CIRCUITAZIONE DEL CAMPO ELETTRICO

Per calcolare il lavoro svolto dalla forza elettrica, si parte dalla definizione generale di lavoro di una forza $FF$ durante uno spostamento $\mathrm{\Delta }x\backslash Delta\; x$. Il lavoro è dato da:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">L</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">=</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">F</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\cdot </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\Delta </span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">x</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\cdot </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">cos</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;"></span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\alpha </span></span>}L\; =\; F\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; x\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash alpha$$

dove $\alpha \backslash alpha$ è l'angolo compreso tra la forza $FF$ e lo spostamento $\mathrm{\Delta }x\backslash Delta\; x$. Questa definizione è valida solo se $FF$ rimane costante lungo tutto lo spostamento.

Nel caso specifico della forza elettrica, definita come $F=q\cdot EF\; =\; q\; \backslash cdot\; E$, il lavoro per spostare una carica $qq$ lungo un tratto rettilineo $\mathrm{\Delta }l\backslash Delta\; l$ è:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">L</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">=</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">F</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\cdot </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\Delta </span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">l</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\cdot </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">cos</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;"></span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\alpha </span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">=</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">q</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\cdot </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">E</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\cdot </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\Delta </span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">l</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\cdot </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">cos</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;"></span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\alpha </span></span>}L\; =\; F\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; l\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash alpha\; =\; q\; \backslash cdot\; E\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; l\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash alpha$$

Questa relazione è valida quando il campo elettrico $EE$ rimane costante lungo il tratto $\mathrm{\Delta }l\backslash Delta\; l$.

Se invece il percorso da considerare è curvilineo e chiuso (indicato con $ll$), il calcolo del lavoro richiede di suddividere $ll$ in piccoli segmenti $\mathrm{\Delta }l\backslash Delta\; l$, in cui $EE$ si può approssimare come costante. Successivamente, si sommano (o, più precisamente, si integrano) i contributi di lavoro lungo ogni segmento $\mathrm{\Delta }l\backslash Delta\; l$. In termini matematici, il lavoro totale è espresso come un integrale:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">L</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">=</span></span>{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\int </span></span>}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">l</span></span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">q</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\cdot </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">E</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\cdot </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">cos</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;"></span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\alpha </span></span>}\text{<span style="font-size: x-large;"><span style="font-family: arial;">\hspace{0.17em}</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">d</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">l</span></span>}L\; =\; \backslash int\_\{l\}\; q\; \backslash cdot\; E\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash alpha\; \backslash ,\; dl$$

Raccogliendo la carica $qq$ e considerando la definizione della circuitazione del campo elettrico $EE$ lungo la curva chiusa $ll$, si ottiene:

$$\mathcal{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">C</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">E</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">)</span></span><span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">=</span></span>{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\oint </span></span>}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">l</span></span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">E</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\cdot </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">cos</span></span>}<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;"></span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">\alpha </span></span>}\text{<span style="font-size: x-large;"><span style="font-family: arial;">\hspace{0.17em}</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">d</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; x-large;"><span\; style="font-family:\; arial;">l</span></span>}$$

dove E∙𝛥l cos𝛂 è quindi il lavoro su unità di carica fatto dalle forze del campo sullo spostamento 𝛥l.

Possiamo quindi dire che la circuitazione è il lavoro del campo E su unità di carica.

Come è noto il campo E elettrostatico è un campo CONSERVATIVO. 

Il campo si dice conservativo se il lavoro fatto dalle forze del campo lungo un percorso l chiuso è nullo. 

Quindi dire che il campo E è conservativo equivale ad affermare che LA CIRCUITAZIONE DI E è NULLA.

Teorema di circuitazione del campo elettrostatico:

In generale la circuitazione e il flusso si possono definire per un qualunque campo vettoriale e sono le due grandezze che lo caratterizzano .