinta supera la resistenza dell’aria

L’aria normalmente blocca il passaggio delle cariche: è un isolante.  

Ma se la spinta delle cariche concentrate sulla punta diventa abbastanza forte, l’aria non riesce più a resistere.

Succede allora che:

- alcune molecole d’aria vengono “spezzate”;  

- si formano ioni ed elettroni liberi;  

- l’aria smette di essere isolante e diventa un "mezzo che può trasportare carica".

A quel punto le cariche trovano una via di fuga e nasce la "scarica".

9)Gabbia di Faraday

Una gabbia di Faraday può essere vista come un semplice **coperchio di rete metallica** che circonda un oggetto. Per verificarne l’effetto si usa un elettroscopio posto all’interno della gabbia e un conduttore carico tenuto all’esterno.

Quando il conduttore carico viene avvicinato alla gabbia o addirittura la tocca:

- le cariche presenti sulla rete metallica si ridistribuiscono;  

- questa ridistribuzione rimane confinata solo sulla superficie esterna della gabbia;  

- all’interno non compare alcuna carica.

L’elettroscopio, infatti, non mostra alcuna deviazione delle foglioline, mentre senza la gabbia reagirebbe immediatamente alla presenza del conduttore carico.

In questo modo l’interno della gabbia rimane completamente isolato dalle influenze elettriche esterne.

Per questo motivo si dice che una gabbia metallica "scherma" le azioni elettriche provenienti dall’esterno.

Essere dentro una gabbia di Faraday significa essere protetti da scariche o accumuli di carica esterni. Questo principio è alla base di:

- parafulmini, che convogliano le cariche verso terra evitando che entrino negli edifici;  

- scocche metalliche degli elettrodomestici, che impediscono che cariche o disturbi elettrici raggiungano le parti interne;  

- abitacolo delle automobili, che protegge i passeggeri durante un fulmine.