Un moto si dice oscillatorio quando un corpo si muove avanti e indietro attorno a un punto di equilibrio. Il moto armonico è un particolare moto oscillatorio che può essere definito come:
La proiezione sull’asse x (o y) di un punto P che si muove di moto circolare uniforme di raggio R.
Il punto blu sull’asse x e il punto rosso sull’asse y si muovono quindi di moto armonico. Esempi fisici di moto armonico sono:
- una massa collegata a una molla;
- un pendolo che oscilla per piccoli angoli.
Ampiezza, Periodo e Frequenza
L’ampiezza del moto è la massima distanza dal centro e coincide con il raggio R del moto circolare.
Il periodo T è il tempo necessario per compiere un’oscillazione completa. La frequenza f è il numero di oscillazioni nell’unità di tempo.
Pulsazione
La velocità angolare del moto circolare si chiama pulsazione del moto armonico e si indica con \(\omega\):
$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$
Poiché per definizione: $$\omega = \frac{\Delta \alpha}{\Delta t}$$, lo spostamento angolare risulta:
$$\alpha = \omega t$$
Legge Oraria del Moto Armonico
Il vettore posizione del moto armonico è la proiezione sull’asse x del vettore posizione del moto circolare uniforme. Applicando il coseno otteniamo:
$$x = R\cos\alpha$$
Poiché R coincide con l’ampiezza A, la legge oraria diventa:
$$x(t) = A\cos(\omega t)$$
Considerando la proiezione sull’asse y si ottiene:
$$y(t) = Acos(\omega t + \varphi)$$
In generale la legge oraria del moto armonico è:
$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$
La fase \(\varphi\) dipende dalla posizione iniziale del moto:
- se parte dall’estremo destro: \(\varphi\) = 0$;
- se parte dal centro: \(\varphi\) = \(\frac{\pi}{2}\) .
L’angolo \(\alpha\) è espresso in radianti e rappresenta la posizione angolare del punto nel moto circolare associato.
Velocità e Accelerazione del Moto Armonico
Velocità del moto armonico
Il vettore velocità del moto armonico è la proiezione sull’asse x del vettore velocità tangenziale del moto circolare uniforme.
La velocità è:
- nulla agli estremi;
- massima al centro, pari a $$v_{\max} = \omega R = \omega A$$.
Dal triangolo PRS si ricava:
$$v_x = v_t \sin\alpha = \omega A \sin(\omega t)$$
Tenendo conto del verso, la legge della velocità è:
$$v(t) = -A\omega \sin(\omega t)$$
Accelerazione del moto armonico
L’accelerazione del moto armonico è la proiezione dell’accelerazione centripeta del moto circolare sull’asse x.
L’accelerazione centripeta vale:
$$a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$$
Proiettandola otteniamo:
$$a(t) = -\omega^2 A \cos(\omega t)$$
Poiché $$x(t) = A\cos(\omega t)$$, segue immediatamente:
$$a(t) = -\omega^2 x(t)$$
Questa relazione è fondamentale: un moto è armonico se e solo se l’accelerazione è proporzionale alla posizione e diretta verso il centro.
- accelerazione massima agli estremi (dove v=0);
- accelerazione nulla al centro (dove v è massima).
𝞅=90°. cos(𝝎t+90°)=sen(𝝎t)
L'accelerazione è dunque proporzionale allo spostamento.(cvd)
Per aumentare il periodo (e quindi rallentare il moto) bisogna aumentare la massa oppure diminuire la costante della molla.
Esercizio:
Altro esempio di moto armonico semplice è quello del pendolo:
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