POTENZIALE ELETTRICO

POTENZIALE ELETTRICO

Il potenziale elettrico in un punto si definisce come:

V = U / q

dove U è l'energia potenziale elettrica della carica di prova q. Il potenziale è una grandezza scalare e dipende solo dalla posizione nel campo elettrico.

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Lavoro del campo elettrico e differenza di potenziale

Quando una carica q si sposta da A a B, l'energia potenziale cambia:

ΔU = U_B - U_A

Il lavoro compiuto dal campo elettrico è:

L_AB = - ΔU

Poiché U = qV, si ha:

ΔU = q (V_B - V_A) = q ΔV

Quindi:

L_AB = - q ΔV

oppure:

L_AB = q (V_A - V_B)

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Superfici equipotenziali

Una superficie equipotenziale è l'insieme dei punti in cui il potenziale V ha lo stesso valore.

Se una carica si muove da A a B sulla stessa superficie equipotenziale:

V_A = V_B → ΔV = 0

Allora:

L_AB = - q ΔV = 0

Quindi il lavoro del campo elettrico lungo una superficie equipotenziale è nullo.

Perpendicolarità tra campo elettrico e superfici equipotenziali

Consideriamo uno spostamento finito Δs lungo una linea equipotenziale. La variazione di potenziale lungo questo spostamento è ΔV= 0. Allora il lavoro fatto dalle forze del campo per spostare una carica q è 0:

L=qΔV =0

Ma il lavoro è dato anche da L=FΔx è questo risulta nullo solo se la F è perpendicolare allo spostamento.

Questo significa che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale.

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CAMPO ELETTRICO RADIALE GENERATO DA UNA CARICA PUNTIFORME Q

Campo elettrico

A distanza r da una carica puntiforme Q, il modulo del campo elettrico è:

E = k Q / r²

Potenziale 

La variazione di potenziale tra due punti lungo la direzione radiale si può scrivere come:

ΔV = - E Δr

Per una carica puntiforme, E diminuisce con 1 / r². Sommando le variazioni di potenziale per spostamenti successivi lungo la direzione radiale, si ottiene che il potenziale diminuisce come 1 / r. Il risultato noto è:

V(r) = k Q / r

Superfici equipotenziali

Poiché V dipende solo da r, tutte le posizioni con lo stesso r hanno lo stesso potenziale. Le superfici equipotenziali sono quindi sfere concentriche con centro nella carica.

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Campo elettrico uniforme

Consideriamo un campo elettrico uniforme diretto lungo l'asse x. La variazione di potenziale tra due punti A e B distanti Δx è:

ΔV = V_B - V_A = - E Δx

Se scegliamo come riferimento V = 0 in x = 0, allora:

V(x) = - E x

In un campo uniforme, le superfici equipotenziali sono piani perpendicolari alle linee di campo e quindi paralleli tra loro.

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SFERA CONDUTTRICE DI RAGGIO R E CARICA Q

Campo elettrico interno

In un conduttore in equilibrio elettrostatico, il campo elettrico all'interno è nullo:

E = 0 per r < R

Campo elettrico esterno (x legge di Gauss)

Consideriamo una superficie sferica immaginaria di raggio r > R, concentrica con la sfera conduttrice. Per simmetria:

• il campo elettrico è radiale;
• ha lo stesso valore in ogni punto della superficie;
• l'area della superficie è 4 π r².

Il flusso del campo elettrico attraverso questa superficie è:

Φ_E = E · 4 π r²

La legge di Gauss afferma:

Φ_E = Q / ε₀

Quindi:

E · 4 π r² = Q / ε₀

E = (1 / (4 π ε₀)) · Q / r² = k Q / r²

Potenziale esterno

All'esterno, la sfera si comporta come una carica puntiforme Q concentrata nel centro, quindi:

V(r) = k Q / r     per r ≥ R

Potenziale interno

All'interno del conduttore il campo è nullo, quindi non ci sono variazioni di potenziale:

ΔV = 0

Il potenziale è costante e uguale al valore sulla superficie:

V(r) = V(R) = k Q / R     per r ≤ R

La superficie del conduttore è quindi una superficie equipotenziale.

Energia potenziale di una carica esterna

Una carica q posta a distanza r dalla sfera ha energia potenziale:

U = q V(r) = k Q q / r

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